# 有限群の分類(位数1~100)

## 位数1～100の有限群の分類

OEIS (The On-line Encyclopedio of Integer Sequences) には、非負整数 $n$ について位数 $n$ の群の同型類の個数を並べた数列が提示されている。https://oeis.org/A000001 を参照されたい。

## 一覧

1 $1$ $C_1$ 自明
2 $2$ $C_2$ $p$
3 $3$ $C_3$ $p$ $A_3$ と同型。
4 $2^2$ $C_4$ $p^2$
$C_2\times C_2$ $p^2$ 位数最小の非巡回群。（ 個別記事
5 $5$ $C_5$ $p$
6 $2\times 3$ $C_6$ $2p$
$S_3$ 位数最小の非可換群。 $D_6$ と同型。（ 個別記事
7 $7$ $C_7$ $p$
8 $2^3$ $C_8$ 龍孫江さんの解説動画
$C_2\times C_4$
$C_2\times C_2 \times C_2$
$D_8$
$Q_8$
9 $3^2$ $C_9$ $p^2$
$C_3\times C_3$ $p^2$
10 $2\times 5$ $C_{10}$ $2p$
$D_{10}$ $2p$
11 $11$ $C_{11}$ $p$
12 $2^2\times 3$ $Q_{12}$
$C_3 \times C_4$
$A_4$
$D_{12}$
$C_2 \times C_2 \times C_3$
13 $13$ $C_{13}$ $p$
14 $2\times 7$ $C_{14}$ $2p$
$D_{14}$ $2p$
15 $3\times 5$ $C_{15}$ $pq$
16 $2^4$ $C_{16}$
$C_4 \times C_4$
$(C_2 \times C_2) \rtimes C_4$
$C_4 \rtimes C_4$
$C_8 \times C_2$
$C_8 \rtimes C_2$
$D_{16}$
$SD_{16}$
$Q_{16}$
$C_4 \times C_2 \times C_2$
$D_8 \times C_2$
$Q_8 \times C_2$
$(C_4 \times C_2) \rtimes C_2$
$C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2$
17 $17$ $C_{17}$ $p$
18 $2\times 3^2$ $D_{18}$
$C_9 \times C_2$
$D_6 \times C_3$
$(C_3 \times C_3) \rtimes C_2$
$C_3 \times C_3 \times C_2$
19 $19$ $C_{19}$ $p$
20 $2^2\times 5$
21 $3\times 7$ $C_{21}$ $pq$, $21$
$C_{7}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$
22 $2\times 11$ $C_{22}$ $2p$
$D_{22}$ $2p$
23 $23$ $C_{23}$ $p$
24 $2^3\times 3$
25 $5^2$ $C_{25}$ $p^2$
$C_5\times C_5$
26 $2\times 13$ $C_{26}$ $2p$
$D_{26}$ $2p$
27 $3^3$
28 $2^2\times 7$
29 $29$ $C_{29}$ $p$
30 $2\times 3\times 5$
31 $31$ $C_{31}$ $p$
32 $2^5$
33 $3\times 11$ $C_{33}$ $pq$
34 $2\times 17$ $C_{34}$ $2p$
$D_{34}$ $2p$
35 $5\times 7$ $C_{35}$ $pq$
36 $2^2\times 3^2$
37 $37$ $C_{37}$ $p$
38 $2\times 19$ $C_{38}$ $2p$
$D_{38}$ $2p$
39 $3\times 13$ $C_{39}$ $pq$,$39$
$C_{13}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$
40 $2^3\times 5$
41 $41$ $C_{41}$ $p$
42 $2\times 3\times 7$
43 $43$ $C_{43}$ $p$
44 $2^2\times 11$
45 $3^2\times 5$
46 $2\times 23$ $C_{46}$ $2p$
$D_{46}$ $2p$
47 $47$ $C_{47}$ $p$
48 $2^4\times 3$
49 $7^2$ $C_{49}$ $p^2$
$C_7\times C_7$ $p^2$
50 $2\times 5^2$
51 $3\times 17$ $C_{51}$ $pq$
52 $2^2\times 13$
53 $53$ $C_{53}$ $p$
54 $2\times 3^3$
55 $5\times 11$ $C_{55}$ $pq$, $55$
$C_{11}{\rtimes}_{\phi}C_{5}$
56 $2^3 \times 7$
57 $3\times 19$ $C_{57}$ $pq$,$57$
$C_{19}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$
58 $2\times 29$ $C_{58}$ $2p$
$D_{58}$ $2p$
59 $59$ $C_{59}$ $p$
60 $2^2\times 3\times 5$
61 $61$ $C_{61}$ $p$
62 $2\times 31$ $C_{62}$ $2p$
$D_{62}$ $2p$
63 $3^2\times 7$
64 $2^6$
65 $5 \times 13$ $C_{65}$ $pq$
66 $2\times 3\times 11$
67 $67$ $C_{67}$ $p$
68 $2^2\times 17$
69 $3\times 23$ $C_{69}$ $pq$
70 $2\times 5\times 7$
71 $71$ $C_{71}$ $p$
72 $2^3\times 3^2$
73 $73$ $C_{73}$ $p$
74 $2\times 37$ $C_{74}$ $2p$
$D_{74}$ $2p$
75 $3\times 5^2$
76 $2^2\times 19$
77 $7\times 11$ $C_{77}$ $pq$
78 $2\times 3\times 13$
79 $79$ $C_{79}$ $p$
80 $2^4 \times 5$
81 $3^4$
82 $2\times 41$ $C_{82}$ $2p$
$D_{82}$ $2p$
83 $83$ $C_{83}$ $p$
84 $2^2\times 3\times7$
85 $5\times 17$ $C_{85}$ $pq$
86 $2\times 43$ $C_{86}$ $2p$
$D_{86}$ $2p$
87 $3\times 29$ $C_{87}$ $pq$
88 $2^3\times 11$
89 $89$ $C_{89}$ $p$
90 $2\times 3^2\times 5$
91 $7 \times 13$ $C_{91}$ $pq$
92 $2^2\times 23$
93 $3\times 31$ $C_{93}$ $pq$,$93$
$C_{31}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$
94 $2\times 47$ $C_{94}$ $2p$
$D_{94}$ $2p$
95 $5\times 19$ $C_{95}$ $pq$
96 $2^5\times 3$
97 $97$ $C_{97}$ $p$
98 $2\times 7^2$
99 $3^2 \times 11$
100 $2^2\times 5^2$

Lagrangeの定理を参照。

Sylowの定理を参照。

## 特定の形の位数のケースの分類

### 位数 $p$ の群の分類

$p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$である。よって、$1 \neq g \in G$をひとつ固定すると、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < p$によって$h=g^i$と表すことができる。よって、$G$は巡回群$C_p$と同型である。

### 位数 $p^2$ の群の分類

$p$ を素数とすると、位数 $p^2$ の群 $G$ は $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。

$G$ がアーベル群とすると、有限アーベル群の基本定理より $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。以下、 $G$ がアーベル群に限ることを示す。

Lagrangeの定理から $G$ の部分群および商群の位数は $1,p,p^2$ のいずれかである。$G$ が非アーベルならば中心 $Z(G)$ による商群 $G/Z(G)$ は巡回群にならないので、 $\#(G/Z(G))=p^2$ でなければいけない。したがって、 $\#Z(G)=1$ となる。一方、 $G$ は $p$-群であることから $Z(G)$ は自明群にはなりえないのでこれは不可能。ゆえに、 $G$ はアーベル群に限る。

### 位数 $2p$ の群の分類

$p$を奇素数とし、$G$を位数$2p$の有限群とする。このときSylowの定理により、位数$p$の正規部分群$H$が存在する。$H$を生成する元をひとつ固定して、これを$g$とおく。ここで、位数$2$の元$t \in G$はSylowの定理により存在するため、これを任意にひとつ固定すると、ある整数$0 \leq i < p$によって$t^{-1}gt=g^i$と表せる。

このとき$t^{-1}=t$であることに注意する。$tg=t^{-1}g=g^it$より、$g=t^{-1}g^it=(t^{-1}gt)^i=g^{i^2}$が成り立つ。$g$の位数は$p$であったため、$i=1$または$i=p-1$が成り立つ。$i=1$の場合群$G$は$C_{2p}$に同型であり、$i=p-1$の場合群$G$は$D_{2p}$と同型である。

### 位数 $pq$ の群の分類

$q<p$ を素数とする。この時位数$pq$の群は

• $p\neq 1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ と同型
• $p=1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ の他に非自明な半直積が存在し位数 $pq$ のフロベニウス群のどちらかと同型となる。