ホモトピー群

ホモトピー群(Homotopy group)とは、空間の重要な不変量のひとつである。

基点付き位相空間 $(X,x)$ について、$x$ に基点を持つループとは、単位区間 $I := [0, 1]$ から $X$ への連続写像 $f$ であって $f(0) = f(1) = x$ が成り立つもののことをいう。

$x$ に基点を持つ $X$ 上のループ $f$, $g$ について、これらがホモトピックであるとは、ある連続写像 $H \colon I \times I \to X$ が存在して次の性質をみたすことをいう:

このとき $x$ に基点を持つループ全体の集合をホモトピックなものどうしを結ぶ同値関係で割った集合を $\pi(X; x)$ と表記する。

$\pi(X; x)$ には次の方法で群構造を入れることができる:

ループ $f$, $g$ について $f * g(t)$ を、$0 \leq t \leq \frac{1}{2}$ について $f(2t)$ とおき $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ について $g(2t - 1)$ とおく。
ループ $f$ について $f^{-1}(t)$ を、$f(1-t)$ とおく。
これらの演算はホモトピー同値類に依らないため $\pi(X; x)$ 上で well-defined である。

このように定めた群は $X$ の位相不変量となり、これを基本群とよぶ。

例

円周 $S^1$ についてその基本群は $\mathbb{Z}$ と同型である。
実射影空間 $\mathbb{R}P^n$ について $n \geq 2$ ならばその基本群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型である。