群論の基礎2：部分群
この章では部分群や巡回群の定義と、基本的な性質について述べる。
定義 2.1 (部分群)
$G$を群とする。
空でない部分集合$H\subset G$が$G$の二項演算によって群になるとき、$H$を$G$の部分群という。
例 2.2 (部分群の例(自明な部分群))
群$G$の単位元のみからなる部分集合$\{e\}$や$G$自身は$G$の部分群になる。
これらは自明な部分群と呼ばれる。
定理 2.3 (部分群になるための条件)
群$G$の空でない部分集合$H$に対して、以下は同値。
(1)$H$は$G$の部分群である。
(2)任意の$a,b\in H$に対して、$ab\in H$かつ$a^{-1}\in H$。
(3)任意の$a,b\in H$に対して、$a^{-1}b\in H$。
Proof.
(1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)は明らか。(3)$\Rightarrow$(1)を示す。
(単位元の存在)
任意の$a,b\in H$に対して$a^{-1}b\in H$なので、$(a^{-1}b)^{-1}(a^{-1}b)=b^{-1}aa^{-1}b=e\in H$。
(逆元の存在)
$e\in H$なので、任意の$a\in H$に対して、$a^{-1}e=a^{-1}\in H$。
($G$の演算で閉じていること)
任意の$a,b\in H$に対して、$a^{-1}\in H$より、$(a^{-1})^{-1}b=ab\in H$。
□命題 2.4 (部分群の共通部分は部分群)
$H_1,H_2\subset G$を$G$の部分群とする。
このとき、$H_1\cap H_2$も$G$の部分群である。
Proof.
$e\in H_1\cap H_2$より、$H_1\cap H_2$は空でない。
任意に$a,b\in H_1\cap H_2$を取る。
$H_1$は$G$の部分群なので、$a^{-1}b\in H_1$。同様に$a^{-1}b\in H_2$。
よって、$a^{-1}b\in H_1\cap H_2$なので、$H_1\cap H_2$は$G$の部分群。
□定義 2.5 (部分集合から生成される群)
群$G$の部分集合$S$に対して、$S$を含む$G$の部分群の族を$\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$とする。
\[ \langle S \rangle=\cap_{\lambda\in\Lambda} \]
を$S$から生成される部分群という。
$\langle S \rangle$は$S$を含む最小の部分群である。
定義 2.6 (巡回群)
群$G$のある元$g$に対して、$\{g\}$から生成される群
\[ H=\{g^n|n\in\mathbb{Z}\} \]
を巡回群という。
巡回群を生成する元を生成元という。
巡回群は生成元を用いて$\langle g \rangle$のように表記される。
注意 2.7 (生成元は一意に定まらない)
巡回群の生成元は一意に定まるとは限らない。
例えば、$\mathbb{Z}$を加法によって群とみなすと、その生成元は1と-1である。
定義 2.8 (元の位数)
群$G$の元$g$によって生成される巡回群$\langle g \rangle$の位数を元$g$の位数という。
命題 2.9 (巡回群は可換群)
巡回群は可換群である。
Proof.
$G=\langle g \rangle$を巡回群とする。
任意の$x,y\in G$に対して、ある整数$n,m\mathbb{Z}$が存在し、$x=g^n、y=g^m$と表わせる。
よって、
\[ xy=g^ng^m=g^{m+n}=g^mg^n=yx \]
つまり、任意の元は可換なので$G$は可換群である。
□命題 2.10 (巡回群の部分群は巡回群)
巡回群の部分群は巡回群である。
Proof.
$G=\langle g\rangle$を巡回群、$H\subset G$を$G$の部分群とする。
$H=\{e\}$ならばこれは巡回群なので、以下では$H\neq\{e\}$とする。
任意に$x\in H$を取ると、ある整数$n$によって$x=g^n$と表わせる。
$H$は群なので$g^{-n}\in H$であり、このことから$g^k\in H$となるような最小の$k\in\mathbb{N}$が存在する。 $H\subset\langle g^k\rangle$を示す。
任意に$y\in H$を取るとある整数$m$によって$y=g^m$と表わせる。
$m=qk+r$($q,r\in\mathbb{Z}、0\leq r<k$)とすると、$g^r=g^{m-qk}=g^m(g^k)^{-q}\in H$なので、$k$の最小性より$r=0$と分かる。
よって、$y=g^m=(g^k)^q\in\langle g^k\rangle$。
$H\supset\langle g^k\rangle$は明らかなので$H=\langle g^k \rangle$となる。
以上より、巡回群の部分群は巡回群になる。
□命題 2.11 (自明な部分群しかもたない群は素数位数の巡回群)
群$G\neq\{e\}$が自明な部分群しか持たないならば、$G$は素数位数の巡回群である。
Proof.
単位元ではない元$g\in G$によって生成される巡回群$\langle g\rangle\neq\{e\}$は$G$の部分群なので$G=\langle g\rangle$。
よって、$G$は巡回群である。
$G$が位数無限の巡回群ならば、$\langle g^2\rangle(\neq\langle g\rangle)$は$G$の自明でない部分群になる。
よって$G$の位数は有限なので、$|G|=n\in\mathbb{N}$と書ける。
$n$が素数でないと仮定すると、$n=ab$となる互いに素な自然数$a,b>1$が存在する。
このとき$\langle g^a\rangle$を考えると、$g^a\neq e$で$(g^a)^b=e$なので$\langle g^a\rangle$の位数は$b$の約数。
つまり$\langle g^a\rangle$は$G$の自明でない部分群となるのでこれは矛盾。
よって、$n$は素数。
以上より、$G$は素数位数の巡回群。
□命題 2.12 (有限群の元の位数は有限)
有限群の任意の元の位数は有限である。
Proof.
$G$を有限群とする。
$g\in G$を任意にとり、$g$が生成する部分群$\langle g\rangle$を考えると$\langle g\rangle\subset G$なので、$|\langle g\rangle|\leq|G|$。
$|G|$は有限なので$|\langle g\rangle|$も有限。
巡回群の位数と生成元の位数は一致するので$g$の位数は有限。
つまり、$G$の任意の元の位数は有限。
□命題 2.13 (可換群の位数が有限な元の積の位数は有限)
可換群の位数が有限な2つの元の積は位数が有限である。
Proof.
$G$を可換群とする。
$a,b\in G$を位数が有限な元とすると、ある非負整数$m,n$が存在して$a^m=b^n=e$。
よって、
\[ (ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=(a^m)^n(b^n)^m=e \]
(1つ目の等号は$G$が可換群であることを利用している。)
$mn$は有限なので、積$ab$の位数は有限。
□命題 2.14 ($\mathbb{Z}$の部分群は$n\mathbb{Z}$)
加法群$\mathbb{Z}$の自明でない任意の部分群は$n\in\mathbb{N}$を用いて$n\mathbb{Z}$と書ける。
Proof.
$\mathbb{Z}$の部分群$H$を任意に取る。
$H\neq\{0\}$なので、$H$に含まれる最小の自然数$n$が存在する。
$H=n\mathbb{Z}$を示す。
$a\in H$を任意に取る。
整数$q,0\leq r<n$を用いて$a=nq+r$と表わすことができて、$nq\in\mathbb{Z}$である。
このとき、$r=a+(-nq)\in\mathbb{Z}$であるが、$n$の最小性から$r=0$である。
よって、$a=nq\in n\mathbb{Z}$なので、$H\subset n\mathbb{Z}$である。
$n\mathbb{Z}\subset H$は明らかなので$H=n\mathbb{Z}$が成り立つ。
□命題 2.16 (最大の部分群を持つ群は素数べきの巡回群)
$G$を群、$H$を自明でない部分群とする。
$G$の任意の自明でない部分群が$H$に含まれるならば、$G$は位数が素数べきの巡回群である。
Proof.
$g\in H^c$を任意に取る。
巡回群$\langle g\rangle$は自明な部分群で$\{e\}$ではないので$G=\langle g\rangle$である。
$\langle g\rangle$が無限巡回群ならば$\langle g^2\rangle$は$G$の自明でない部分群であるが$H$に含まれない。
これは任意の自明でない部分群が$H$に含まれることに矛盾するので$\langle g\rangle$の位数は有限。
$\langle g\rangle$が位数$n$の有限巡回群であるとする。
$n$が素数べきではないとすると、$n$は異なる素因数$p,q$を持つ。
このとき$\langle g^p\rangle$は自明でない部分群であるが、$H$に含まれないので矛盾。
以上より、$n$は素数べきなので$G=\langle g\rangle$は位数が素数の巡回群である。
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