群論の基礎2.5:様々な群

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この章では群の具体例を確認する。  群であることや部分群であることについては証明しない。

入門テキスト「群論の基礎」

定義 2.5. (対称群)

集合$X_n=\{1,\cdots,n\}$から$X_n$自身への全単射をn次の置換という。

$n$次の置換全体の集合$S_n$は写像の合成を積として群になる。

$S_n$を$n$次対称群という。

$n$次対称群は位数$n!$の有限群である。

定義 2.5. (一般線型群)

実数を成分に持つ$n$次正則行列全体の集合を$GL(n,\mathbb{R})$と書く。

これは行列の積によって群になる。

複素数を成分に持つ$n$次正則行列についても同様で、$GL(n,\mathbb{R}),GL(n,\mathbb{C})$を$n$次の一般線型群という。

注意 2.5. (実数・複素数以外の体について)

体について既に知っている読者に向けて説明すると、一般線型群は実数や複素数だけでなく一般の体で定義される。

これ以降に出てくる行列によって定義される群も同様である。


定義 2.5. (特殊線型群)

\[ SL(n,\mathbb{R})=\{A\in GL(n,\mathbb{R})|\det A=1\} \]

と定義すると、これは行列の積によって群になる。

複素数についても同様で、$SL(n,\mathbb{R}),SL(n,\mathbb{C})$を$n$次の特殊線型群という。

特殊線型群は一般線型群の部分群である。

定義 2.5. (直交群)

\[ O(n)=\{A\in GL(n,\mathbb{R})|A ^tA=E\} \]

と定義すると、これは行列の積によって群になる。

$O(n)$を直交群という。

直交群は一般線型群の部分群である。

定義 2.5. (特殊直交群(回転群))

\[ SO(n)=\{A\in O(n)|\det A=1\} \]

と定義すると、これは行列の積によって群になる。

$SO(n)$を特殊直交群、あるいは回転群という。

特殊直交群は直交群の(正規)部分群である。

定義 2.5. (ユニタリ群)

\[ U(n)=\{A\in GL(n,\mathbb{C})|A ^t\overline{A}=E\} \]

と定義すると、これは行列の積によって群になる。

$U(n)$を$n$次のユニタリ群という。

ユニタリ群は一般線型群の部分群である。

定義 2.5. (特殊ユニタリ群)

\[ SU(n)=\{A\in U(n)|\det A=1\} \]

と定義すると、これは行列の積によって群になる。

$SU(n)$を$n$次の特殊ユニタリ群という。

特殊ユニタリ群はユニタリ群の部分群である。

定義 2.5. (四元数群)

\[ Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\} \]

と定義する。

\[ ij=k,\ jk=i,\ ki=j \] \[ i^2=j^2=k^2=-1 \]

によって演算を定めると、$Q_8$は位数8の非可換群になる。

$Q_8$を四元数群という。

定義 2.5. (二面体群)

$3\leq n\in\mathbb{N}$とする。

$P_n$を単位円に接する正$n$角形で、1つの頂点を$(1,0)$に持つものとする。

\[ D_n=\{A\in O(2)| AP_n=P_n\} \]

と定義すると、これは行列の積によって群になる。

$D_n$を二面体群という。