長い直線
長い直線
長い直線（Long line）とは、任意の（空でない）有界開区間が実直線 $\mathbb{R}$ と同型だが全体は実直線に埋め込めない様な全順序集合のことである。パラコンパクトでない位相多様体の例にもなっている。
定義
以下に定義する全順序集合全てを総称して長い直線ともいう。この記事では全順序集合は常に順序位相((順序集合の要素 $a$, $b$ によって $(-\infty,a)$, $(a,b)$, $(b,\infty)$ の形で表すことのできる部分集合を開区間という。順序位相とは開区間全体を開基とする位相のことを指す。))で位相空間と見なす。
閉じた長い半直線
閉じた長い半直線（closed long lay）とは最小の非可算順序数 $\omega_1$ と半開区間 $[0,1)$ との直積 $\mathbb{L}_{\geq 0}\colon =\omega_1\times [0,1)$ に辞書式順序、すなわち
$(\alpha, s)\leq (\beta, t)\,\Longleftrightarrow\, \alpha<\beta$ または $(\alpha=\beta$ かつ $s\leq t)$
で定まる順序 $\leq$ を入れた全順序集合である。これは
- 最小値を持ち、任意の（空でない）有界開区間が実直線 $\mathbb{R}$ と順序同型だが、可分でない全順序集合。
の様に特徴付けることも出来る。
閉じた長い半直線の性質の多くは $\omega_1$ の性質から導かれる。
開いた長い半直線
閉じた長い半直線から最小値を除いたものを開いた長い半直線という（open long ray）。
長い直線
長い直線（long lay）とは（順序逆向きの）閉じた長い半直線と閉じた長い半直線を（逆向き）端点で貼り合わせた順序集合である。これは
- 端点を持たず、任意の（空でない）有界開区間が実直線 $\mathbb{R}$ と順序同型だが、点列コンパクトになる空でない全順序集合。
の様に特徴付けることも出来る。
性質
特に言及がない限り以下の性質は、長い直線、閉じた長い半直線、開いた長い半直線、全てで成り立つ。
分離性
-
コンパクト性
- 局所コンパクトである。
- 長い直線、および閉じた長い半直線は、点列コンパクトである。
- 長い直線および閉じた長い半直線の有界閉部分集合はコンパクトである。
- コンパクトではない。
- $\sigma$コンパクトではない。
- パラコンパクトではない。
可算性
- 第一可算である。
- 第二可算ではない。
- 可分ではない。
- Lindelöf空間ではない。
その他
- 弧状連結かつ局所弧状連結かつ単連結である。
- 可縮ではない。
- 長い直線、および開いた長い半直線は、パラコンパクトでない1次元位相多様体である。
- 閉じた長い半直線は、パラコンパクトでない1次元境界つき位相多様体である。
- パラコンパクトでない（境界が空でもよい）連結1次元境界つき位相多様体は、長い直線、開いた長い半直線、閉じた長い半直線のいずれかと同相である。
コンパクト化
非有界閉集合と連続関数
補題1（有界集合の可算合併の有界性）
閉じた長い半直線 $\mathbb{L}_{\geq 0}$ の可算個の有界部分集合の合併は再び有界集合になる。
Proof.
$( (A_i,x_i))_{i\in\omega}$ を $\mathbb{L}_{\geq 0}$ の有界部分集合 $A_i$ とその上界 $x_i\in\mathbb{L}_{\geq 0} $ の可算列とする。このとき $\alpha\colon =\sup\{\beta+1 | \beta\in\omega_1$ であり、ある $i\in\omega$ があって、$x_i\in\{\beta\}\times [0,1)\}$ とすると、$\alpha\in\omega_1$ であり((可算個の可算順序数の極限は可算順序数である。))、$(\alpha,0)$ が $\bigcup_{i\in\omega}A_i$ の上界になる。
□命題2（非有界閉集合の可算共通部分の非有界性）
閉じた長い半直線 $\mathbb{L}_{\geq 0}$ の可算個の非有界閉部分集合((closed unbounded set, 略してclub set という。))の共通部分は再び非有界閉部分集合になる。
Proof.
$\{A_i\subseteq\mathbb{L}_{\geq 0} | i\in\omega \}$ を非有界閉集合の可算列とする。このとき任意の $x\in\mathbb{L}_{\geq 0}$ にたいし、各 $A_i$ 上の数列 $(a_{i,j})_{j\in\omega}$ を
- $x<a_{0,0}$ かつ 任意の $i\in\omega$ にたいして $a_{i,0}<a_{0,i+1}<a_{1,i}<\cdots <a_{i,1}<a_{i+1,0}$ 。
を満たすように再帰的に取る(($A_i\subseteq \mathbb{L}_{\geq 0}$ の非有界性と選択公理からこのような数列が取れる。))。 このとき $\{a_{i,j} | i,j\in\omega\}$ は可算集合（つまり一点集合の可算合併）なので補題1より有界。その上界の一つを $x\in \mathbb{L}_{\geq 0} $ とすると $\{y\in\mathbb{L}_{\geq 0} | y\leq x\}$ は $[0,1]$ と順序同型なので((実直線の順序型の特徴付けから従う。))、コンパクト性から、$(a_{i,j})_{i,j\in\omega}$ の上限 $c\in\mathbb{L}_{\geq 0}$（$x<c$）が存在（これは各 $(a_{i,j})_{j\in\omega}$ の収束点でもある）。各 $A_i$ は閉集合なので、$c\in\bigcap_{i\in\omega}A_i$ 。また $x$ は任意だったので閉集合 $\bigcap_{i\in\omega}A_i$ は非有界である。
□命題3（連続関数は有界集合上を除いて定数）
閉じた長い半直線 $\mathbb{L}_{\geq 0}$ 上の実数値連続関数は有界集合上を除いて定数関数になる。
Proof.
$f\colon\mathbb{L}_{\geq 0}\to\mathbb{R} $ を連続関数とする。今もし任意の $i\in\mathbb{Z}$ について $f^{-1}([i,\infty ))$ が有界なら補題1から $\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}f^{-1}([i,\infty ))=f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{L}_{\geq 0}$ も有界となって矛盾。よってある $i\in\mathbb{Z}$ が存在して $f^{-1}([i,\infty ))$ は非有界。また$X:=\{r\in\mathbb{R} | f^{-1}([r,\infty )$ が非有界$\}$ が上に非有界なら $X$ の上に非有界な上昇列 $x_1,\ldots, x_n, \ldots$ が取れるが、命題2から $\bigcap_{r\in X}f^{-1}([r,\infty ))=\bigcap_{i\in\mathbb{N}}f^{-1}([x_i,\infty ))=\emptyset$ も非有界となり矛盾。よって上限 $s\colon=\sup\{r\in\mathbb{R} | f^{-1}([r,\infty ))$ が非有界$\} $ が存在する。このとき、$f^{-1}([s,\infty ))=\bigcap_{i\in\mathbb{Z}_{>0}}f^{-1}([s-(1/i),\infty )) $ なので命題2から $f^{-1}([s,\infty ))$ は非有界。任意の $i\in\mathbb{Z}_{>0}$ について命題2から $f^{-1}( (-\infty,s-(1/i)])$ は有界であり（そうでなければ $f^{-1}( (-\infty,s-(1/i)])\cap f^{-1}([s,\infty ))=\emptyset$ が非有界になって矛盾）、補題1から $f^{-1}( (-\infty,s) )=\bigcup_{i\in\mathbb{Z}_{>0}}f^{-1}( (-\infty,s-(1/i)])$ も有界。$s$ の定義から、任意の $i\in\mathbb{Z}_{>0}$ について $f^{-1}([s+(1/i),\infty ) )$ は有界なので補題1から $f^{-1}( (s,\infty))=\bigcup_{i\in\mathbb{Z}_{>0}}f^{-1}([s+(1/i),\infty ) )$ も有界。以上から $f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{s\})=f^{-1}( (-\infty,s))\cup f^{-1}((s,\infty) )$ は $\mathbb{L}_{\geq 0}$ の有界部分集合となる。
□コンパクト化の一意性
命題4（コンパクト化の一意性）
閉じた長い半直線 $\mathbb{L}_{\geq 0}$ のコンパクト化は全て一点コンパクト化と同型。
Proof.
$\beta\mathbb{L}_{\geq 0} $ を $\mathbb{L}_{\geq 0}$ の閉集合族の超フィルター全体によって構成されたStone-Čechコンパクト化とする。このとき、$\mathcal{F}, \mathcal{G}\in\beta\mathbb{L}_{\geq 0}$ を無限遠境界から一つ取る。$\mathcal{F}, \mathcal{G}$ は無限遠境界上の超フィルターなので非有界閉集合から構成されるが、命題2より任意の非有界閉集合は空でない共通部分を持つので、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立する。両立する超フィルターは一致するので $\mathcal{F}=\mathcal{G}$ であり無限遠境界は一点集合。Stone-Čechコンパクト化および一点コンパクト化の普遍性より $\mathbb{L}_{\geq 0}$ のコンパクト化は全て一点コンパクト化と（コンパクト化として）同型(($\mathbb{L}_{\geq 0}$ は局所コンパクトHausdorff空間であることに注意。))((関数空間によるStone-Čechコンパクト化の構成でも命題3から同様に証明可能。))。
□注意5
長い直線のコンパクト化は最大最小を加えたものに一致する。開いた長い半直線や実直線は同型を除いて非常に多くのコンパクト化を持つ。
