半順序集合について
とりあえずのページです Specral Space/Spectral spacesから引越しで作った感じです
半順序集合について
Stone dualityなどの文脈において、束(lattice)と空間との双対的な対応は非常に基本的かつ重要な原理である。そのため位相空間論においても、しばしば束に関する議論を行うことがある。#半順序集合についてにおいては、束を含めた半順序集合についてのいくつかの事項を解説する。
いくつかのlatticeのクラス
ジョイン・ミート
半順序集合 $P$ とその部分集合 $Q$ に対し、$P$ の順序を $Q$ に制限したものによって、$Q$ は半順序となる。特に言及されない場合、半順序集合の部分集合にはこのように半順序構造が定まっているものとする。
定義 1 (双対半順序)
半順序 $P$ について、$P$ の順序を逆にした半順序を $P^{op}$ と表記する。$P^{op}$ を $P$ の双対半順序という。
定義 2 (上界・下界)
- 半順序集合 $P$ と $P$ の部分集合 $X$ について、$p \in P$ が $X$ の上界に属するとは、任意の $X$ の元 $x$ に対し $x \leq p$ が成り立つことをいう。また、$X$ の上界に属する要素全体のなす $P$ の部分集合を $X$ の上界といい、$P_{\geq X}$ と表記する。
- 半順序集合 $P$ と $P$ の部分集合 $X$ について、$p \in P$ が $X$ の下界に属するとは、$P^{op}$ において $X$ の上界となっていることをいう。また、$X$ の下界に属する要素全体のなす $P$ の部分集合を $X$ の下界といい、$P_{\leq X}$ と表記する。
半順序集合 $P$ について、$P_{\geq \emptyset}$, $P_{\leq \emptyset}$ は $P$ 全体と一致する。
定義 3 (ジョイン・ミート)
- 半順序集合 $P$ と $P$ の部分集合 $X$ について、$p \in P$ が $X$ のジョインであるとは、$p$ が $P_{\geq X}$ の最小元であることをいう。
- 半順序集合 $P$ と $P$ の部分集合 $X$ について、$p \in P$ が $X$ のミートであるとは、$P^{op}$ において $p$ が $X$ のジョインであることをいう。
半順序集合 $P$ と $P$ の部分集合 $X$ について、$X$ のジョインは存在すれば一意である。$X$ のジョインが存在するとき、これを $$\bigvee_{x \in X}x$$ と表記する。あるいは、$p,q \in P$ について $\{p,q\}$ のジョインとして $p\vee q$ と表記する。$P$ の最大元 については、$\top$ と表記する。また、$X$ のミートは存在すれば一意である。$X$ のミートが存在するとき、これを $$\bigwedge_{x \in X}x$$ と表記する。あるいは、$p,q \in P$ について $\{p,q\}$ のミートとして $p\wedge q$ と表記する。$P$ の最小元 については、$\bot$ と表記する。
semilattice
定義 4 (join-semilattice)
半順序集合 $P$ がjoin-semilatticeであるとは、任意の $P$ の有限部分集合についてジョインが存在することをいう。
補題 5 (join-semilatticeの演算)
join-semilattice $P$ について、以下が成り立つ。
- $p \in P$ について、$p \vee p = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee q = q \vee p$
- $p , q , r \in P$ について、$(p \vee q) \vee r = p \vee (q \vee r)$
- $p \in P$ について、$p \vee \bot = p$
証明
詳細は述べない。□
補題 6 (代数としてのjoin-semilattice)
集合 $P$ 上の二項演算 $\vee$ と $P$ の元 $\top$ について、以下が成り立つとする。
- $p \in P$ について、$p \vee p = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee q = q \vee p$
- $p , q , r \in P$ について、$(p \vee q) \vee r = p \vee (q \vee r)$
- $p \in P$ について、$p \vee \bot = p$
このとき、$p \vee q = q$ であるとき、またそのときに限り $p \leq q$ が成り立つように $P$ 上の順序 $\leq$ を定めることができ、この順序によって $(P,\leq)$ はjoin-semilatticeとなる。さらに、このとき $P$ 上のジョイン・最大元は $\vee$, $\top$ によって与えられる。
証明
詳細は述べない。□
定義 7 (join-semilattice準同型)
lattice $P$, $Q$ に対して $f\colon P\to Q$ がjoin-semilattice準同型であるとは、以下の条件を満たすことをいう。
- $p , q \in P$ について、$f(p \vee q)=f(p) \vee f(q)$
- $f(\top)=\top$
定義 8 (join-semilatticeのなす圏)
join-semilatticeを対象とし、join-semilattice準同型を射とする圏を $\mathsf{jsLat}$ とおく。
定義 9 (meet-semilattice)
半順序集合 $P$ がmeet-semilatticeであるとは、$P^{op}$ がjoin-semilatticeであることをいう。
定義 10 (meet-semilattice準同型)
lattice $P$, $Q$ に対して $f\colon P\to Q$ がmeet-semilattice準同型であるとは、以下の条件を満たすことをいう。
- $p , q \in P$ について、$f(p \wedge q)=f(p) \wedge f(q)$
- $f(\bot)=\bot$
定義 11 (meet-semilatticeのなす圏)
meet-semilatticeを対象とし、meet-semilattice準同型を射とする圏を $\mathsf{msLat}$ とおく。
lattice
定義 12 (lattice)
半順序集合 $P$ がlatticeであるとは、任意の $P$ の有限部分集合(空集合を含む)についてジョイン・ミートが存在することをいう。
補題 13 (latticeの演算)
lattice $P$ について、以下が成り立つ。
- $p \in P$ について、$p \vee p = p$
- $p \in P$ について、$p \wedge p = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee q = q \vee p$
- $p , q \in P$ について、$p \wedge q = q \wedge p$
- $p , q , r \in P$ について、$(p \vee q) \vee r = p \vee (q \vee r)$
- $p , q , r \in P$ について、$(p \wedge q) \wedge r = p \wedge (q \wedge r)$
- $p \in P$ について、$p \vee \bot = p$
- $p \in P$ について、$p \wedge \top = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee (p \wedge q) = p$
- $p , q \in P$ について、$p \wedge (p \vee q) = p$
証明
詳細は述べない。□
補題 14 (代数としてのlattice)
集合 $P$ 上の二項演算 $\vee$, $\wedge$ と $P$ の元 $\top$, $\bot$ について、以下が成り立つとする。
- $p \in P$ について、$p \vee p = p$
- $p \in P$ について、$p \wedge p = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee q = q \vee p$
- $p , q \in P$ について、$p \wedge q = q \wedge p$
- $p , q , r \in P$ について、$(p \vee q) \vee r = p \vee (q \vee r)$
- $p , q , r \in P$ について、$(p \wedge q) \wedge r = p \wedge (q \wedge r)$
- $p \in P$ について、$p \vee \bot = p$
- $p \in P$ について、$p \wedge \top = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee (p \wedge q) = p$
- $p , q \in P$ について、$p \wedge (p \vee q) = p$
- $p , q \in P$ について、$p \vee q = q$ であることと $q \wedge p = q$ であることは同値。
このとき、$p \vee q = q$ または $q \wedge p = q$ であるとき、またそのときに限り $p \leq q$ が成り立つように $P$ 上の順序 $\leq$ を定めることができ、この順序によって $(P,\leq)$ はlatticeとなる。さらに、このとき $P$ 上のジョイン・ミート・最大元・最小元は $\vee$, $\wedge$, $\top$, $\bot$ によって与えられる。
証明
詳細は述べない。□
定義 15 (lattice準同型)
lattice $P$, $Q$ に対して $f\colon P\to Q$ がlattice準同型であるとは、以下の条件を満たすことをいう。
- $p , q \in P$ について、$f(p \vee q)=f(p) \vee f(q)$
- $p , q \in P$ について、$f(p \wedge q)=f(p) \wedge f(q)$
- $f(\top)=\top$
- $f(\bot)=\bot$
定義 16 (latticeのなす圏)
latticeを対象とし、lattice準同型を射とする圏を $\mathsf{Lat}$ とおく。
本記事において定義したlatticeは、一般にはbounded latticeと呼ばれるものである。一般にlatticeと呼ばれるものは、最大元・最小元の存在を仮定しない。
distributive lattice
観察 17 (latticeにおける弱い分配律)
一般のlatticeについて、弱い分配律 $(p \wedge q) \vee (p \wedge r) \leq p \wedge (q \vee r)$ は成り立つ。実際、$p\wedge q \leq p$ かつ $p\wedge r\leq p$ より、$(p \wedge q) \vee (p \wedge r)\leq p$が成り立つ。また、$p \wedge q \leq q $ かつ $p \wedge r \leq r $ より、$(p \wedge q) \vee (p \wedge r)\leq q\vee r$が成り立つ。従って、$(p \wedge q) \vee (p \wedge r) \leq p \wedge (q\vee r)$ が示される。同様に $p \vee (q \wedge r) \leq (p \vee q) \wedge (p \vee r)$ もまた一般のlatticeについて成り立つ。
このとき、latticeについてより性質がいいものとして、自然に「分配律が成立するlattice」を考えたくなる。
命題 18 (latticeにおける同値な分配律条件)
lattice $P$ について、以下は同値である。
- $p , q , r \in P$ について、$p \vee (q \wedge r) = (p \vee q) \wedge (p \vee r)$
- $p , q , r \in P$ について、$p \wedge (q \vee r) = (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
証明
1. から 2. を証明する。(2. から 1. については同じ議論を $P^{op}$ に適用すればよい)
仮定より、$(p \wedge q) \vee (p \wedge r) = ((p \wedge q) \vee p) \wedge ((p \wedge q) \vee r)$ が成り立つ。このとき $(p \wedge q) \vee p=p$ がlatticeについて成立するため、$((p \wedge q) \vee p) \wedge ((p \wedge q) \vee r) = p \wedge ((p \wedge q) \vee r) \leq p \wedge (q \vee r)$ が示される。
$p \wedge (q \vee r) \leq (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$ は一般のlatticeについて成立するため、$p \wedge (q \vee r) = (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$ が示される。□定義 19 (distributive lattice)
以下が成り立つlattice $P$ について、distributive latticeであるという。
- $p , q , r \in P$ について、$p \vee (q \wedge r) = (p \vee q) \wedge (p \vee r)$
- $p , q , r \in P$ について、$p \wedge (q \vee r) = (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
定義 20 (distributive latticeのなす圏)
distributive latticeのなす $\mathsf{Lat}$ の充満部分圏について、これを $\mathsf{DLat}$ とよぶ。
modular lattice
詳細についてはモジュラー束についてを参照されたい。
定義 21 (modular lattice)
lattice $P$ がmodular latticeであるとは、任意の $p,q,r \in P$ について $$ (p\vee q)\wedge(p\vee r)=p\vee (q \wedge (p\vee r))$$ が成り立つことをいう。
定義 22 (modular latticeのなす圏)
modular latticeのなす $\mathsf{Lat}$ の充満部分圏について、これを $\mathsf{MoLat}$ とよぶ。
complete lattice
定義 23 (complete lattice)
lattice $P$ がcomplete latticeであるとは、任意の $P$ の部分集合についてそのジョイン・ミートが存在することを言う。
定義 24 (complete latticeの射)
complete lattice $P$, $Q$ について $f\colon P\to Q$ がcomplete lattice の射であるとは、$P$ の部分集合 $X$ について、以下が成り立つことをいう。
- $f(\bigvee_{x \in X} x)=\bigvee_{x \in X}f(x)$
- $f(\bigwedge_{x \in X} x)=\bigwedge_{x \in X}f(x)$
定義 25 (complete latticeのなす圏)
complete latticeを対象とし、complete latticeの射を射とする圏について、これを $\mathsf{CLat}$ とよぶ。
frame
定義 26 (frame)
lattice $P$ がframeであるとは、以下の条件を満たすことをいう。
- $P$ の部分集合 $X$ について、$X$ のジョインは存在する。
- $P$ の部分集合 $X$ と $y \in Y$ について、$$ y \wedge (\bigvee_{x \in X}x)=\bigvee_{x\in X}(y \wedge x)$$ が成り立つ。
定義 27 (frameの射)
frame $P$, $Q$ について $f\colon P\to Q$ がframe の射であるとは、$P$ の部分集合 $X$ と有限集合 $F$ について、以下が成り立つことをいう。
- $f(\bigvee_{x \in X} x)=\bigvee_{x \in X}f(x)$
- $f(\bigwedge_{x \in F} x)=\bigwedge_{x \in F}f(x)$
定義 28 (frameのなす圏)
frameを対象とし、frameの射を射とする圏について、これを $\mathsf{Frm}$ とよぶ。
locale
導入
定理 29 ($\mathsf{Loc}$)
$\mathsf{Frm}^{op}$ について、これを $\mathsf{Loc}$ と表記し、この対象をlocaleという。
フィルター・イデアル
導入
定義 30 (フィルター・イデアル)
半順序集合 $P$ の部分集合 $F$ がフィルターであるとは、以下の性質を満たすことをいう。
- $F$ は空でない
- $f\in F$ かつ $f\leq f^+ \in P$ ならば $f^+\in F$
- $f\in F$ かつ $g\in F$ ならば、ある $h\in F$ であって $h\leq f$ かつ $h \leq g$ なるものが存在する
半順序集合 $P$ の部分集合 $I$ がイデアルであるとは、$P^{op}$ において $I$ がフィルターとなることをいう。すなわち、以下が成り立つことをいう。
- $I$ は空でない
- $f\in I$ かつ $f\geq f^- \in P$ ならば $f^-\in I$
- $f\in I$かつ $g\in I$ ならば、ある $h\in I$ であって $h\geq f$ かつ $h \geq g$ なるものが存在する
定義 31 (素フィルター・素イデアル)
半順序集合 $P$ のフィルター $F$ が素フィルターであるとは、以下の条件を満たすことをいう。
- $F\neq P$
- $p,q\in P$ について、$p\vee q\in F$ ならば、$p\in F$ または $q\in F$ が成り立つ。
半順序集合 $P$ のイデアル $I$ が素イデアルであるとは、$P^{op}$ において素フィルターとなることをいう。
