可換モノイド論/可換モノイド
この記事においては、可換モノイドの概念を導入する。
可換モノイド
定義 1 (モノイド)
モノイドとは、集合 $M$ と $M$ 上の二項演算 $+$ と $M$ の元 $0$ との組 $\langle M,+,0 \rangle$ であって、以下の条件を充たすものである。
- $a,b,c \in M$ について $(a+b)+c=a+(b+c)$
- $a \in M$ について $a+0=0+a=a$
モノイド $\langle M,+,0 \rangle$ について、省略して $M$ と表記することがある。
定義 2 (可換モノイド)
モノイド $M$ が可換であるとは、任意の $a,b \in M$ について $a+b=b+a$ が成り立つことをいう。
モノイドの射
定義 3 (モノイドの射)
モノイド $M$, $N$ について、集合の射 $f\colon M\to N$ がモノイドの射であるとは、以下の条件が成り立つことをいう。
- $a,b \in M$ について $f(a+b)=f(a)+f(b)$
- $f(0)=0$
定義 4 (可換モノイドの射)
可換モノイド $M$, $N$ について、集合の射 $f\colon M\to N$ が可換モノイドの射であるとは、モノイドの射であることをいう。
定義 5 (可換モノイドの圏)
可換モノイドを対象とし、可換モノイドの射を射とする(大きな)圏を $\mathsf{Mon}$ と表記し、これを可換モノイドの圏という。
注意 6 (表記上の注意)
この記事群においては基本的に可換なモノイドのみを扱うため、可換モノイドの圏について単に $\mathsf{Mon}$ と表記しているが、通常 $\mathsf{CMon}$ と表記されることが多い。
語法
定義 7 (集合と加法)
モノイド $M$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A+B$ とは、集合 $\{a+b|a \in A, b \in B\}$ のことを指していう。すなわち、$A$ の元と $B$ の元とを足して得られる元全体の集合のことである。
定義 8 ($n$ 倍)
自然数 $n \in \mathbb{N}$ とモノイドの元 $x\in M$ に対し、$nx$ を次のように帰納的に定める。
- $0x=0$
- $(n+1)x=nx+x$
定義 9 (冪等元)
モノイド $M$ の元 $x$ が冪等元であるとは、$x+x=x$ を充たすことをいう。
定義 10 (可逆元)
モノイド $M$ の元 $x$ が可逆元であるとは、ある $y \in M$ が存在して $x+y=0$ かつ $y+x=0$ が成り立つようにできることをいう。
定義 11 (部分モノイド)
モノイド $M$ の部分モノイドとは、$M$ の部分集合を台集合とし、$M$ の演算・単位元の制限によってモノイドとなるもののことをいう。$M$ の部分集合 $N$ について、$M$ の部分モノイドとしての $N$ 上のモノイド構造は、存在すれば高々一意に定まるため、単にこのモノイドを $N$ と表記することがある。
補題 12 (部分モノイドの特徴付け)
モノイド $M$ の部分集合 $N$ について以下は同値である。
- $N$ 上に $M$ の部分モノイドとしてのモノイド構造が存在する
- 任意の $N$ の元 $x$, $y$ について $x+y \in N$ が成り立ち、かつ $0 \in N$ が成り立つ
Proof.
- 1. $\Rightarrow$ 2.
$x,y \in N$ について、$N$ における $x$ と $y$ の和と $M$ における和は一致するため、$x+y \in N$ が成り立つ。また、$M$ における単位元と $N$ における単位元は一致するため、$0 \in N$ が成り立つ。
- 2. $\Rightarrow$ 1.
補題 13 (部分モノイドの交叉)
モノイド $M$ の部分モノイドの族 $\{N_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ について、$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} N_\lambda$ は $M$ の部分モノイドとなる。
Proof.
$x,y \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}N_\lambda$ について、任意の $\lambda \in \Lambda$ に対し $x,y \in N_\lambda$ が成り立つ。したがって $x+y \in N_\lambda$ が成り立つため、$x+y \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}N_\lambda$ が成り立つ。$0\in N_\lambda$ より、$0 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}N_\lambda$ が成り立つ。よって $\bigcap_{\lambda \in \Lambda}N_\lambda$ は $M$ の部分モノイドとなる。
□定義 14 (生成)
モノイド $M$ の部分集合 $X$ について、$X$ で生成される $M$ の部分モノイドとは、$X$ を含む $M$ の部分モノイド全体の交叉として構成される $M$ の部分モノイドのことをいう。このモノイドについて、$\langle X \rangle$ と表記する。
補題 15 (生成されたモノイドの最小性)
モノイド $M$ の部分集合 $X$ について、$\langle X \rangle$ は存在し、 $X$ を含む $M$ の部分モノイドのなかで最小のものである。
Proof.
構成より $X\subset \langle X \rangle$ は明らか。また、$X$ を含む $M$ の部分モノイド $N$ について、構成より $\langle X \rangle \subset N$ である。□
補題 16 (生成されたモノイド)
モノイド $M$ の部分集合 $X$ について、$\langle X \rangle$ は $X$ の元の有限個($0$ 個を含む)の和として表されるもの全体のなす集合である。
Proof.
$X$ を含むモノイドは $X$ の元の有限個の和として表される元をすべて含む。また、$X$ の元の有限個($0$ 個を含む)の和として表されるもの全体のなす集合は明らかに $0$ を含み、また和に閉じている。よってこれは $X$ を含む部分モノイドとなり、最小性よりこれは $\langle X \rangle$ である。□
定義 17 (生成系)
モノイド $M$ の部分集合 $X$ が $M$ の生成系であるとは、$X$ の生成するモノイドが $M$ と一致することをいう。
information
情報源
- P. A. Grillet. "Commutative Semigroups". Springer, Netherlands (2001).
