代数学
代数学(algebra)とは、「演算構造」についての探求を目的とした学問である。
素朴な数体系について、自然数全体($\mathbb{N}$)や整数全体($\mathbb{Z}$)、もしくは有理数全体($\mathbb{Q}$)などを例として挙げることができる。このとき数体系らについて、「足し算」・「掛け算」などの演算を定めることができるという共通点を見出すことができる。
ここで、素朴な数概念を放棄して、一般の集合の上に「演算構造」を定めたものについて考える。このようなものを代数とよぶ。このとき、代数は、数体系の抽象化であると考えることができる。
ひとたび抽象化を行うことによって、我々は様々は「数体系」の例を得ることができ、また統一的な「数体系についての理論」を構築しそれを応用することができる。例えばガウス整数全体($\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]=\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in \mathbb{Z}\}$) や四元数全体($\mathbb{H}$)、もしくは実数直線上の実連続関数全体($\mathcal{C}(\mathbb{R})$)などについて素朴に「足し算」・「掛け算」を定めたものは代数となっている。これらはすべて環としての構造を持つ。
本記事は代数学についての基本的な視点を提示するとともに、代数学全体の概観を述べることを目的とする。
基礎事項
演算
集合 $X$ と自然数 $n\in \mathbb{N}_0$ について、$X$ 上の $n$-項演算とは、写像 $X^n\to X$ のことを指していう。
しばしば $2$ 項演算 $*\colon X^2\to X$ については、$*(a,b)$ の代わりに $a*b$ と表記される。
また $0$-項演算とは、写像 $X^0\to X$ のことであるから、$0$-項演算を指定することは、 $X$ の元のひとつをとることと等価である。
代数系
- 集合
- マグマ
- 半群
- モノイド
- 群
- アーベル群
- 半環
- 環
- 可換環
- Lie代数
- 輪
集合自体についても、「$0$ 個の演算構造を持つ集合」としてみることができるので、この意味においては代数であるとみなすことができる。しかし、集合についての理論は他の代数についてこ理論とかなり異なった様相であり、特別な発展をみせているため、本記事においては集合論について触れず、集合論においてより詳細な説明を行う。
群論
有限群論
有限群とは、名の通り台集合が有限であるような群のことである。
有限群について調べるにあたって、そもそも探求対象が有限集合に関するものであるため、組合せ論的なアプローチは有効なものとなる。
有限群においてもその表現論の威力は計り知れないものがある。ここで、群 $G$ のベクトル空間への表現とは、$G$ の $V$ への線形な作用のことを指す。別の言い方をすれば、群準同型 $G\to \mathrm{GL}(V)$ のことを指す。有限群の理論においては、有限次元のベクトル空間についての表現を考えることが多い。
有限群論における重要な結果のひとつに、有限単純群の同型類の決定がある。
アーベル群論
アーベル群とは、可換な演算を持つ群のことである。有限生成アーベル群、特に有限アーベル群については有限生成アーベル群の構造定理により、その構造は明らかになっている。しかし、一般のアーベル群において、その構造は複雑怪奇極まりないものであり、解析は困難を極める。
そのような状況のなかでも、素数 $p$ について可算な $p$-群などについてはかなりその構造が理解されている。
