リーマンの拡張定理

$X$ をリーマン面とする。

リーマンの拡張定理とは、複素関数論における次の主張のことをいう。

• $p \in \mathbb{C}$ を含む開集合 $U$ について、$U \setminus \{p\}$ で定義された正則関数 $F \colon U \setminus \{p\} \to \mathbb{C}$ について、これが $p$ の近傍で有界ならば、$F$ は $p$ での極限を持ち、さらに $F$ は $U$ への拡張をもつ。

証明は複素関数論の標準的な教科書などを参照されたい。

リーマンの拡張定理よりほとんど明らかに、次の主張が成り立つ。

• $p \in X$ を含む開集合 $U$ について、$U \setminus \{p\}$ で定義された正則関数 $F \colon U \setminus \{p\} \to \mathbb{C}$ について、これが $p$ の近傍で有界ならば、$F$ は $p$ での極限を持ち、さらに $F$ は $U$ への拡張をもつ。