ベクトル空間

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ベクトル空間

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定義

  • 集合 $V$
  • 体 $K(\langle K, +_K, 0, \times, 1\rangle)$
  • 二項演算 $+:V\times V\rightarrow V$
  • 二項演算 $\cdot :K\times V\rightarrow V$
  • 要素 $\mathbf{0}\in V$

による5つ組 $\langle V, K, +, \cdot, \mathbf{0}\rangle$ は、次の8つの公理を満たすときベクトル空間または線形空間であるという。

  • (V1-V4)$\langle V, +, \mathbf{0}\rangle$ はAbel群である。すなわち、
    • (V1)結合律

<$V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}$ に対して $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$ が成り立つ。

    • (V2)可換律

<$V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$ が成り立つ。

    • (V3)単位元(零ベクトル)の性質

<$V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。

    • (V4)逆元(逆ベクトル)の存在

<$V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $V$ のある元 $\mathbf{x}'$ が存在して $\mathbf{x} + \mathbf{x}' = \mathbf{x}' + \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす。

  • (V5)スカラーの加法に対する分配律

<$K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a+_K b)\cdot\mathbf{x} = a\cdot\mathbf{x} + b\cdot\mathbf{x}$ が成り立つ。

  • (V6)ベクトルの加法に対する分配律

<$K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $a\cdot(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\cdot\mathbf{x} + a\cdot\mathbf{y}$ が成り立つ。

  • (V7)スカラーの積とスカラー乗法の両立

<$K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a\times b)\cdot\mathbf{x} = a\cdot(b\cdot\mathbf{x})$ が成り立つ。

  • (V8)スカラー乗法の単位元の存在

<$V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。

参考文献

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