リーマン幾何学

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リーマン幾何学

リーマン幾何学(りーまんきかがく、Riemannian geometry)とは、リーマン計量と呼ばれる内積が定義された微分多様体の性質を研究する分野であり、微分幾何学の一分野である。 リーマン多様体(Riemannian manifold)とは可微分多様体$M$とその上のリーマン計量と呼ばれる2階共変対称テンソル場$g$の組$(M,g)$のことであり、リーマン幾何学ではリーマン多様体$(M,g)$の性質を研究する。 この記事ではリーマン幾何学の主要なテーマについて外観する。

リーマン計量とリーマン多様体

計量ベクトル空間の復習

ここでは内積が定義されたベクトル空間である計量ベクトル空間の概念を簡単に復習する。 $\mathbb{R}^n$ の標準的な内積は、$v={}^T(v^1,\cdots,v^n),\ w={}^T(w^1,\cdots,w^n)$ に対して、 $$ v\cdot w\ \colon=({}^Tv)w=(v^1,\cdots,v^n)\begin{pmatrix}w^1 \\ \vdots \\ w^n\end{pmatrix} $$ で与えられる。 基底を変換行列 $P$ で変換して一般の基底で考えると、成分は $v^i=(P^{-1})^i_jv'^j$ などとなるから、このとき上の内積は $$ (v'^1,\cdots,v'^n) \begin{pmatrix} \ & \ & \ \\ \ & {}^TP^{-1}P^{-1} & \ \\ \ & \ & \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}w'^1 \\ \vdots \\ w'^n\end{pmatrix} $$ となる。 このとき ${}^TP^{-1}P^{-1}$ は非退化な対称行列である。 従って一般の基底 $\{e_i\}_{1\le i\le n}$ に対して、$v=\sum_iv^ie_i,\ w=\sum_iw^ie_i$ とするとき、適当な非退化な対称行列 $G$ があり、内積は ${}^TvGw$ で与えられる。 これを一般化すれば以下の定義が得られる。

$n$ 次元実ベクトル空間 $V$ の内積とは、非退化な2階共変対称テンソル $g\in V^\ast\otimes V^\ast$ のことである。 $(V,g)$ の組のことを計量ベクトル空間(metric vector space)という。 $V$ の基底を $\{e_i\}$ とし、その双対基底を $\{\theta^i\}$ とすると、 $$ g=\sum_{i,j}g_{ij}\theta^i\theta^j,\ g_{ij}=g_{ji}=g(e_i,e_j) $$ と表される。 ただし、$\theta^i\theta^j$ は対称テンソル積 $\theta^i\theta^j\colon=\frac{1}{2}(\theta^i\otimes\theta^j+\theta^j\otimes\theta^i)$ である。 シルベスターの慣性法則により、適当な基底に対して、 $$ g=-\sum_{i=1}^p(\theta^i)^2+\sum_{j=p+1}^n(\theta^j)^2 $$ と表される。

定義

微分多様体の各接空間に内積が定義されたならば、接ベクトルの長さや角度など計量的性質を論じることができる。 計量ベクトル空間において、計量または内積とは非退化な2階対称テンソルとして定義されるから、次のように定義する。

微分多様体 $M$ のリーマン計量(Riemannian metric)とは滑らかで正定値な2階共変対称テンソル場 $g$ のことである。(テンソル場についてはテンソル解析を参照)

微分多様体 $M$ とその上のリーマン計量 $g$ の組 $(M,g)$ をリーマン多様体(Riemannian manifold)と言う。 2つのリーマン多様体 $(M,g),(N,h)$ に対して、微分同相写像 $f\colon M\rightarrow N$ が存在して、$f^\ast h=g$ が成り立つとき、$(M,g),(N,h)$ はリーマン同型(Riemannian isomorphic)であるという。 ただし、$f^\ast$ は $f$ による引き戻しである(テンソル解析を参照)。 このとき、$(M,g)\simeq(N,h)$ または単に $M\simeq N$ などと書く。 リーマン同型なリーマン多様体は区別しない。

例と幾何学的解釈

ユークリッド空間では近い2点 $(x,y,z)$ と $(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$ の距離の2乗(線素)は $\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$ で与えられる($\Delta x,\Delta y,\Delta z$ が微小量でなくてもこの式は成り立つ)。 この $\{\Delta x,\Delta y,\Delta z\}$ 達を座標基底 $\{\partial_x,\partial_y,\partial_z\}$ に関する双対基底 $\{dx,dy,dz\}$ と解釈すると $$ ds^2=dx^2+dy^2+dz^2(=:g) $$ は正定値な2階対称テンソル場である。 ここで記号 $ds^2$ は計量テンソルを表す記号として $g$ の代わりにしばしば用いられる($dx^2=dx\otimes dx$とは意味が異なることに注意)。

この計量に関して、$g(\partial_x,\partial_x)=dx(\partial_x)^2+dy(\partial_x)^2+dz(\partial_x)^2=1$ であるから、ベクトル場 $\partial_x$ の長さが1であるという直感が再現されている。 また $\partial_x$ と $\partial_y$ との内積は$g(\partial_x,\partial_y)=dx(\partial_x)dx(\partial_y)+dy(\partial_x)dy(\partial_y)+dz(\partial_x)dz(\partial_y)=0$ であるから $\partial_x$ と $\partial_y$ が直交しているという直感も再現されている。

次に極座標 $(r,\theta,\phi)$ を $x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta$ で導入すると、$\{dr,d\theta,d\phi\}$ に関して $$ ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 =d(r\sin\theta\cos\phi)^2+d(r\sin\theta\sin\phi)^2+d(r\cos\theta)^2 =dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 $$ と表示される。 このように一般の座標に関しては、計量テンソルの成分は関数である。

リーマン多様体の例

微分多様体 $M$ にパラコンパクトを仮定すれば、局所有限な開被覆を取り、各近傍上で定義したリーマン計量を1の分割で足し合わせることにより、$M$ 全体で定義されたリーマン計量を得ることができる。 従って、$M$ 上のリーマン構造は無限自由度で存在する。 その中でしばしば考察される有名なリーマン多様体が多く存在する。 その全てを列挙することは困難だが、リーマン多様体の例でその一部を紹介する。

リーマン接続

微分多様体における接続とは、平行移動を与える機構である。 ユークリッド幾何では平行移動は直感的に理解できるものの、公理的に扱われてきた。 一般の微分多様体でも事情は同じで接続を定義することによって平行移動を公理的に扱う。 (接続についてはテンソル解析#.E6.8E.A5.E7.B6.9A.EF.BC.8C.E5.85.B1.E5.A4.89.E5.BE.AE.E5.88.86に簡単な解説がある)

理論的には接続をどのように定義しても良いが、ユークリッド幾何の平行移動の性質を一部引き継いでいる接続をリーマン多様体上では考えることができる。 引き継がれる性質は、平行移動によりベクトルの長さや2つのベクトル角度が変わらない、という性質である(計量条件)。 この条件に加え、捩れ率が0(直感的には理解しずらい)という性質を持った接続がリーマン計量から一意的に定まり、リーマン接続(Riemannian connection)またはレヴィ・チヴィタ接続(Levi-Civita connection)と呼ばれる。 詳しい議論はリーマン接続を参照されたい。

リーマン曲率

リーマン多様体の曲がり具合を表現するためのテンソル場がリーマン曲率テンソル(Riemannian curvature tensor)である。 リーマン曲率は曲面論におけるガウス曲率の一般化とみなすこともできる。 またリーマン曲率はリーマン同型類の不変量を与える。 詳しくは、リーマン曲率テンソルを参照されたい。

曲線の変分法と測地線

変換論

affine変換、等長変換、共形変換、射影変換などがある。

部分リーマン多様体

大域的性質