実数

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実数(じっすう、 real number)とは、 完備順序体の元のことを指す。


実数の定義・基本的性質

この節では実数の定義および基本的な性質を述べる。

定義 1 (実数)

実数全体とは順序体 $(\mathreal, +, \times, \leq)$ で、次の性質を満たすものである。

  • 任意の空でない $X \subset \mathbb{R}$ について、$X$ が上に有界であるならば、$X$ の 最小上界 $\sup{X}$ が存在する。

一意性

実数は同型を除いて一意に定まる。


同値な定義

この節では実数全体の同値な定義について述べる.

定理 2

順序体 $(\mathreal, +, \times, \leq)$ において、次の1、2は同値。

  1. $(\mathreal, +, \times, \leq)$ は実数
  2. 任意の空でない $X \subset \mathbb{R}$ について、$X$ が下に有界であるならば、$X$ の 最小上界 $\inf{X}$ が存在する。


関連項目