順序数

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\( \newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)} \newcommand{\Nat}{\mathbb{N}} \newcommand{struc}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\On}{\mathrm{On}} \) \( \newcommand{\ZFC}{\mathsf{ZFC}} \newcommand{\ZF}{\mathsf{ZF}} \newcommand{\AC}{\mathsf{AC}} \) \( \newcommand{\blank}{ {-} } \)

順序数 (ordinal number, ordinal) とは、naïveには整列順序全体を同型という同値関係で割ることによって得られる同値類の代表元である。

Von Neumannによる定義

整列順序全体は真のクラスとなり、よって同値関係で割るという操作は (Scottの絡繰など工夫をしない限り)できない。以下では現代的な集合論に於いて最も一般的なVon Neumann1による定義を紹介する。

定義 1 (順序数)

集合 \(\alpha\) が順序数 (ordinal number, ordinal) であるとは以下の条件を満たすことである。

  • \(\struc{\alpha;\in\restriction\alpha}\) は整列順序である。すなわち以下が成り立つ[脚注 1]
    • 非反射性 (irreflexivity)  任意の \(\xi\in\alpha\) に対して \(\xi\notin \xi\) である。
    • 三分性 (trichonomy)  任意の \(\xi,\zeta\in\alpha\) に対して \(\xi\in\zeta\) 、\(\zeta\in\xi\) 、\(\xi=\zeta\) のいずれかが成り立つ。
    • 推移性 (transitivity)  任意の \(\xi,\zeta,\eta\in\alpha\) に対して \(\xi\in\zeta\) かつ \(\zeta\in\eta\) ならば \(\xi\in\eta\) である。
    • 整礎性 (well-foundedness) 任意の \(X\subseteq\alpha\) に対して、「任意の \(\xi\in X\) に対して、『任意の \(\zeta\in\xi\) に対して \(\zeta\in X\) 』ならば \(\zeta\in X\)」である。
  • \(\alpha\) は推移的集合である。すなわち以下が成り立つ。
    • 任意の \(\xi\in\alpha\) 、\(\zeta\in\xi\) に対して \(\zeta\in\alpha\) である。

以下、順序数全体(これは集合にはならない)を \(\On\)と表す。

脚注

  1. 整列順序の仮定の内、非反射律と整礎性は正則性公理などから導かれ、推移性は \(\alpha\) が推移的集合であるという仮定から成り立つため実は余分な仮定である。しかしここでは整列集合であるという定義の意図を明確にするため敢えて必要のない仮定も明示している。

出典

  • 1 J. Von Neumann. (1923) "Zur einführung der transfiniten zahlen". Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, sectio scientiarum mathematicarum 1() : 199–208.