モノイダル圏

$\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\bbK}{\mathbb{K}}$ $\newcommand{\bX}{\boldsymbol{X}}$ $\newcommand{\bY}{\boldsymbol{Y}}$ $\newcommand{\bZ}{\boldsymbol{Z}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}$ $\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}$ $\newcommand{\str}{\text{str}}$ $\newcommand{\Ob}{\mathrm{Ob}}$ $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$ $\newcommand{\Vect}{\mathsf{Vect}}$ $\newcommand{\Mod}{\mathsf{Mod}}$

モノイダル圏 (monoidal category) とは、モノイダル構造と呼ばれる特別な構造を備えた圏である。これによってベクトル空間の圏における$\bbK$ 上のテンソル積のような対象を一般化して考えることができる。

定義

定義 1 (双関手)

圏 $\cC$ における双関手 (bifunctor) とは関手 $\otimes\colon\cC\times\cC\to\cC$ のことである。ここで $\cC\times\cC$ は圏の積であり、対象と射はそれぞれ $\cC$ の対象と射の順序対である (即ち $\cC\times\cC$ の対象は $\cC$ の対象 $X,Y$ を用いて $(X,Y)$ と書かれ、$\cC\times\cC$ の射は $\cC$ の射 $f\colon X_{0}\to X_{1}$ と $g\colon Y_{0}\to Y_{1}$ を用いて $(f,g)\colon (X_{0},Y_{0})\to (X_{1},Y_{1})$ と書かれる)。したがって、双関手とは $\cC$ の対象 $X,Y$ に新たな $\cC$ の対象 $X\otimes Y$ (本来は $\otimes(X,Y)$ などと書くべきであるが) を割り当て、また $\cC$ の射 $f\colon X_{0}\to X_{1},~g\colon Y_{0}\to Y_{1}$ に新たな $\cC$ の射 $f\otimes g\colon X_{0}\otimes Y_{0}\to X_{1}\otimes Y_{1}$ を割り当てるものであり、合成を保存 $(f_{0}\circ f_{1})\otimes (g_{0}\circ g_{1})=(f_{0}\otimes g_{0})\circ (f_{1}\otimes g_{1})$ して恒等射も保存 $\id_{X}\otimes\id_{X}=\id_{X}$ するものである。

• この文脈では記号 $\otimes$ を用いてしばしば双関手をテンソル積 (tensor product) と呼ぶ。組 $(\cC,\otimes)$ を単に圏の記号 $\cC$ で書いてテンソル積を備えた圏などという。

定義 2 (結合則)

テンソル積を備えた圏 $\cC$ における結合則 (associativity constraint) とは自然同型 $a\colon\otimes\circ(\otimes\times\id)\to\otimes\circ(\id\times\otimes)$ のことを指す。即ち、$\cC$ の対象 $X,Y,Z$ に対し同型射 $a_{X,Y,Z}\colon (X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes(Y\otimes Z)$ が与えられていて、さらに別の対象 $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ と射 $f\colon X\to X_{1},~g\colon Y\to Y_{1},~h\colon Z\to Z_{1}$ があれば図式 \[\xymatrix{ (X\otimes Y)\otimes Z \ar[r]^-{a_{X,Y,Z}} \ar[d]_-{(f\otimes g)\otimes h} & X\otimes (Y\otimes Z) \ar[d]^-{f\otimes (g\otimes h)}\\ (X_{1}\otimes Y_{1})\otimes Z_{1} \ar[r]_-{a_{X_{1},Y_{1},Z_{1}}} & X_{1}\otimes (Y_{1}\otimes Z_{1}) }\] が可換になるとき同型射の族 $\{a_{X,Y,Z}\}_{X,Y,Z}$ を結合則という。

定義 3 (恒等則)

$I$ はテンソル積を備えた圏 $\cC$ の対象とする。対象 $I$ に関する左恒等則 (left unit constraint) とは自然同型 $l\colon(I\otimes -)\to\id$ のことを指す。即ち、$\cC$ の対象 $X$ に対し同型射 $l_{X}\colon I\otimes X\to X$ が与えられていて、もう一つ対象 $X_{1}$ および射 $f\colon X\to X_{1}$ が与えられているなら $l_{X_{1}}\circ(\id_{I}\otimes f)=f\circ l_{X}$ を満たすとき族 $\{l_{X}\}_{X}$ を左恒等則という。$I$ に関する右恒等則 (right unit constraint) も全く同様に、自然同型 $r\colon (-\otimes I)\to\id$ として定義される。

定義 4 (モノイダル圏)

組 $(\cC,\otimes,I,a,l,r)$ がモノイダル圏 (monoidal category) あるいはテンソル圏 (tensor category) であるとは、$\otimes$ が $\cC$ のテンソル積であり、$I$ は $\cC$ の対象 (単位対象 (unit object) といわれる)、$a$ は結合則、$l,r$ はそれぞれ単位対象に関する左恒等則と右恒等則であって、任意の対象 $W,X,Y,Z$ に対し二つの図式

• \[\xymatrix{ & ((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z \ar[ld]_-{a_{W,X,Y}\otimes\id_{Z}} \ar[rd]^-{a_{W\otimes X,Y,Z}} & \\ (W\otimes (X\otimes Y))\otimes Z \ar[d]_-{a_{W,X\otimes Y,Z}} && (W\otimes X)\otimes (Y\otimes Z) \ar[d]^-{a_{W,X,Y\otimes Z}} \\ W\otimes ((X\otimes Y)\otimes Z) \ar[rr]_-{\id_{W}\otimes a_{X,Y,Z}} && W\otimes (X\otimes (Y\otimes Z)) }\]

• \[\xymatrix{ (X\otimes I)\otimes Y \ar[rd]_-{r_{X}\otimes\id_{Y}} \ar[r]^-{a_{X,I,Y}} & X\otimes (I\otimes Y) \ar[d]^-{\id_{X}\otimes l_{Y}}\\ {} & X\otimes Y }\]

が可換になることをいう。図式の形状から、これらが可換になることをそれぞれ 五角形公理 (pentagon axiom)、三角形公理 (triangle axiom) を満たすという。

• • 他の数学的構造と同じように下にある圏の記号を用いてモノイダル圏 $\cC$ といったりするほか、圏およびテンソル積と単位対象だけを明示して $(\cC,\otimes,I)$ がモノイダル圏だとかテンソル圏だとかいわれることもある (文脈から適切に判断される場合)。
  • モノイダル圏 $\cC$ において各対象において結合則、左恒等則、右恒等則がすべて恒等射であるとき $\cC$ は厳格 (strict) であるという。
  • 冒頭に述べたように、$\bbK$ を標数 $0$ の体としたとき $\bbK$ ベクトル空間と $\bbK$ 線形写像のなす圏 $\Vect_{\bbK}$ はストリクトでないモノイダル圏である: テンソル積は通常の $\bbK$ ベクトル空間としてのテンソル積、単位対象を $\bbK$ 自身とし、結合則や左右の恒等則はそれぞれ自然な同型 ($(X\otimes_{\bbK}Y)\otimes_{\bbK}Z\simeq X\otimes_{\bbK}(Y\otimes_{\bbK}Z)$ や $\bbK\otimes_{\bbK}X\simeq X\simeq X\otimes_{\bbK}\bbK$ のように) とすればよい。

補題 5

モノイダル圏 $(\cC,\otimes,I,a,l,r)$ において対象 $X,Y$ に対し \[l_{X\otimes Y} \circ a_{I,X,Y}=l_{X}\otimes\id_{Y},\qquad (\id_{X}\otimes r_{Y}) \circ a_{X,Y,I}=r_{X\otimes Y}\] が成り立つ。

証明

最初の等式は \begin{eqnarray} &{}& l_{X\otimes Y}^{-1} \circ l_{X\otimes Y} \circ a_{I,X,Y} \circ l_{(I\otimes X)\otimes Y} \\ &\stackrel{\text{左恒等則の自然性}}{=}& (\id_{I}\otimes l_{X\otimes Y}) \circ (\id_{I}\otimes a_{I,X,Y})\\ &\stackrel{\text{三角形公理}}{=}& (r_{I}\otimes\id_{X\otimes Y}) \circ a_{I,I,X\otimes Y}^{-1} \circ (\id_{I}\otimes a_{I,X,Y})\\ &\stackrel{\text{結合則の自然性}}{=}& a_{I,X,Y} \circ ((r_{I}\otimes\id_{X})\otimes\id_{Y}) \circ a_{I\otimes I,X,Y}^{-1} \circ a_{I,I,X\otimes Y}^{-1} \circ (\id_{I}\otimes a_{I,X,Y})\\ &\stackrel{\text{三角形公理}}{=}& a_{I,X,Y} \circ ((\id_{I}\otimes l_{X})\otimes\id_{Y})\circ (a_{I,I,X}\otimes\id_{Y}) \circ a_{I\otimes I,X,Y}^{-1} \circ a_{I,I,X\otimes Y}^{-1} \circ (\id_{I}\otimes a_{I,X,Y})\\ &\stackrel{\text{結合則の自然性}}{=}& (\id_{I}\otimes (l_{X}\otimes\id_{Y})) \circ a_{I,I\otimes X,Y} \circ (a_{I,I,X}\otimes\id_{Y}) \circ a_{I\otimes I,X,Y}^{-1} \circ a_{I,I,X\otimes Y}^{-1} \circ (\id_{I}\otimes a_{I,X,Y})\\ &\stackrel{\text{五角形公理}}{=}& (\id_{I}\otimes (l_{X}\otimes\id_{Y}))\\ &\stackrel{\text{左恒等則の自然性}}{=}& l_{X\otimes Y}^{-1} \circ (l_{X}\otimes\id_{Y}) \circ l_{(I\otimes X)\otimes Y}\\ \end{eqnarray} となっていえる。右恒等則に関する方も同様に \begin{eqnarray} &{}& r_{X\otimes Y}^{-1} \circ (\id_{X}\otimes r_{Y}) \circ a_{X,Y,I} \circ r_{(X\otimes Y)\otimes I}\\ &\stackrel{\text{右恒等則の自然性}}{=}& ((\id_{X}\otimes r_{Y})\otimes\id_{I}) \circ (a_{X,Y,I}\otimes\id_{I})\\ &\stackrel{\text{五角形公理}}{=}& ((\id_{X}\otimes r_{Y})\otimes\id_{I}) \circ a_{X,Y\otimes I,I}^{-1} \circ (\id_{X}\otimes a_{Y,I,I}^{-1}) \circ a_{X,Y,I\otimes I} \circ a_{X\otimes Y,I,I}\\ &\stackrel{\text{結合則の自然性}}{=}& a_{X,Y,I}^{-1} \circ (\id_{X}\otimes (r_{Y}\otimes\id_{I})) \circ (\id_{X}\otimes a_{Y,I,I}^{-1}) \circ a_{X,Y,I\otimes I} \circ a_{X\otimes Y,I,I}\\ &\stackrel{\text{三角形公理}}{=}& a_{X,Y,I}^{-1} \circ (\id_{X}\otimes (\id_{Y}\otimes l_{I})) \circ a_{X,Y,I\otimes I} \circ a_{X\otimes Y,I,I}\\ &\stackrel{\text{結合則の自然性}}{=}& (\id_{X\otimes Y}\otimes l_{I}) \circ a_{X\otimes Y,I,I}\\ &\stackrel{\text{三角形公理}}{=}& r_{X\otimes Y}\otimes\id_{I}\\ &\stackrel{\text{右恒等則の自然性}}{=}& r_{X\otimes Y}^{-1} \circ r_{X\otimes Y} \circ r_{(X\otimes Y)\otimes I} \end{eqnarray} のようにして示せる。

□

補題 6

モノイダル圏 $(\cC,\otimes,I,a,l,r)$ において $l_{I}=r_{I}$ が成り立つ。

証明

\begin{eqnarray} l_{I} &\stackrel{\text{右恒等則の自然性}}{=}& r_{I} \circ (l_{I}\otimes\id_{I}) \circ r_{I\otimes I}^{-1}\\ &\stackrel{\text{補題}}{=}& r_{I} \circ l_{I\otimes I} \circ a_{I,I,I} \circ r_{I\otimes I}^{-1}\\ &\stackrel{\text{左恒等則の自然性}}{=}& r_{I} \circ (\id_{I}\otimes l_{I}) \circ a_{I,I,I} \circ r_{I\otimes I}^{-1}\\ &\stackrel{\text{三角形公理}}{=}& r_{I} \circ (r_{I}\otimes\id_{I}) \circ r_{I\otimes I}^{-1}\\ &\stackrel{\text{右恒等則の自然性}}{=}& r_{I} \end{eqnarray} より所望の等式を得る。途中の補題というのは補題 5を意味する。

□

定義 7 (モノイダル関手)

$(\cC,\otimes,I,a,l,r),(\cD,\otimes,I',a',l',r')$ をふたつのモノイダル圏とする。このとき組 $(F,\phi_{0},\phi)$ がモノイダル関手 (monoidal functor) あるいはテンソル関手 (tensor functor) であるとは、$F\colon\cC\to\cD$ は関手、 $\phi_{0}$ は $\cD$ における同型射 $I'\to F(I)$ であり、$\phi$ は $\cC$ の各対象 $X,Y$ に対し $\phi_{X,Y}\colon F(X)\otimes F(Y)\to F(X\otimes Y)$ で与えられる自然同型であり、さらに $\cC$ の任意の対象 $X,Y,Z$ に対し三つの図式

• 結合則との整合性: \[\xymatrix{ & F(X)\otimes (F(Y)\otimes F(Z)) \ar[rr]^-{\id_{F(X)}\otimes\phi_{Y,Z}} && F(X)\otimes F(Y\otimes Z) \ar[rd]^-{\phi_{X,Y\otimes Z}} &\\ (F(X)\otimes F(Y))\otimes F(Z) \ar[ru]^-{a'_{F(X),F(Y),F(Z)}} \ar[rd]_-{\phi_{X,Y}\otimes\id_{Z}} &&&& F(X\otimes (Y\otimes Z))\\ & F(X\otimes Y)\otimes F(Z) \ar[rr]_-{\phi_{X\otimes Y,Z}} && F((X\otimes Y)\otimes Z) \ar[ru]_-{F(a_{X,Y,Z})} & }\]
• 左恒等則との整合性: \[\xymatrix{ I'\otimes F(X) \ar[d]_-{\phi_{0}\otimes\id_{F(X)}} \ar[r]^-{l'_{F(X)}} & F(X) \\ F(I)\otimes F(X) \ar[r]_-{\phi_{I,X}} & F(I\otimes X) \ar[u]_-{F(l_{I})} }\]
• 右恒等則との整合性: \[\xymatrix{ F(X)\otimes I' \ar[d]_-{\id_{F(X)}\otimes\phi_{0}} \ar[r]^-{r'_{F(X)}} & F(X) \\ F(X)\otimes F(I) \ar[r]_-{\phi_{X,I}} & F(X\otimes I) \ar[u]_-{F(r_{I})} }\]

が可換になることをいう。

• • $\phi_{0}$ および任意の対象 $X,Y$ に対し $\phi_{X,Y}$ が恒等射になるとき、モノイダル関手 $(F,\phi_{0},\phi)$ は厳格であるという。

定義 8 (モノイダル自然変換)

$\cC,\cD$ の設定はモノイダル関手の定義と同様にする。$\cC,\cD$ の間のモノイダル関手がふたつ $(F,\phi_{0},\phi),(G,\psi_{0},\psi)$ 与えられたとき、自然変換 $\theta\colon F\to G$ がモノイダル自然変換 (monoidal natural transformation) であるとは、任意の対象 $X,Y$ に対しふたつの図式 \[\xymatrix{ F(X)\otimes F(Y) \ar[r]^-{\phi_{X,Y}} \ar[d]_-{\theta_{X}\otimes\theta_{Y}} & F(X\otimes Y) \ar[d]^-{\theta_{X\otimes Y}}\\ G(X)\otimes G(Y) \ar[r]_-{\psi_{X,Y}} & G(X\otimes Y) }\qquad\xymatrix{ I' \ar[r]^-{\phi_{0}} \ar[rd]_-{\psi_{0}} & F(I) \ar[d]^-{\theta_{I}}\\ {} & G(I) }\] が可換になることをいう。

• • モノイダル自然同型 (monoidal natural isomorphism) とはモノイダル自然変換であって自然同型でもあるような自然変換のことである。
  • $\cC,\cD$ を再び上と同様にすると、この間のモノイダル関手 $(F,\phi_{0},\phi)$ がモノイダル同値 (monoidal equivalence) であるとはモノイダル関手 $(G,\psi_{0},\psi)$ およびモノイダル自然同型 $G\circ F\to\id_{\cC},~F\circ G\to\id_{\cD}$ が存在することをいう。モノイダル圏 $\cC,\cD$ はその間のモノイダル同値が存在するときモノイダル同値 (monoidally equivalent) であるという。

双代数との関係

標数 $0$ の体 $\bbK$ を固定し、$R$ を $\bbK$ ベクトル空間とする。本節でのみ添字のないテンソル積は $\bbK$ 上でとっているものとする。また、$\bbK$ 線形写像 $\nabla\colon R\otimes R\to R$ および $\eta\colon\bbK\to R$ が与えられていて $(R,\nabla,\eta)$ が $\bbK$ 代数 になるとしておく。さらに $\bbK$ 代数の射 $\Delta\colon R\to R\otimes R$ および $\epsilon\colon R\to\bbK$ も与えられているとせよ (現時点で $(R,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ が双代数になっている必要はない。つまり $\Delta$ や $\epsilon$ が余結合律や余単位律を満たしているとは限らない)。このとき $R$ を環とみて、左 $R$ 加群およびそれらの間の射 (左 $R$ 加群の準同型) を考えるとそれらの集まりは圏 $\Mod(R)$ をなすが、ここには次のようにしてテンソル積が定義できる: まず $\Mod(R)$ の対象 $M,N$ は $\bbK$ ベクトル空間であるから $M\otimes N$ があり、もちろんアーベル群になる。$m\in M,~n\in N$ および $x,y\in R$ に対し $\mathsf{str}(x\otimes y)(m\otimes n)=(xm\otimes yn)$ とすることでこれはwell-definedとなって $M\otimes N$ に左 $R\otimes R$ 加群の構造が入る。さらに $x\in R$ に対し先ほど用意した $\Delta$ を用いて $\mathsf{str}(x)=\mathsf{str}(\Delta(x))$ と定めると、これは $M\otimes N$ に左 $R$ 加群としての構造を定めるのでこれをもって $\Mod(R)$ における対象のテンソル積とすればよい。射のテンソル積もこれに基づく: 左 $R$ 加群の準同型 $f\colon M_{1}\to M_{2}$ および $g\colon N_{1}\to N_{2}$ を単に $\bbK$ 線形写像と思うと $f\otimes g$ が定義できるが、これは明らかに左 $R$ 加群の準同型 $M_{1}\otimes N_{1}\to M_{2}\otimes N_{2}$ になるからこれを $f$ と $g$ の $\Mod(R)$ におけるテンソル積とすればよい。

命題 9

$R$ を上の通り ($\bbK$ 代数の構造が入っていて $\Delta$ と $\epsilon$ が与えられている) とし、左 $R$ 加群 $M_{i}$ および元 $m_{i}\in M_{i}$ ($i=1,2,3$) に対し $(m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3}\mapsto m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3})$ で定まる $\bbK$ 線形写像を $a_{M_{1},M_{2},M_{3}}$ と書き、さらに $\bbK$ 線形写像 $l_{M}\colon\bbK\otimes M\to M$ および $r\colon M\otimes\bbK\to M$ をそれぞれ $1\otimes m\mapsto m$ と $m\otimes 1\mapsto m$ で定める (ここで $a\in\bbK$ に対し $\mathsf{str}(r)(a)=\epsilon(r)a$ とおくことで $\bbK$ に左 $R$ 加群の構造を定めている)。このとき組 $(\Mod(R),\otimes,\bbK,a,l,r)$ がモノイダル圏になることと $(R,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ が双代数になることは同値である。

証明

まず $R$ に双代数の構造が入っていることを仮定する。このとき左 $R$ 加群 $M_{1},M_{2},M_{3}$ に対し $a_{M_{1},M_{2},M_{3}}$ は左 $R$ 加群の同型となる: 全単射であることとアーベル群としての準同型になることは $\bbK$ ベクトル空間としての同型をもたらしていることからわかるが、$x\in R$ と $m_{i}\in M_{i}$ ($i=1,2,3$) に対し \begin{align} a_{M_{1},M_{2},M_{3}}(x((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})) &= a_{M_{1},M_{2},M_{3}}(x_{(1)}(m_{1}\otimes m_{2})\otimes x_{(2)}m_{3})\\ &= a_{M_{1},M_{2},M_{3}}((x_{(1)(1)}m_{1}\otimes x_{(1)(2)}m_{2})\otimes x_{(2)}m_{3})\\ &= x_{(1)(1)}m_{1}\otimes (x_{(1)(2)}m_{2}\otimes x_{(2)}m_{3})\\ &= x_{(1)}m_{1}\otimes (x_{(2)(1)}m_{2}\otimes x_{(2)(2)}m_{3})\\ &= x_{(1)}m_{1}\otimes x_{(2)}(m_{2}\otimes m_{3})\\ &= x(m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3}))\\ &= xa_{M_{1},M_{2},M_{3}}((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3}) \end{align} を得る。ただし $x_{(1)}$ など書いているのはSweedlerの記法であり、四つ目の等号には $\Delta$ の余結合性を使った。同様に $l_{M}$ や $r_{M}$ が左 $R$ 加群であることもいえる: $a\in\bbK,~m\in M$ および $x\in R$ に対し \begin{align} l_{M}(x(a\otimes m)) &= l_{M}(\epsilon(x_{(1)})a\otimes x_{(2)}m)\\ &= \epsilon(x_{(1)})a\cdot x_{(2)}m\\ &= (a\epsilon(x_{(1)})x_{(2)})m\\ &= axm\\ &= xl_{M}(a\otimes m) \end{align} となる (四つ目の等号に余単位律を用いた)。$r_{M}$ に関しても全く同様である。これらが五角形公理および三角形公理を満たすことは明らかである。命題の逆 ($(\Mod(R),\otimes,\bbK,a,l,r)$ がモノイダル圏なら $R$ が双代数) についてもこの証明を逆に辿ればよい (とった加群をすべて $R$ 自身とし、余結合性と余単位律を用いた等号にいきついたとき各加群からとった元をすべて $R$ の単位元にすればよい)。

□

命題 10

$R$ を上の通り ($\bbK$ 代数の構造が入っていて $\Delta$ と $\epsilon$ が与えられている) とする。このとき $\Mod(R)$ が $\bbK$ 上のテンソル積によってモノイダル圏になることと、ある $\Phi,l,r$ が存在して $(R,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,\Phi,l,r)$ が $\bbK$ 上の準双代数になることは同値である。

• • 命題 9との違いに注意せよ: $\Mod(R)$ のモノイダル構造において結合則および左右の恒等則が $\Vect(\bbK)$ のそれと同じ (つまり $(m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3}\mapsto m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3})$ や $(1\otimes m)\mapsto m,~(m\otimes 1)\mapsto m$ で決まる) ものならば $R$ は双代数となるが、そうとは限らなければ一般に準双代数にしかならないというのがこの命題の主張である。

証明

まず $R$ に準双代数の構造 $(\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,\Phi,l,r)$ が入っていることを仮定する。このとき左 $R$ 加群 $M_{1},M_{2},M_{3}$ および元 $m_{i}\in M_{i}$ に対し $a_{M_{1},M_{2},M_{3}}((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})=\Phi(m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3}))$ と定める (右辺は $M_{1}\otimes (M_{2}\otimes M_{3}))$ を左 $R^{\otimes 3}$ 加群と見たときの $\Phi$ の作用)。このとき $\{a_{M_{1},M_{2},M_{3}}\}_{M_{1},M_{2},M_{3}}$ は $\Mod(R)$ の自然同型を与える: 加法を保存することは明らかで、全単射性は $\Phi$ が可逆元であることから従う。また $x\in R$ に対し \begin{align} a_{M_{1},M_{2},M_{3}}(x((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})) &= a_{M_{1},M_{2},M_{3}}(x_{(1)}(m_{1}\otimes m_{2})\otimes x_{(2)}m_{3})\\ &= a_{M_{1},M_{2},M_{3}}((x_{(1)(1)}m_{1}\otimes x_{(1)(2)}m_{2})\otimes x_{(2)}m_{3})\\ &= \Phi(x_{(1)(1)}m_{1}\otimes (x_{(1)(2)}m_{2}\otimes x_{(2)}m_{3}))\\ &= \Phi(\Delta\otimes\id)(\Delta(x))(m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3}))\\ &= (\id\otimes\Delta)(\Delta(x))\Phi(m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3}))\\ &= (\id\otimes\Delta)(\Delta(x))a_{M_{1},M_{2},M_{3}}((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})\\ &= xa_{M_{1},M_{2},M_{3}}((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})\\ \end{align} のようにして左 $R$ 加群の射になっていることもわかる (五つ目の等号は準余結合性から、最後の等号は作用の定義から)。このことから自然性も従う。また、左 $R$ 加群 $M$ とその元 $m$ に対し $l_{M}(1\otimes m)=lm,~r_{M}(m\otimes 1)=rm$ とすればこれらも $\Mod(R)$ の自然同型になる: 加法の保存、全単射性は簡単であり、$R$ 線形 (したがって自然変換を与える) であることも \begin{align} l_{M}(x(a\otimes m)) &= l_{M}(\epsilon(x_{(1)})a\otimes x_{(2)}m)\\ &= \epsilon(x_{(1)})a\cdot lx_{(2)}m\\ &= (a\epsilon(x_{(1)})lx_{(2)})m\\ &= axlm\\ &= xl_{X}(a\otimes m) \end{align} のようにしてわかる。ここで四つ目の等号には $l$ に関する準余単位性を用いた。$r_{M}$ の条件も全く同様にできる。また、五角形公理は \begin{align} &((\id_{M_{1}}\otimes a_{M_{2},M_{3},M_{4}})\circ a_{M_{1},M_{2}\otimes M_{3},M_{4}} \circ (a_{M_{1},M_{2},M_{3}}\otimes\id_{M_{4}}))(((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})\otimes m_{4})\\ &=((\id_{M_{1}}\otimes a_{M_{2},M_{3},M_{4}})\circ a_{M_{1},M_{2}\otimes M_{3},M_{4}})((\Phi\otimes 1)((m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3}))\otimes m_{4}))\\ &=(\id_{M_{1}}\otimes a_{M_{2},M_{3},M_{4}})((\id\otimes\Delta\otimes\id)(\Phi)(\Phi\otimes 1)(m_{1}\otimes ((m_{2}\otimes m_{3})\otimes m_{4})))\\ &=(1\otimes\Phi)(\id\otimes\Delta\otimes\id)(\Phi)(\Phi\otimes 1)(m_{1}\otimes (m_{2}\otimes (m_{3}\otimes m_{4})))\\ &=(\id\otimes\id\otimes\Delta)(\Phi)(\Delta\otimes\id\otimes\id)(\Phi)(m_{1}\otimes (m_{2} \otimes (m_{3} \otimes m_{4})) ) \\ &=a_{M_{1},M_{2},M_{3}\otimes M_{4}}( (\Delta\otimes\id\otimes\id)(\Phi)((m_{1}\otimes m_{2}) \otimes (m_{3} \otimes m_{4})) )\\ &=a_{M_{1},M_{2},M_{3}\otimes M_{4}}( \Phi((m_{1}\otimes m_{2}) \otimes (m_{3} \otimes m_{4})) )\\ &=(a_{M_{1},M_{2},M_{3}\otimes M_{4}} \circ a_{M_{1}\otimes M_{2},M_{3},M_{4}})(((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})\otimes m_{4}) \end{align} のようにしてわかる。ここで四つ目の等号にはDrinfel'd結合子に要求した条件 (準双代数の定義の冒頭を参照) を用いた。三角形公理についても \begin{align} ((\id_{M}\otimes l_{N}) \circ a_{M,\bbK,N})((m\otimes a)\otimes n) &=(\id_{M}\otimes l_{N})((\id\otimes\epsilon\otimes\id)(\Phi)(m\otimes (a\otimes n)))\\ &=(r\otimes l^{-1})(m\otimes aln)\\ &=(rm\otimes an)\\ &=(r_{M}\otimes\id_{N})((m\otimes a)\otimes n) \end{align} となる (二つ目の等号には左右の単位元に要求した条件 (準双代数の定義の冒頭を参照) を用いた)。
逆に $\Mod(R)$ にモノイダル圏の構造 $(a,l,r)$ が入っていることを仮定する。このとき $\Phi=a_{R,R,R}(\eta(1)^{\otimes 3})$ とおき、また $u=u_{R}(\eta(1)^{\otimes 2})$ ($u\in\{l,r\}$) とおいてこれらがそれぞれ $R$ のDrinfel'd結合子、左単位元、右単位元になることを示す。これらの逆元がそれぞれ $a_{R,R,R}^{-1}(\Phi),l_{R}^{-1}(l),r_{R}^{-1}(r)$ で与えられることに注意。また、左 $R$ 加群 $M$ とその元 $m$ に対し $x\mapsto xm$ で定まる左 $R$ 加群の射 $R\to M$ を $f_{m}$ と書くと、結合則の自然性から任意の $M_{1},M_{2},M_{3}\in\Ob(\Mod(R))$ および $m_{i}\in M_{i}$ ($i=1,2,3$) に対し $(f_{m_{1}}\otimes (f_{m_{2}}\otimes f_{m_{3}}))\circ a_{R,R,R}=a_{M_{1},M_{2},M_{3}}\circ ((f_{m_{1}}\otimes f_{m_{2}})\otimes f_{m_{3}})$ が成り立つ。両辺を $\eta(1)^{\otimes 3}$ に作用させれば $\Phi(m_{1}\otimes (m_{2}\otimes m_{3}))=a_{M_{1},M_{2},M_{3}}((m_{1}\otimes m_{2})\otimes m_{3})$ がわかる。また、同様に左右の恒等則の自然性を用いて得られた等式を $\eta(1)^{\otimes 2}$ に作用させることで $l_{M}(1\otimes m)=lm$ と $r_{M}(m\otimes 1)=rm$ も得られる。こうしてDrinfel'd結合子と左右の単位元が明示的に表示できたので、これらが満たすべき等式二つおよび準余結合性と準余単位性を示せばよいが、この証明の前半 ($R$ が準双代数ならば $\Mod(R)$ がモノイダル圏) でやったことの逆を命題 9とまったく同様に辿ればよい。

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厳格化定理

本節ではモノイダル圏 $(\cC,\otimes,I,a,l,r)$ が一つ与えられているものとする。このとき、厳格化 (strictfication) と呼ばれる手法によって $\cC$ とモノイダル同値な厳格モノイダル圏 $\cC^{\str}$ を構成できることが知られている (厳格ということばの定義は前節をみよ)。以下その手法を解説する。

$\cC^{\str}$ の対象とは $\cC$ の対象の有限列 $(X_{1},\ldots,X_{n})$ のこととする。とくに長さ $0$ の列 $\emp$ も $\cC^{\str}$ の対象である。$\cC^{\str}$ の対象 $\bX=(X_{1},\ldots,X_{n})$ に対し $F(\bX)=({}(\cdots ({}(X_{1}\otimes X_{2})\otimes X_{3})\cdots )\otimes X_{n})$ と定め (長さ $0$ および $1$ の列はそれぞれ単位対象と自分自身に送られるものとする)、$\cC^{\str}$ における射 $\bX\to\bY$ とは $\cC$ における射 $F(\bX)\to F(\bY)$ のこととする (つまり $\Hom_{\cC^{\str}}(\bX,\bY)=\Hom_{\cC}(F(\bX),F(\bY))$)。単位対象は $\emp$ とする。対象どうしのテンソル積は列のconcatenationで定める: つまり $\cC^{\str}$ の対象 $\bX=(X_{1},\ldots,X_{m}),\bY=(Y_{1},\ldots,Y_{n})$ が与えられたとき $(X_{1},\ldots,X_{m},Y_{1},\ldots,Y_{n})$ を $\bX\star\bY$ と書き、これを $\cC^{\str}$ のテンソル積とする。射のテンソル積は構成が少々複雑である: $\cC^{\str}$ の対象 $\bX,\bY$ に対し、$\phi_{\bX,\bY}\colon F(\bX)\otimes F(\bY)\to F(\bX\star\bY)$ を帰納的に \begin{gather} \phi_{\bX,\emp}=r_{F(\bX)},\qquad\phi_{\emp,\bX}=l_{F(\bX)},\qquad\phi_{\bY,(X)}=\id_{F(\bY)\otimes X}\\ \phi_{\bX,\bY\star (Z)}=(\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{Z})\circ a_{F(\bX),F(\bY),Z}^{-1} \end{gather} と定める。ここで $\bX,\bY$ は $\cC^{\str}$ の対象 ($\bY\neq\emp$)、$Z$ は $\cC$ の対象である。

補題 11

上で定義した $\phi_{\bX,\bY}$ は各対象 $\bX,\bY$ に対し同型射である。

証明

$\bX$ を固定し、$\bY$ の長さに関する帰納法で示す。$\bY=\emp$ のときはモノイダル圏の公理に右恒等則の同型性が含まれているため良くて、長さ $1$ のときも恒等射を引っ張ってきているだけだから問題ない。さて $\emp$ でない $\cC^{\str}$ の対象 $\bY$ に対し $\phi_{\bX,\bY}$ が同型射であると仮定し、$\cC$ の対象 $X$ を任意にとる。このとき $\phi_{\bX,\bY}^{-1}$ が存在するから $a_{F(\bX),F(\bY),X}\circ (\phi_{\bX,\bY}^{-1}\otimes\id_{X})$ が定義でき、これは $\phi_{\bX,\bY\star (X)}$ の逆射を与えている。

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上で示した補題から、$\cC^{\str}$ の対象 $\bX_{0},\bX_{1},\bY_{0},\bY_{1}$ および射 $f\colon\bX_{0}\to\bX_{1},~g\colon\bY_{0}\to\bY_{1}$ に対し $f\star g=\phi_{\bX_{1},\bY_{1}}\circ (f\otimes g)\circ\phi_{\bX_{0},\bY_{0}}^{-1}$ と定めることができる。これを $\cC^{\str}$ における $f$ と $g$ のテンソル積ということにし、以上のデータによって $\cC^{\str}$ に厳格モノイダル圏 $(\cC^{\str},\star,\emp,\id,\id,\id)$ としての構造を定める (実際にそうなっていることは簡単である: テンソル積 $\star$ の結合性は明らかで、$\bX\star\emp=\bX=\emp\star\bX$ も $\star$ の定義より)。

補題 12

$\phi_{\bX,\bY}$ は自然同型 $\phi\colon F(-)\otimes F(-)\to F(-\otimes -)$ を定め、これによって組 $(F,\id,\phi)$ はモノイダル関手となる。

証明

$\phi$ が自然変換になっていることは $\cC^{\str}$ における射のテンソル積の定義より明らかであり (そうなるように定義した)、したがって補題 11により自然同型である。また $\cC^{\str}$ における射の定義より $F$ が関手になっていることは明らかであり、したがって示すべきことは定義 7に現れた三つの図式の可換性である。左恒等則、右恒等則との整合性は $\cC^{\str}$ の厳格性よりすぐ従うので、以下結合則との整合性を示す。示すべき等式は \[\phi_{\bX,\bY\star\bZ} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\phi_{\bY,\bZ}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ)}=\phi_{\bX\star\bY,\bZ} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{F(\bZ)})\] である ($\bX,\bY,\bZ$ は $\cC^{\str}$ の対象)。$\bX,\bY$ を固定し、これを $\bZ$ の長さに関する帰納法で示す: $\bZ=\emp$ のときは \begin{eqnarray} &{}& \phi_{\bX,\bY\star\bZ} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\phi_{\bY,\bZ}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ)}\\ &=& \phi_{\bX,\bY} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes r_{F(\bY)}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),I}\\ &\stackrel{\text{補題}}{=}& \phi_{\bX,\bY} \circ r_{F(\bX)\otimes F(\bY)}\\ &\stackrel{\text{右恒等則の自然性}}{=}& r_{F(\bX\star\bY)} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{I})\\ &=& \phi_{\bX\star\bY,\emp} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{F(\emp)}) \end{eqnarray} を得る (途中で補題と書いたのは補題 5のこと)。次に $\bZ$ の長さが $1$ のときは $\cC$ の対象 $Z$ を用いて $\bZ=(Z)$ と書けるが、$\bY\neq\emp$ なら $\phi$ の定義のみを用いて \begin{align} \phi_{\bX,\bY\star\bZ} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\phi_{\bY,\bZ}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ)} &=\phi_{\bX,\bY\star (Z)} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\id_{F(\bY)\otimes Z}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),Z}\\ &=\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{Z} \circ a_{F(\bX),F(\bY),Z}^{-1} \circ a_{F(\bX),F(\bY),Z}\\ &=\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{Z}\\ &=\id_{F(\bX\star\bY)\otimes Z} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{Z}) \end{align} のように示せる。同様の状況で $\bX\neq\emp$ かつ $\bY=\emp$ なら \begin{align} \phi_{\bX,\bY\star\bZ} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\phi_{\bY,\bZ}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ)} &=\id_{F(\bX)\otimes Z} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes l_{Z}) \circ a_{F(\bX),I,Z}\\ &=\id_{F(\bX)\otimes Z} \circ (r_{F(\bX)}\otimes\id_{Z})\\ &=\phi_{\bX\star\emp,(Z)} \circ (\phi_{\bX,\emp}\otimes\id_{Z}) \end{align} とできる (ここで二つ目の等号には三角形公理を用いた)。$\bX=\bY=\emp$ のときも補題 5を用いれば明らかである。さて $\emp$ でない $\cC^{\str}$ の対象 $\bZ$ があって等式 \[\phi_{\bX,\bY\star\bZ} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\phi_{\bY,\bZ}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ)}=\phi_{\bX\star\bY,\bZ} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{F(\bZ)})\] が成り立っているとすると、$\cC$ の対象 $Z$ に対し \begin{eqnarray} &{}& \phi_{\bX,\bY\star\bZ\star (Z)} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes\phi_{\bY,\bZ\star (Z)}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ\star (Z))}\\ &\stackrel{\phi\text{ の定義}}{=}& (\phi_{\bX,\bY\star\bZ}\otimes\id_{Z}) \circ a_{F(\bX),F(\bY\star\bZ),Z}^{-1} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes (\phi_{\bY,\bZ}\otimes\id_{Z})) \circ (\id_{F(\bX)}\otimes a_{F(\bY),F(\bZ),Z}^{-1}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ\star (Z))}\\ &\stackrel{\text{結合則の自然性}}{=}& (\phi_{\bX,\bY\star\bZ}\otimes\id_{Z}) \circ ((\id_{F(\bX)}\otimes \phi_{\bY,\bZ})\otimes\id_{Z}) \circ a_{F(\bX),F(\bY)\otimes F(\bZ),Z}^{-1} \circ (\id_{F(\bX)}\otimes a_{F(\bY),F(\bZ),Z}^{-1}) \circ a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ\star (Z))}\\ &\stackrel{\text{五角形公理}}{=}& (\phi_{\bX,\bY\star\bZ}\otimes\id_{Z}) \circ ((\id_{F(\bX)}\otimes \phi_{\bY,\bZ})\otimes\id_{Z}) \circ (a_{F(\bX),F(\bY),F(\bZ)}\otimes\id_{Z}) \circ a_{F(\bX)\otimes F(\bY),F(\bZ),Z}^{-1}\\ &\stackrel{\text{帰納法の仮定}}{=}& (\phi_{\bX\star\bY,\bZ}\otimes\id_{Z}) \circ ((\phi_{\bX,\bY}\otimes\id_{F(\bZ)})\otimes\id_{Z}) \circ a_{F(\bX)\otimes F(\bY),F(\bZ),Z}^{-1}\\ &\stackrel{\text{結合性の自然性}}{=}& (\phi_{\bX\star\bY,\bZ}\otimes\id_{Z}) \circ a_{F(\bX\star\bY),F(\bZ),Z}^{-1} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes(\id_{F(\bZ)}\otimes\id_{Z}))\\ &\stackrel{\phi\text{ の定義}}{=}& \phi_{\bX\star\bY,\bZ\star Y} \circ (\phi_{\bX,\bY}\otimes(\id_{F(\bZ)}\otimes\id_{Z}))\\ \end{eqnarray} となるから目的の等式がいえる。

□

定理 13

いかなるモノイダル圏もある厳格モノイダル圏とモノイダル同値である。

証明

モノイダル関手 $G\colon\cC\to\cC^{\str}$ であって $F\circ G$ と $G\circ F$ が恒等関手にモノイダル同値であるようなものを構成すればよい。関手 $G\colon\cC\to\cC^{\str}$ を $G(X)=(X)$ (右辺は $X$ だけからなる長さ $1$ の列) および射に何もしない対応として定め、さらにこれを厳格なモノイダル関手だと思うことにする。このとき $F\circ G$ は $\cC$ における恒等関手に他ならない。また、$\cC^{\str}$ の各対象 $\bX$ に対し $\Hom_{\cC^{\str}}(G(F(\bX)), \bX)=\Hom_{\cC}(F(\bX),F(\bX))$ の元として $\id_{F(\bX)}$ をとると、これは同型射 $G(F(\bX))\to\bX$ となり、これをまとめた $\{\id_{F(\bX)}\}_{\bX}$ はモノイダル自然同型 $G\circ F\to\id_{\cC^{\str}}$ を与えている。

□

組紐構造

定義 14 (組紐付きモノイダル圏)

$(\cC,\otimes,I,a,l,r)$ をモノイダル圏とする。このとき組 $(\cC,\otimes,I,a,l,r,c)$ が組紐付きモノイダル圏 (braided monoidal category) あるいは準テンソル圏 (quasitensor category) であるとは、$\cC$ の各対象 $X,Y$ に対し同型射 $c_{X,Y}\colon X\otimes Y\to Y\otimes X$ が与えられていてこれらをまとめた $\{c_{X,Y}\}_{X,Y}$ は自然同型となり、さらに $\cC$ の対象 $X,Y,Z$ を与えたとき二つの図式

• \[\xymatrix{ & X\otimes (Y\otimes Z) \ar[rr]^-{c_{X,Y\otimes Z}} && (Y\otimes Z)\otimes X \ar[rd]^-{a_{Y,Z,X}} &\\ (X\otimes Y)\otimes Z \ar[ru]^-{a_{X,Y,Z}} \ar[rd]_-{c_{X,Y}\otimes\id_{Z}} &&&& Y\otimes (Z\otimes X)\\ & (Y\otimes X)\otimes Z \ar[rr]_-{a_{Y,X,Z}} && Y\otimes (X\otimes Z) \ar[ru]_-{\id_{Y}\otimes c_{X,Z}} & }\]
• \[\xymatrix{ & (X\otimes Y)\otimes Z \ar[rr]^-{c_{X\otimes Y,Z}} && Z\otimes (X\otimes Y) \ar[rd]^-{a_{Z,X,Y}^{-1}} &\\ X\otimes (Y\otimes Z) \ar[ru]^-{a_{X,Y,Z}^{-1}} \ar[rd]_-{\id_{X}\otimes c_{Y,Z}} &&&& (Z\otimes X)\otimes Y\\ & X\otimes (Z\otimes Y) \ar[rr]_-{a_{X,Z,Y}^{-1}} && (X\otimes Z)\otimes Y \ar[ru]_-{c_{X,Z}\otimes\id_{Y}} & }\]

が可換になることをいう。これらの公理はともに六角形公理 (pentagon axiom) といい、自然同型 $c$ は組紐 (braiding) や可換則 (commutativity constraint) などと呼ばれる。

• 組 $(\cC,\otimes,I,a,l,r,c)$ が対称モノイダル圏 (symmetric monoidal category) であるとは、組紐付きモノイダル圏であって任意の対象 $X,Y$ に対し $c_{X,Y}=c_{Y,X}^{-1}$ が満たされることをいう。この等式は可換律と呼ばれることがある。

$(\mathcal{C}_{j},\otimes,I_{j},a_{j},l_{j},r_{j},c_{j})$ を対称モノイダル圏 ($j\in\{1,2\}$) とし、$\mathcal{C}_{1}$ から $\mathcal{C}_{2}$ へのモノイダル関手 $(F,\phi_{0},\phi)$ が対称モノイダル関手 (symmetric monoidal functor) であるとは、任意の $\mathcal{C}_{1}$ の対象 $X,Y$ に対して図式

\[\xymatrix{ F(X)\otimes F(Y) \ar[d]_-{\phi_{X,Y}} \ar[r]^-{c_{2,X,Y}} & F(Y)\otimes F(X) \ar[d]^-{\phi_{Y,X}}\\ F(X\otimes Y) \ar[r]_-{F(c_{1,X,Y})} & F(Y\otimes X) }\]

が可換になることをいう。