ウェッジ和

ウェッジ和 (ウェッジわ、一点和とも、wedge sum) とは二つの点つき空間から新たな点つき空間をえる操作である。基本群などと相性が良く、素性の良い空間(例えばCW複体など)に対して基本群を取る関手がこの和に関して準同型的振る舞いをする。

定義

二つの点つき空間 $(X_1,x_1),(X_2,x_2)$ に対して$$(X_1,x_1)\vee (X,x_2)\colon=(X\sqcup Y / x_1 \sim x_2,[x_1])$$ で表される点つき空間を(または点を忘れて位相空間を) $(X_1,x_1)$ と $(X_2,x_2)$ の ウェッジ和 ^[1] と呼ぶ。ただし $\sim$ は $x_1$ と $x_2$ を同値とする最小の同値関係であり位相は商位相を入れる。ウェッジ積と呼ばれることもあるが外積代数におけるウェッジ積とは別物であり記号も同じ $\wedge$ を用いることに注意されたい。

ウェッジ和は(自然な点つき空間の同型をのぞいて)結合的、単位的、可換な点つき空間の圏における演算であり、実際には点つき空間の圏における余積である。結合的、可換であることから2個以上(無限個でもよい)の点つき空間も同様に定義できる。$\{(X_i,x_i)\}_{i \in I}$ を点つき空間の族とする。このときこれらのウェッジ和を $$\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\colon=(\bigsqcup_{i\in I} X_i / x_{j_1} \sim x_{j_2},[x_i])$$ として定めることができる。

基本群との関係

$(X,x),(Y,y)$ を点つきCW空間とする。このとき $\pi_1( (X,x)\vee (Y,y) )\cong \pi_1(X,x)\ast \pi_1(Y,y)$ を満たす。ただし $\ast$ は自由積である。詳しくは基本群を参照されたい。