局所コンパクト空間

局所コンパクト空間

局所コンパクト空間とは、局所的にコンパクトな近傍を取れる空間のことである。本稿では Hausdorff性を局所コンパクト空間の定義に課す。

定義

位相空間 $X$ が局所コンパクトであるとは、Hausdorff空間であり、かつ任意の点 $x\in X$ について $x$ のコンパクト近傍が存在することをいう。

特徴付け

コンパクト化による特徴付け

Tychonoff空間 $X$ について、以下は同値である。

1. $X$ は局所コンパクトである
2. 任意の $X$ のコンパクト化 $cX$ について、$cX-X$ は $cX$ の閉集合である
3. ある$X$ のコンパクト化 $cX$ について、$cX-X$ は $cX$ の閉集合である

Čech完備空間も参照のこと。

性質

Whiteheadの定理

局所コンパクト空間 $X$ と位相空間 $Y$、商写像 $q:Y\to Z$ について、$id_X\times q:X\times Y\to X\times Z$ は商写像である。