可換モノイド論/合同関係
\(\newcommand{\ker}{\mathrm{ker}} \newcommand{\im}{\mathrm{im}} \) この記事においては、モノイド上の合同関係について定義し、その基本的な性質について述べる。
合同関係
定義 1 (合同関係)
モノイド $M$ 上の二項関係 $R$ が合同関係であるとは、以下の条件を充たすことをいう。
- $R$ は同値関係
- $(a,b) \in R$ かつ $(c,d) \in R$ ならば $(a+c,b+d) \in R$
定義 2 (核)
モノイドの射 $f\colon M \to N$ について、$f$ の核 $\ker f$ とは $\{(m,m') \in M^2 | f(m)=f(m')\}$ のことをいう。
補題 3 (核は合同関係)
モノイドの射 $f\colon M \to N$ について、$\ker f$ は $M$ 上の合同関係である。
Proof.
$\ker f$ は定義より同値関係である。また、$f(a)=f(b)$, $f(c)=f(d)$ が成り立つならば、$f(a+c)=f(a)+f(c)=f(b)+f(d)=f(b+d)$ が成り立つため、$\ker f$ は合同関係となる。
□命題 4 (合同関係の特徴付け)
モノイド $M$ と $M$ 上の二項関係 $R$ について以下は同値である。
- $R$ は合同関係
- $R=\ker f$ を充たすモノイドの射 $f\colon M\to N$ が存在する
- $R=\ker f$ を充たすモノイドの全射 $f\colon M\to N$ が存在する
Proof.
- 3. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 1.
3. $\Rightarrow$ 2. については明らかであり、2. $\Rightarrow$ 1. については指定された{{{type}}}は未宣言の定理環境です。にて示した。
- 1. $\Rightarrow$ 3.
$R$ は $M$ 上の同値関係であったため、集合の全射 $\pi\colon M\to M/R$ を取ることができる(ただし $M/R$ は $R$ による $M$ の同値類の集合であり、$pi$ は $x \in M$ に対して $x$ の同値類を充てる対応である)。
$M/R$ 上の演算を以下のように定める：
- $x,y \in M/R$ について、$x=\pi(a)$, $y=\pi (b)$ を充たす $a,b \in M$ を取り、このとき $x+y=\pi(a+b)$ とおく
定義 5 (商モノイド)
モノイド $M$ と $M$ 上の合同関係 $R$ について、同値類 $M/R$ には自然にモノイド構造が定まる。このモノイドを $M$ の $R$ による商モノイドといい、単に $M/R$ と表記する。
定義 6 (像)
モノイドの射 $f\colon M \to N$ について、$\im f$ とは $f$ の像として現れる $N$ の部分モノイドのことをいう。
定理 7 (準同型定理)
モノイドの射 $f\colon M \to N$ について、射 $\tilde{f}\colon M/\ker f \to \im f$ は同型である。
Proof.
単射性について、$x,y \in M/\ker f$ が $\tilde{f}(x)=\tilde{f}(y)$ を充たすとする。このとき $x=\pi(a)$, $y=\pi(b)$ とおくと、$f(a)=f(b)$ より $x=\pi(a)=\pi(b)=y$ が成り立つ。よって $\tilde{f}$ は単射。
全射性について、任意の $z \in \im f$ はある $a \in M$ について $f(a)$ と表せるため、$z=\tilde{f}(\pi(a))$ が成り立ち、$\tilde{f}$ は全射である。□モノイドとしての合同関係
補題 8 (モノイドとしての合同関係)
モノイド $M$ 上の合同関係 $R$ について、$R$ はモノイド $M\times M$ の部分モノイドである。また、$R$ が $M\times M$ 上の部分モノイドであり、かつ同値関係であるなら $R$ は合同関係である。
Proof.
いずれも定義より明らか。□
補題 9 (合同関係の交叉)
モノイド $M$ 上の合同関係の族 $\{R_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ について、$\bigcap_{\lambda \in \Lambda}R_\lambda$ は $M$ 上の合同関係である。
Proof.
補題 8より、$M$ 上の二項関係が合同関係であることは同値関係かつ $M\times M$ の部分モノイドであることと同値である。$\bigcap_{\lambda \in \Lambda}R_\lambda$ を $R$ とおくと、$R$ の同値関係性、$R$ の部分モノイド性はいずれも明らかであるため、$R$ は合同関係であることがわかる。□
定義 10 (合同関係の生成)
モノイド $M$ と $M\times M$ の部分集合 $X$ について、$X$ を含む合同関係全体の交叉として現れる合同関係を $X$ で生成される $M$ 上の合同関係といい、$\langle X \rangle_{\mathrm{rel}$ もしくは単に $\langle X \rangle$ と表記する。
観察 11 (生成された合同関係の最小性)
モノイド $M$ と $M\times M$ の部分集合 $X$ について、$\langle X \rangle$ は $X$ を含む $M$ の合同関係であって最小のものである。
information
情報源
- P. A. Grillet. "Commutative Semigroups". Springer, Netherlands (2001).
