心

心

ある群 $G$ の部分群 $H$ について、「$H$ に含まれるような最大の正規部分群」は存在する。このような正規部分群のことを $H$ の心、もしくは正規核という。

定義

群 $G$ の部分群 $H$ について、$H$ の心 $\mathrm{Core}_G(H)$ とは、以下で定まる $G$ の部分群のことを指す。

• $\mathrm{Core}_G(H) = \bigcap_{x \in G} x^{-1}Hx$

定理

群 $G$ の部分群 $H$ について、$\mathrm{Core}_G(H)$ は以下の性質をみたす。

• $\mathrm{Core}_G(H)$ は $H$ に含まれる $G$ の正規部分群である。
• $H$ に含まれるような $G$ の正規部分群 $N$ について、$N\subset \mathrm{Core}_G(H)$ が成り立つ。