Hölder空間の基本事項

提供: Mathpedia

[math] \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}} \newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}} \newcommand{\M}{\mathbb{M}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\n}{\mathbf{n}} \newcommand{\Rnp}{\R^n_+} \newcommand{\Rnn}{\R^n_-} \newcommand{\pRnp}{\partial\Rnp} \newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ } \newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ } \newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ } \newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ } \newcommand{\det}{\operatorname{det}} \newcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diam}{\operatorname{diam}} \newcommand{\dist}{\operatorname{dist}} \newcommand{\supp}{\operatorname{supp}} \newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ } \newcommand{\rcpt}{\subset\subset} \newcommand{\loc}{\rm{loc}} \newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ } \newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ } \newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}} \newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}} \newcommand{\OmT}{\Omega\cup T} \newcommand{\pOm}{\partial\Omega} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} [/math]

ここではHölder連続と呼ばれるクラスの連続関数とそれらの属する関数空間であるHölder空間について主に取り扱う。偏微分方程式論など解析学においては、係数などへの仮定が通常の連続性では不十分であり、以下に述べるHölder連続性を仮定することが適切であることがしばしばある。

ここではとくに断らない限り $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。 また $K$ で $\R$ または $\C$ を表す。また $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す(中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すこともある)。

Hölder空間の定義と基本性質

定義 0 (関数空間$C^k(\Ombar)$)

$k\in\Zp$ とする。関数空間 $C(\Ombar)=C^0(\Ombar)$ と $C^k(\Ombar)$ を \begin{align*} C(\Ombar)&\colon=\{f\colon\Omega\to K\ \colon\ f\ は\Omega\ の有界集合上で一様連続\},\\ C^k(\Ombar)&\colon=\{u\colon\Omega\to K\ \colon\ u\ は\Omega\ 上で\ C^k\ 級で\ |\gamma|\le k\ なる多重指数\ \gamma\ について\ D^\gamma u\in C(\Ombar)\} \end{align*} と定める。[1]

注意

字義通り解釈すれば $C(\Ombar)$ の定義は $\{f\colon\Ombar\to K\ \colon\ f\ は\Ombar\ 上で連続\}$ とするのが適切である。しかし、$\Ombar$ 上の連続関数は $\Omega$ の有界集合上で一様連続であり、逆に $\Omega$ の有界集合上で一様連続な関数は $\Ombar$ 上の連続関数に一意的に拡張される[2]。そこで、通常は $\Omega$ の有界集合上で一様連続な関数はその $\Ombar$ 上への連続拡張と区別しない。またこの同一視により $f\in C(\Ombar)$ の $\pOm$ 上での値を定める。

定義 1 (Hölder空間$C^{0,\alpha}(\Ombar)$)

$\alpha\in\ (0,1]$ とする。$f\colon\Omega\to K$について $$[f]_{0,\alpha;\Omega}\colon=\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y}}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}$$ とする。また関数空間 $C^{0,\alpha}(\Ombar)$ を $$C^{0,\alpha}(\Ombar)\colon=\left\{f\colon\Omega\to K\ \colon\ [f]_{0,\alpha;\Omega}<\infty\right\} $$ と定め、Hölder空間という。また $f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$ のとき $f$ は $\Omega$ 上で指数 $\alpha$ で一様Hölder連続, あるいは単に $\alpha$ -Hölder連続であるという。

注意

$\alpha$ -Hölder連続性は次のように特徴づけられる: $$C\ge 0\ が存在して任意の\ x,y\in\Omega\ について\ |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^\alpha.$$ またこのような $C$ として最小のものが $[f]_{0,\alpha;\Omega}$ である。

とくに$1$ -Hölder連続はLipschtz連続と同値である。

定義 2 (Hölder空間 $C^{k,\alpha}(\Ombar)$)

$k\in\Zp$、$\alpha\in (0,1]$ とする。関数空間 $C^{k,\alpha}(\Ombar)$を $$C^{k,\alpha}(\Ombar)\colon=\{f\colon\Omega\to K\ \colon\ f\ は\Omega\ 上で\ C^k\ 級で\ |\gamma|\le k\ なる多重指数\ \gamma\ について\ D^\gamma u\in C^{0,\alpha}(\Ombar)\}$$ と定める。

注意

便宜上、$C^{k,0}(\Ombar)=C^k(\Ombar)$ として $\alpha=0$ の場合を定める。以下で定義される関数空間についても同様。

定義 3 ($C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のセミノルムとノルム)

$k\in\Zz$ とする。次のように $C^k(\Ombar)$ に「セミノルム」と「ノルム」を定める: \begin{align*} |u|_{0;\Omega}=[u]_{0;\Omega}=[u]_{0,0;\Omega}&\colon=\sup_{x\in\Omega}|u(x)|,\\ [u]_{j;\Omega}&=[u]_{j,0;\Omega}\colon=\sum_{|\gamma|=j}|D^\gamma u|_{0;\Omega},\\ |u|_{k;\Omega}&=|u|_{k,0;\Omega}\colon=\sum_{j=0}^k[u]_{j,0;\Omega}=\sum_{|\gamma|\le k}|D^\gamma u|_{0;\Omega}. \end{align*} また $\alpha\in (0,1]$ とする。次のように $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ にセミノルムと「ノルム」を定める: \begin{align*} [u]_{k,\alpha;\Omega}&\colon=\sum_{|\gamma|=k}[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega},\\ |u|_{k,\alpha;\Omega}&\colon=|u|_{k;\Omega}+[u]_{k,\alpha;\Omega}. \end{align*}

注意

これらはセミノルムの定義(位相線形空間2:セミノルム位相と汎弱位相の定義 $8.2$ )をみたし、かつ|$\quad$ |が使われているものはノルムの定義(位相線形空間1:ノルムと内積の定義 $1.1$ )をみたす。しかし、一般には値が $\infty$ になりえるためこれらは $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のセミノルムやノルムとはならず、これらの値が有限となる $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ の部分空間に制限すればセミノルムやノルムとなる。とくに $\Omega$ が有界であればこれらの値は必ず有限になり、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のセミノルムやノルムとなる。

定義 4 (無次元ノルム)

$\Omega$ を有界とし、$k\in\Zz$、$R\ge\diam\Omega$ とする。次のように $C^k(\Ombar)$ にノルムを定める: $$|u|^{\prime}_{k;\Omega}\colon=\sum_{j=0}^kR^j[u]_{j;\Omega}.$$ また$\alpha\in (0,1]$ とする。次のように$C^{k,\alpha}(\Ombar)$にノルムを定める: $$|u|^{\prime}_{k,\alpha;\Omega}\colon=|u|^{\prime}_{k;\Omega}+R^{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}.$$ これらのノルムを無次元ノルムという。

注意

無次元ノルムは定義 3のノルムと同値なノルムであり、本質的な差異はない。一方、無次元ノルムを用いると評価の記述が簡単になることがある。

$R$ の値は指定がなければ $R\ge\diam\Omega$ であれば何でもよい。

定義 5 (「強く含まれる」)

$A\subset B\subset\R^n$ とする。$A$ が有界かつ $\overline{A}\subset B$ をみたすとき $A$ は $B$ に強く含まれるといい、$A\rcpt B$ とかく。

注意

$A\rcpt B$ は $A\subset B$ が相対コンパクト、すなわち $B$ の相対位相に関する $A$ の閉包がコンパクトであることと同値である。

定義 6 (Hölder空間 $C^{k,\alpha}(\Omega),C^{k,\alpha}_c(\Omega)$)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ とする。関数空間$C^{k,\alpha}(\Omega)$ を \begin{align*} C^{k,\alpha}(\Omega)&\colon=\{u\colon\Omega\to K\ \colon\ 任意の開集合\ \Omega^{\prime}\rcpt\Omega\ について u\in C^{k,\alpha}(\overline{\Omega^{\prime}})\},\\ C^{k,\alpha}_c(\Omega)&\colon=\{u\in C^{k,\alpha}(\Omega)\ \colon\ \supp u\ がコンパクト\} \end{align*} と定める( $\supp u$ の定義は位相空間論15:局所コンパクト空間の定義15.6。)。また $\alpha\in(0,1]$、$f\in C^{0,\alpha}(\Omega)$ のとき $f$ は $\Omega$ 上で指数 $\alpha$ で局所Hölder連続、あるいは単に局所 $\alpha$ -Hölder連続であるという。

定義 7 (Hölder空間 $C^{k,\alpha}(\OmT)$)

$k\in\Zz$、$\alpha\in(0,1]$ とする。また $T\subset\pOm$ を相対開集合とする。関数空間$C^{k,\alpha}(\OmT)$ を $$C^{k,\alpha}(\OmT)\colon=\{u\colon\Omega\to K\ \colon\ 任意の開集合\ \Omega^{\prime}\rcpt\OmT\ について u\in C^{k,\alpha}(\overline{\Omega^{\prime}})\}$$ と定める。

命題 8

$\alpha\in[0,1]$、$r\gt0,M\ge 0$ とする。$f\colon \Omega\to K$は任意の $x\in\Omega$ について $f\in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega\cap B_r(x)}),|f|_{0,\alpha;B_r(x)\cap\Omega}\le M$ をみたすとする。このとき $$f\in C^{0,\alpha}(\Ombar), |f|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{\alpha,r}M.$$[3]

Proof.

$\alpha=0$ とする。$f$ は各 $x\in\Ombar$ の近傍で一様連続であるから $\Ombar$ 上の連続関数に一意的に拡張する[2]ので$f\in C(\Ombar)$。また $x\in\Omega$ について $$|f(x)|\le |f|_{0;B_r(x)\cap\Omega}\le M$$ となるので $|f|_{0;\Omega}\le M$。

$\alpha\in(0,1]$ とする。$x,y\in\Omega$ について $$|f(x)-f(y)|\le \begin{cases} [f]_{0,\alpha;B_r(x)\cap\Omega}|x-y|^\alpha\le M|x-y|^\alpha&\colon |x-y|\lt r\\ |f(x)|+|f(y)|\le |f|_{0;B_r(x)\cap\Omega}+|f|_{0;B_r(y)\cap\Omega}\le 2M\le 2Mr^{-\alpha}|x-y|^\alpha&\colon |x-y|\ge r \end{cases} .$$ 従って $$[f]_{0,\alpha;\Omega}\le \max\{M,2Mr^{-\alpha}\}\le(1+2r^{-\alpha})M$$ となり $|f|_{0;\Omega}\le M$ とあわせて $$|f|_{0,\alpha;\Omega}\le (2+2r^{-\alpha})M.$$

次の命題は直接大域的な評価をすることが難しいときにHölder連続性を示すのにしばしば用いられる:

命題 9

$\Omega$ を有界とし、$\alpha\in[0,1]$ とする。$\mathcal{U}=\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $\Ombar$ の開被覆とする。$f\colon \Omega\to K$は任意の $\lambda\in\Lambda$ について $f\in C^{0,\alpha}(\overline{ U_\lambda\cap\Omega})$ をみたすとする。このとき $f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$。 また $M\ge 0$、$|f|_{0,\alpha; U_\lambda\cap\Omega}\le M$ のとき $$|f|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{\alpha,\mathcal{U}}M.$$

Proof.

$|f|_{0,\alpha; U_\lambda\cap\Omega}\le M$ であるとする。$\Ombar$ はコンパクトであるから位相空間論13:距離空間の位相(1)の定理 $13.5$ より $\mathcal{U}$ のLebesgue数 $r>0$ をとれる。各$x\in\Omega$ について $\mu\in\Lambda$ が存在し $B_r(x)\subset U_\mu$となるので $$f\in C^{0,\alpha}(\overline{ B_r(x)\cap\Omega}), |f|_{0,\alpha; B_r(x)\cap\Omega}\le|f|_{0,\alpha; U_\lambda\cap\Omega}\le M.$$ 命題 8より結論を得る。

一般の場合は $\Ombar$ がコンパクトであるから $\mathcal{U}$ の有限部分被覆をとればよい。

命題 10

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ とし、$T\subset\partial\Omega$ を相対開集合とする。$\mathcal{U}=\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $\OmT$ の開被覆とする。$u\colon \Omega\to K$ は任意の $\lambda\in\Lambda$ について $u\in C^{k,\alpha}(\overline{U_\lambda\cap\Omega})$ をみたすとする。このとき$u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$。

Proof.

$\Omega'$ を $\Omega'\rcpt\OmT$ なる開集合とする。各$\lambda\in\Lambda$ について $u\in C^{k,\alpha}(\overline{U_\lambda\cap\Omega})$ で $\Omega'\subset\Omega$ より $u\in C^{k,\alpha}(\overline{U_\lambda\cap\Omega'})$。

$\mathcal{U}$ は $\overline{\Omega'}\subset\OmT$ を被覆するので、命題 9より $|\gamma|\le k$ なる多重指数 $\gamma$ について $D^\gamma u\in C(\overline{\Omega'})$ で、$|\gamma|=k$のとき $D^\gamma u\in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega'})$。従って$u\in C^{k,\alpha}(\overline{\Omega'})$。これより$u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ を得る。

この命題により、$u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ を示すには各 $x\in\OmT$ の近傍で $u$ が $C^{k,\alpha}$ になっていることを確認すればよいことがわかる。

命題 11 (コンパクト台 $C^{k,\alpha}$ 関数の拡張)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ とし、$D$ を $\Omega\subset D$ なる開集合とする。このとき $u\in C^{k,\alpha}_c(\Omega)$ について $$v\colon= \begin{cases} u&\inn\Omega\\ 0&\on D\backslash\Omega \end{cases}$$ と定めると $v\in C^{k,\alpha}_c(D)$。また $\Omega$ が有界のとき $|v|_{k,\alpha;D}=|u|_{k,\alpha;\Omega}$。

Proof.

$\supp u$ はコンパクトより $r\colon=\dist (\supp u,\R^n\backslash\Omega)>0$。

$D_r\colon=\{x\in D: \dist(x,\R^n\backslash\Omega)<r\}$ とすると $D_r\cap\supp u=\emptyset$ であるから $v=u=0\on \Omega\cap D_r$ で、$v$ の定義より $v=0\on D_r\backslash\Omega$ であるから $v=0\inn D_r$。

従って$v\in C^{k,\alpha}(\Omega)$、$v\in C^{k,\alpha}(D_r)$ となるので命題 10より $v\in C^{k,\alpha}(D)$。 また $\dist(\supp v,\R^n\backslash D)=\dist(\{x\in D:v(x)\neq 0\},\R^n\backslash D)\ge\dist(\{x\in \Omega:u(x)\neq 0\},\R^n\backslash \Omega)>0$ より $\supp v$ もコンパクトである[4]。よって $v\in C^{k,\alpha}_c(D)$。

$\Omega$ が有界であるとする。$v=0\on D\backslash\Omega$、$v=u\inn\Omega$ より $|\gamma|\le k$ について $$|D^\gamma v|_{0;D}=\sup_{x\in D}|D^\gamma v(x)|=\sup_{x\in\Omega}|D^\gamma u(x)|=|u|_{0;\Omega}.$$ また $\alpha\in(0,1]$、$|\gamma|=k$ とすると $[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}\le [D^\gamma v]_{0,\alpha; D}$ は明らか。

$x\in\supp u$、$y\in D\backslash\supp u$ とする。$\dist(x,\supp u)=0$、$\dist(x,\supp v)\gt 0$ であるから中間値の定理により $t\in[0,1]$ を $z=(1-t)x+ty$ が $$0<\dist(z,\supp u)\le\min\{\frac{r}{2},\dist(x,\supp v)\}<r$$ をみたすようにとれる。このとき $0\lt\dist(z,\supp u)\lt\dist(\supp u,\R^n\backslash\Omega)$ より $z\in\Omega\backslash\supp u$。また $|x-z|=t|x-y|\le |x-y|$。従って $$|D^\gamma v(x)-D^\gamma v(y)|=|D^\gamma u(x)|=|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(z)|\le[D^\gamma u]_{0,\alpha}|x-z|^\alpha\le[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha.$$ $x\in D\backslash\supp u$、$y\in\supp u$ のときも同様。よって $x,y\in D$ について $$|D^\gamma v(x)-D^\gamma v(y)| \begin{cases} \le [D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha&\colon u,v\in\supp u\\ \le [D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha&\colon x\in\supp u,y\in D\backslash\supp u\ または\ x\in D\backslash\supp u,y\in\supp u\\ =0&\colon x,y\in D\backslash\supp u. \end{cases}$$ よって $[D^\gamma v]_{0,\alpha;D}\le[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}$ となり $[D^\gamma v]_{0,\alpha;D}=[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}$。

以上より $$|v|_{k,\alpha;D}=|u|_{k,\alpha;\Omega}$$ を得る。

注意

以降は $u\in C^{k,\alpha}_c(\Omega)$ はこのような拡張 $v\in C^{k,\alpha}_c(D)$ と区別しない。

Hölder空間の包含関係

命題 12 ($C^{0,\alpha}(\Ombar)$ の包含関係)

$\Omega$ を有界とする。$0\lt\alpha'\le\alpha\le 1$ とすると $C^{0,\alpha}(\Ombar)\subset C^{0,\alpha'}(\Ombar)$ で、$f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$ について $$[f]_{0,\alpha';\Omega}\le(\diam\Omega)^{\alpha-\alpha'}[f]_{0,\alpha;\Omega},|f|'_{0,\alpha';\Omega}\le|f|'_{0,\alpha;\Omega}.$$

Proof.

$f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$とする。$x,y\in\Omega$ について $$|f(x)-f(y)|\le[f]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha\le[f]_{0,\alpha;\Omega}(\diam\Omega)^{\alpha-\alpha'}|x-y|^{\alpha'}.$$ よって $$f\in C^{0,\alpha'}(\Ombar),[f]_{0,\alpha';\Omega}\le(\diam\Omega)^{\alpha-\alpha'}[f]_{0,\alpha;\Omega}.$$ また $$|f|'_{0,\alpha';\Omega}\le|f|_{0;\Omega}+R^{\alpha'}(\diam\Omega)^{\alpha-\alpha'}[f]_{0,\alpha;\Omega}\le|f|_{0;\Omega}+R^{\alpha}[f]_{0,\alpha;\Omega}=|f|'_{0,\alpha;\Omega}.$$

一方で、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ の包含関係はより繊細である:

定義 13 (折れ線)

$p=\{x_i\}_{i=0}^N\subset\Omega$ が $$(1-t)x_i+tx_{i+1}\in\Omega\ (t\in[0,1],i=0,...,N-1)$$ をみたすとき、$p$ を $\Omega$ 内の折れ線という。また $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ について $$l(p)\colon=\sum_{i=0}^{N-1}|x_{i+1}-x_i|$$ を $p$ の長さという。

補題 14 ($C^{0,1}(\Ombar)$ と $C^1(\Ombar)$ の包含関係)

$\Omega$ が次の条件をみたすとする: $$\tag{$\dagger$}\label{geod} L\ge 1\ が存在し、x,y\in\Omega\ について\ \Omega\ 内の折れ線\ p=\{x_i\}_{i=0}^N が存在し、x_0=x、x_N=y、l(p)\le L|x-y|. $$ このとき$u\in C^1(\Ombar)$ について $[u]_{0,1;\Omega}\le L[u]_{1;\Omega}$。とくに$\Omega$ が有界であれば $C^1(\Ombar)\subset C^{0,1}(\Ombar)$。

proof.

$u\in C^1(\Ombar)$ とする。(\ref{geod})の $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとると $x_0=x$、$x_N=y$、$(1-t)x_i+tx_{i+1}\in\Omega\ (t\in[0,1],i=0,...,N-1)$ より \begin{align*} |u(y)-u(x)|&\le\sum_{i=0}^{N-1}|u(x_{i+1})-u(x)|\\ &=\sum_{i=0}^{N-1}\left|\int_0^1 D_iu((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\ &\le\sum_{i=0}^{N-1}|D_iu|_{0;\Omega}|x_{i+1}-x_{i}|\\ &\le[u]_{1;\Omega}l(p)\le L[u]_{1;\Omega}|x-y|. \end{align*} 従って $[u]_{0,1;\Omega}\le L[u]_{1;\Omega}$。$\Omega$ が有界であれば $[u]_{1;\Omega}\lt\infty$ より $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

注意

解析学で扱われる領域は多くの場合(\ref{geod})をみたす。たとえば凸領域は明らかに(\ref{geod})をみたす。

(\ref{geod})をみたさない連結領域としては次のようなものがある: $$n=2,\Omega=\{(x_1,x_2)\in\R^2:|x_1|\lt 1,|x_2|\lt 1,x_2\lt |x_1|^\frac{1}{2}\}.$$ $m\in\Zp$ として $x=(\frac{1}{m^2},\frac{1}{2m})$、$y=(-\frac{1}{m^2},\frac{1}{2m})$ とすると $x,y\in\Omega$。 $$\Omega_1=\{(z_1,z_2)\in\Omega:z_1\gt 0,z_2\gt 0\},\Omega_2=\{(z_1,z_2)\in\Omega:z_1\lt 0,z_2\gt 0\}$$ とすると $x\in\Omega_1$、$y\in\Omega_2$ であり、$p=\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$ を $x_0=x$、$x_N=y$ なる $\Omega$ 内の折れ線とすると $j\colon=\max\{i:x_i\in\Omega_1\}\le N-1$。よって任意の $i$ が $x_i\in\Omega_1\cup\Omega_2$ をみたすとすると $x_j\in\Omega_1,x_{j+1}\in\Omega_2$ となるが、$z\in\Omega_1$ と $z\in\Omega_2$ で任意の $t\in[0,1]$ が $(1-t)z+tw\in\Omega$ をみたすものは存在しないことに矛盾。よって$x_j\in\Omega\backslash(\Omega_1\cup\Omega_2)=\{(z_1,z_2)\in\Omega:z_2\le 0\}$ なる $j$ が存在し $$l(p)\ge |x-x_j|+|x_j-y|\gt \frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}=\frac{1}{m}.$$ 一方$|x-y|=\frac{2}{m^2}$であるから $$\frac{l(p)}{|x-y|}\gt\frac{m}{2}$$ となり、これは $m$ について有界でない。これより $\Omega$ は(\ref{geod})をみたさない。

$\beta\in (0,1)$ として $$ u(x_1,x_2)\colon= \begin{cases} x_2^{1+\beta}&:(x_1,x_2)\in\Omega_1\\ -x_2^{1+\beta}&:(x_1,x_2)\in\Omega_2\\ 0&:x_2\le 0 \end{cases} $$ と定める。このとき $u$ は各 $(x_1,x_2)\in\Omega$ において微分可能で $$ D_2u(x_1,x_2)=0,D_2u(x_1,x_2)= \begin{cases} (1+\beta)x_2^\beta&:(x_1,x_2)\in\Omega_1\\ -(1+\beta)x_2^\beta&:(x_1,x_2)\in\Omega_2\\ 0&:x_2\le 0 \end{cases} $$ であり、これらは $D_1u,D_2u\in C(\Ombar)$ をみたすので $u\in C^1(\Ombar)$。一方 $m\in\Zp$ として $x=(\frac{1}{m^2},\frac{1}{2m}),y=(-\frac{1}{m^2},\frac{1}{2m})$ とすると $u(x)=\frac{1}{(2m)^{1+\beta}}$、$u(y)=-\frac{1}{(2m)^{1+\beta}}$。$\alpha\in(0,1]$ とすると $$ \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|}=\frac{2}{(2m)^{1+\beta}}\cdot(\frac{2}{m^2})^\alpha=C_{\alpha,\beta}m^{1+\beta-2\alpha} $$ でありとくに $\alpha\gt\frac{1+\beta}{2}$ のときこれは $m$ について有界でない。従って $u\notin C^{0,\alpha}(\Ombar)$。

$\beta\in(0,1)$、$\alpha\in(\frac{1+\beta}{2},1]$ のとき $\alpha$ は範囲 $(\frac{1}{2},1]$ の値をとりうるので $$ C^{0,\alpha}(\Ombar)\not\subset C^1(\Ombar)\quad (\alpha\in(\frac{1}{2},1]) $$ となる。

定理 15 ($C^{k,\alpha}(\Ombar)$ の包含関係)

$\Omega$ は有界かつ(\ref{geod})をみたすとする。$k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$ は $k'\le k$、$k'+\alpha'\le k+\alpha$ をみたすとする。このとき $C^{k,\alpha}(\Ombar)\subset C^{k',\alpha'}(\Ombar)$ で、$u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$|u|'_{k',\alpha';\Omega}\le C_{n,k,k',\alpha,\alpha',L}|u|'_{k,\alpha;\Omega}.$$

proof.

$k=k'$、$\alpha'\le\alpha$ の場合は命題 12より $u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$|u|'_{k,\alpha';\Omega}=\sum_{j=0}^{k-1}R^j[u]_{j;\Omega}+R^k\sum_{|\gamma|=k}|D^\gamma u|'_{0,\alpha';\Omega}\le \sum_{j=0}^{k-1}R^j[u]_{j;\Omega}+R^k\sum_{|\gamma|=k}|D^\gamma u|'_{0,\alpha;\Omega}=|u|'_{k,\alpha;\Omega}$$ となる。 $k'\lt k$ とする。命題 12補題 14より$u\in C^{k'+1}(\Ombar)$ について $$|u|'_{k',1;\Omega}=|u|'_{k';\Omega}+R^{k'+1}\sum_{|\gamma|=k'}[D^\gamma u]_{0,1;\Omega}\le|u|'_{k';\Omega}+LR^{k'+1}\sum_{|\gamma|=k'}[D^\gamma u]_{1;\Omega}\le |u|'_{k';\Omega}+C_{n,k'}LR^{k'+1}[u]_{k'+1;\Omega}\le C_{n,k',L}|u|'_{k'+1;\Omega}.$$ 従って $C^{k,\alpha}(\Ombar)\subset C^{k'+1}(\Ombar)\subset C^{k',1}(\Ombar)\subset C^{k',\alpha'}(\Ombar)$ で $u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$|u|'_{k',\alpha';\Omega}\le |u|'_{k',1;\Omega}\le C|u|'_{k'+1;\Omega}\le C|u|'_{k,\alpha;\Omega}.$$

注意

$\Omega'\subset\Omega$ を開集合とし、$\Omega',\Omega$ が次の条件をみたすとする: $$\tag{$\dagger'$}\label{geod'} L\ge 1\ が存在し、x,y\in\Omega'\ について\ \Omega\ 内の折れ線\ p=\{x_i\}_{i=0}^N が存在し、x_0=x,x_N=y,l(p)\le L|x-y|. $$ このとき $k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$、$k'\le k$、$k'+\alpha'\le k+\alpha$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$ u\in C^{k',\alpha'}(\overline{\Omega'}),|u|'_{k',\alpha';\Omega'}\le C_{n,k,k',\alpha,\alpha',L}|u|'_{k,\alpha;\Omega} $$ となることが補題 14定理 15と同様にして証明できる。

系 16 ($C^{k,\alpha}(\OmT)$ の包含関係)

$\Omega$ が次の条件をみたすとする: $$\tag{$\dagger_{\loc}$}\label{locgeod} 各 x\in\OmT の開近傍 U(x) が存在し、U(x)\cap\Omega,\Omega が(\ref{geod'})をみたす。 $$ このとき $k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$、$k'\le k$、$k'+\alpha'\le k+\alpha$ とすると $C^{k,\alpha}(\OmT)\subset C^{k',\alpha'}(\OmT)$。

とくに任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について $C^{k,\alpha}(\Omega)\subset C^{k',\alpha'}(\Omega)$ が成り立つ。

oroof.

$u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ とすると注意より各 $x\in\OmT$ について $u\in C^{k,\alpha}(\overline{U(x)\cap\Omega})$。$\{U(x)\}_{x\in\OmT}$ は $\OmT$ の開被覆であるから、命題 10より $u\in C^{k',\alpha'}(\OmT)$。

積のHölder連続性

命題 17 (Hölder連続関数の積はHölder連続)

$\Omega$ は有界であるとする。$\alpha\in(0,1]$ とし、$f,g\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$ とする。このとき $fg\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $$[fg]_{0,\alpha;\Omega}\le|f|_{0;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0;\Omega},|fg|_{0,\alpha;\Omega}\le|f|_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0,\alpha;\Omega},|fg|'_{0,\alpha;\Omega}\le|f|'_{0,\alpha;\Omega}|g|'_{0,\alpha;\Omega}.$$

proof.

$x,y\in\Omega$ について \begin{align*} |f(x)g(x)-f(y)g(y)|&=|f(x)(g(x)-g(y))+(f(x)-f(y))g(y)|\\ &\le|f(x)||g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y)||g(y)|\\ &\le|f|_{0;\Omega}([g]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha)+([f]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha)|g|_{0;\Omega}. \end{align*} よって $$fg\in C^{0,\alpha}(\Ombar),[fg]_{0,\alpha;\Omega}\le|f|_{0;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0;\Omega}.$$ また $$|fg|_{0;\Omega}=\sup_{x\in\Omega}|f(x)||g(x)|\le|f|_{0;\Omega}|g|_{0;\Omega}$$ より \begin{align*} |fg|_{0,\alpha;\Omega}&\le |f|_{0;\Omega}|g|_{0;\Omega}+|f|_{0;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0;\Omega}\\ &\le |f|_{0;\Omega}|g|_{0;\Omega}+|f|_{0;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}\\ &=(|f|_{0;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega})(|g|_{0;\Omega}+[g]_{0,\alpha;\Omega})\\ &=|f|_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0,\alpha;\Omega},\\ |fg|'_{0,\alpha;\Omega}&\le |f|_{0;\Omega}|g|_{0;\Omega}+R^\alpha(|f|_{0;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0;\Omega})\\ &\le |f|_{0;\Omega}|g|_{0;\Omega}+R^\alpha|f|_{0;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}+R^\alpha[f]_{0,\alpha;\Omega}|g|_{0;\Omega}+R^{2\alpha}[f]_{0,\alpha;\Omega}[g]_{0,\alpha;\Omega}\\ &=(|f|_{0;\Omega}+R^\alpha[f]_{0,\alpha;\Omega})(|g|_{0;\Omega}+R^\alpha[g]_{0,\alpha;\Omega})\\ &=|f|'_{0,\alpha;\Omega}|g|'_{0,\alpha;\Omega}. \end{align*}

補題 18

$k\in\Zp$ とする。$u,v\in C^k(\Ombar)$ について $|uv|_{k;\Omega}\le|u|_{k;\Omega}|v|_{k;\Omega}$。また$\Omega$ が有界のとき $|uv|'_{k;\Omega}\le|u|'_{k;\Omega}|v|'_{k;\Omega}$。

proof.

\begin{align*} |uv|_{k;\Omega}&=\sum_{|\beta|\le k}\left|\sum_{\gamma+\delta\le\beta}D^\gamma uD^\delta v\right|_{0;\Omega}\\ &\le\sum_{|\beta|\le k}\sum_{\gamma+\delta\le\beta}|D^\gamma uD^\delta v|_{0;\Omega}\\ &\le\sum_{|\beta|\le k}\sum_{\gamma+\delta\le\beta}|D^\gamma u|_{0;\Omega}|D^\delta v|_{0;\Omega}\\ &=\sum_{|\gamma|+|\delta|\le k}|D^\gamma u|_{0;\Omega}|D^\delta v|_{0;\Omega}\\ &\le\sum_{|\gamma|,|\delta|\le k}|D^\gamma u|_{0;\Omega}|D^\delta v|_{0;\Omega}\\ &\le\left(\sum_{|\gamma|\le k}|D^\gamma u|_{0;\Omega}\right)\left(\sum_{|\delta|\le k}|D^\delta v|_{0;\Omega}\right)\\ &\le|u|_{k;\Omega}|v|_{k;\Omega}. \end{align*} また $\Omega$ が有界のとき \begin{align*} |uv|'_{k;\Omega}&=\sum_{|\beta|\le k}R^{|\beta|}\left|\sum_{\gamma+\delta\le\beta}D^\gamma uD^\delta v\right|_{0;\Omega}\\ &\le\sum_{|\beta|\le k}\sum_{\gamma+\delta\le\beta}R^{|\gamma|+|\delta|}|D^\gamma uD^\delta v|_{0;\Omega}\\ &\le\sum_{|\beta|\le k}\sum_{\gamma+\delta\le\beta}(R^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0;\Omega})(R^{|\delta|}|D^\delta v|_{0;\Omega})\\ &=\sum_{|\gamma|+|\delta|\le k}(R^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0;\Omega})(R^{|\delta|}|D^\delta v|_{0;\Omega})\\ &\le\sum_{|\gamma|,|\delta|\le k}(R^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0;\Omega})(R^{|\delta|}|D^\delta v|_{0;\Omega})\\ &\le\left(\sum_{|\gamma|\le k}R^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0;\Omega}\right)\left(R^{|\delta|}\sum_{|\delta|\le k}|D^\delta v|_{0;\Omega}\right)\\ &\le|u|'_{k;\Omega}|v|'_{k;\Omega}. \end{align*}

定理 19 ($C^{k,\alpha}$関数の積は$C^{k,\alpha}$)

$\Omega$ は有界かつ $(\ref{geod})$ をみたすとする。$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ とすると $u,v\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$uv\in C^{k,\alpha}(\Ombar),|uv|'_{k,\alpha;\Omega}\le C_{n,k,\alpha,L}|u|'_{k,\alpha;\Omega}|v|'_{k,\alpha;\Omega}.$$

Proof.

定理 15より $j=1,...,k$ について $|w|_{j,\alpha;\Omega}\le C|w|_{k,\alpha;\Omega}\ (w\in C^{k,\alpha}(\Ombar))$ となることに注意すると \begin{align*} R^k[uv]_{k,\alpha;\Omega}&=R^k\sum_{|\beta|\le k}\left|\sum_{\gamma+\delta\le\beta}D^\gamma uD^\delta v\right|_{0,\alpha;\Omega}\\ &\le R^k\sum_{|\beta|\le k}\sum_{\gamma+\delta\le\beta}\left|D^\gamma uD^\delta v\right|_{0,\alpha;\Omega}\\ &\le R^k\sum_{|\gamma|+|\delta|\le k}|D^\gamma u|_{0,\alpha;\Omega}|D^\delta v|_{0,\alpha;\Omega}\\ &=\sum_{|\gamma|+|\delta|}(R^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0,\alpha;\Omega})(R^{|\delta|}|D^\delta v|_{0,\alpha;\Omega})\\ &\le \sum_{|\gamma|,|\delta|\le k}|u|'_{|\gamma|,\alpha;\Omega}|v|'_{|\delta|,\alpha;\Omega}\\ &\le C\sum_{i,j=1}^k|u|'_{i,\alpha;\Omega}|v|'_{j,\alpha;\Omega}\\ &\le C|u|'_{k,\alpha;\Omega}|v|'_{k,\alpha;\Omega}. \end{align*} 補題 18とあわせて $$|uv|'_{k,\alpha;\Omega}\le|u|'_{k;\Omega}|v|'_{k;\Omega}+C|u|'_{k,\alpha;\Omega}|v|'_{k,\alpha;\Omega}\le C|u|'_{k,\alpha;\Omega}|v|'_{k,\alpha;\Omega}.$$

注意

$\Omega'\subset\Omega$ を開集合とし、$\Omega',\Omega$ が(\ref{geod'})をみたすとすると $u,v\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$uv\in C^{k,\alpha}(\overline{\Omega'}),|uv|'_{k,\alpha;\Omega'}\le C_{n,k,\alpha,L}|u|'_{k,\alpha;\Omega}|v|'_{k,\alpha;\Omega}$$ となることが同様に証明できる。

系 20

相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{locgeod})をみたすとする。このとき $k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$u,v\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ について$uv\in C^{k,\alpha}(\OmT)$。

とくに任意の開集合 $\Omega$ と $u,v\in C^{k,\alpha}(\Omega)$ について $uv\in C^{k,\alpha}(\Omega)$ である。

Proof.

各 $x\in\OmT$ と (\ref{locgeod}) の $U(x)$ について注意より $uv\in C^{k,\alpha}(\overline{ U(x)\cap\Omega})$ であるから命題 10より $uv\in C^{k,\alpha}(\OmT)$。

$C^{k,\alpha}$ 写像と合成関数のHölder連続性

定義 21 ($C^{k,\alpha}$ 写像)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$m,n\in\Zp$ として $D\subset\R^n,\widetilde{D}\subset\R^m$ を開集合とする。$\psi=(\psi_1,...,\psi_n):\widetilde{D}\to D$ が各 $i=1,...,m$ について $\psi_i\in C^{k,\alpha}(\widetilde{D})$ をみたすとき $\psi$ は $C^{k,\alpha}$ 写像であるという。

注意

系 16より $k'\in\Zz$、$\alpha'\in[0,1]$ が $k'\le k$、$k'+\alpha'\le k+\alpha$ をみたすとき $C^{k,\alpha}$ 写像は $C^{k',\alpha'}$ 写像にもなる。とくに $k\ge 1$ のとき $C^{k,\alpha}$ 写像は $C^{0,1}$ 写像になる。

命題 22

$\alpha\in(0,1]$ とする。$D\subset\R^n,\widetilde{D}\subset\R^m$ を開集合として $\psi:\widetilde{D}\to D$ を $C^{0,\alpha}$ 写像とすると、開集合 $\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ について $$|\psi(x)-\psi(y)|\le C_{\psi,\widetilde{\Omega}}|x-y|^\alpha\quad(x,y\in\widetilde{\Omega}).$$

Proof.

$\psi=(\psi_1,...,\psi_n)$ と表すと $\psi_1,...,\psi_n\in C^{0,1}(\widetilde{D})$ より $\psi_1,...,\psi_n\in C^{0,1}(\overline{\widetilde{\Omega}})$ であるから $x,y\in\widetilde{\Omega}$ について $$|\psi(x)-\psi(y)|=\left(\sum_{i=1}^n|\psi_i(x)-\psi_i(y)|^2\right)^\frac{1}{2}\le\left(\sum_{i=1}^n[\psi_i]_{0,\alpha;\widetilde{\Omega}}^2|x-y|^{2\alpha}\right)^\frac{1}{2}=\left(\sum_{i=1}^n[\psi_i]_{0,\alpha;\widetilde{\Omega}}^2\right)^\frac{1}{2}|x-y|^\alpha.$$

命題 23 (Hölder連続関数と $C^{0,\alpha}$ 写像の合成)

$\alpha,\beta\in(0,1]$ とする。$D\subset\R^n,\widetilde{D}\subset\R^m$ と $\Omega\subset D,\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とする。$\psi:\widetilde{D}\to D$ は $C^{0,\alpha}$ 写像で $\psi(\widetilde{\Omega})\subset\Omega$ をみたすとする。$f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$ について $$f\circ\psi\in C^{0,\alpha\beta}(\overline{\widetilde{\Omega}}), [f\circ\psi]_{0,\alpha\beta;\widetilde{\Omega}}\le C_{\beta,\psi,\widetilde{\Omega}}[f]_{0,\beta;\Omega}.$$

Proof.

$x,y\in\widetilde{\Omega}$ について命題 22より $$|f(\psi(x))-f(\psi(y))|\le[f]_{0,\beta;\Omega}|\psi(x)-\psi(y)|^\beta\le C[f]_{0,\beta;\Omega}|x-y|^{\alpha\beta}.$$ よって $f\circ\psi\in C^{0,\alpha\beta}(\overline{\widetilde{\Omega}})$、$[f\circ\psi]_{0,\alpha\beta;\widetilde{\Omega}}\le C[f]_{0,\beta;\Omega}$。

定理 24 ($C^{k,\alpha}$ 関数と $C^{k,\alpha}$ 写像の合成)

$k\in\Zz$、$\alpha\in(0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とする。$D\subset\R^n,\widetilde{D}\subset\R^m$ と $\Omega\subset D,\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とする。$\psi:\widetilde{D}\to D$ は $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(\widetilde{\Omega})\subset\Omega$ をみたすとする。また$\widetilde{\Omega}$ は(\ref{geod}) をみたすとする。$u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$u\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{\widetilde{\Omega}}),|u\circ\psi|_{k,\alpha;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\alpha,\psi,\widetilde{\Omega}}|u|_{k,\alpha;\Omega}.$$

Proof.

$k$ に関する帰納法により示す。

$k=0$ のときは $\alpha=1$ であり、この場合は命題 23で示されている。

ある$k$ について主張が成り立ったとし、$\psi$ を $ C^{k+1,\alpha}$ 写像、$u\in C^{k+1,\alpha}(\Ombar)$ とする。 $\psi$ は $C^{k+1,\alpha}$ 写像よりとくに $C^{k,\alpha}$ 写像で、$i=1,...,n$ について $D_iu\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ であるから仮定より $$D_iu\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{\widetilde{\Omega}}),|D_iu\circ\psi|_{k,\alpha;\widetilde{\Omega}}\le C|D_iu|_{k,\alpha;\Omega}\le C|u|_{k+1,\alpha;\Omega}.$$ $j=1,...,m$ について $D_i\psi_j\in C^{k,\alpha}(\overline{\widetilde{\Omega}})$ であるから $$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_i\psi_j\in C^{k,\alpha}(\overline{\widetilde{\Omega}}), |D_j(u\circ\psi)|_{k,\alpha;\widetilde{\Omega}}\le C\sum_{i=1}^n|D_iu\circ\psi|_{k,\alpha;\widetilde{\Omega}}\le C|u|_{k+1,\alpha;\Omega}.$$ 従って $$u\circ\psi\in C^{k+1,\alpha}(\overline{\widetilde{\Omega}}),|u\circ\psi|_{k+1,\alpha;\widetilde{\Omega}}\le |u|_{0;\Omega}+C\sum_{j=1}^m|D_j(u\circ\psi)|_{k,\alpha;\widetilde{\Omega}}\le C|u|_{k+1,\alpha;\Omega}.$$

補題 25

$x\in\R^n$、$r\gt 0$、$L\ge 1$ とする。$y,z\in B_r(x)$ とし、$p=\{y_i\}_{i=0}^N$ を $y_0=y$、$y_N=z$、$l(p)\le L|y-z|$ なる折れ線とすると $p$ は $B_{(L+1)r}(x)$ 内の折れ線である。

Proof.

$|y-z|\lt 2r$ より $i=1,...,N$ について \begin{align*} 2|y_i-x|&\le (|y_i-y|+|y-x|)+(|y_i-z|+|z-x|)\\ &\le\sum_{j=0}^{i-1}|y_{j+1}-y_j|+\sum_{j=i}^{N-1}|y_{j+1}-y_j|+2r\\ &=l(p)+2r\le L|y-z|+2r\lt 2(L+1)r. \end{align*} よって $y_i\in B_{(L+1)r}(x)$ であり、$B_{(L+1)r}(x)$ は凸であるから $t\in[0,1]$ について $(1-t)y_i+ty_{i+1}\in B_{(L+1)r}(x)$。よって $p$ は $B_{(L+1)r}(x)$ 内の折れ線である。

補題 26

$x\in\Ombar$ とし、$x$ の開近傍 $U\subset\Omega$ が存在して $U\cap\Omega,\Omega$ は(\ref{geod'})をみたすとする。このとき次をみたす $x$ の開近傍の列 $U_0\supset U_1\supset$が 存在する: $$U_0=U\ で、i\in\Zz\ について\ U_{i+1}\cap\Omega,U_i\cap\Omega\ は(\ref{geod'}) をみたす。$$

Proof.

$r\gt 0$ を $B_r(x)\subset U$ となるようにとり、$i=1,2,..$ について $U_i=B_{(L+1)^{-i}r}(x)$ とする。

このとき $L\ge 1$ より $i=0,1,...$ について $U_{i+1}\subset U_i$。また $y,z\in U_{i+1}\cap\Omega$ とすると $y,z\in U\cap\Omega$ より $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{y_j\}_{j=1}^N$ で $y_0=y$、$y_N=y$、$l(p)\le L|y-z|$ となるものがとれる。補題 25 より $p$ は $B_{(L+1)(L+1)^{-(i+1)}r}(x)\cap\Omega=U_i\cap\Omega$ 内の折れ線となる。これより $U_{i+1}\cap\Omega,U_i\cap\Omega$ は(\ref{geod'}) をみたす。

定理 27 (局所 $C^{k,\alpha}$ 関数と $C^{k,\alpha}$ 写像の合成)

$k\in\Zz$、$\alpha\in(0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とする。$D\subset\R^n,\widetilde{D}\subset\R^m$ と $\Omega\subset D,\widetilde{\Omega}\subset\widetilde{D}$ を開集合として、$T\subset\pOm,\widetilde{T}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ は相対開集合で $\widetilde{T}\subset\widetilde{D}$ をみたすとする。$\psi:\widetilde{D}\to D$ は $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T})\subset\OmT$ をみたすとする。また $\widetilde{\Omega}$ は(\ref{locgeod}) をみたすとする。このとき $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ とすると $u\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T})$。

Proof.

各 $y\in\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T}$ について(\ref{locgeod})の $U=U(y)$ をとる。$y\in\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T}$、$\psi(y)\in\OmT$ より $V\cap\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T}$ なる $y$ の開近傍 $V$ と $W\cap\Omega\rcpt\OmT$ なる $\psi(y)$ の開近傍 $W$ が存在するので、必要であれば $U(y)$ を$U(y)\cap V\cap\psi^{-1}(W)$ にとりかえて $U(y)\cap\widetilde{\Omega}\subset V\rcpt\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T}\subset\widetilde{D},\psi(U(y)\cap\widetilde{\Omega})\subset W\rcpt\OmT$ としてよい。

補題 26 の $U_i=U_i(y)$ をとり、$u\in C^{k,\alpha}(\overline{W})$ について $u\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{U_k(y)\cap\widetilde{\Omega}})$ となることを $k$ に関する帰納法により示す。

$k=0$ のときは $\alpha=1$ であるから命題 23より $u\in C^{0,1}(\overline{U(y)\cap\widetilde{\Omega}})$。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$\psi$ を $C^{k+1,\alpha}$ 写像、$u\in C^{k+1,\alpha}(\overline{W})$ とする。$\psi$ はとくに $C^{k,\alpha}$ 写像であるから仮定より $i=1,...,n$ について $D_iu\circ\psi\in \overline{U_k(y)\cap\widetilde{\Omega}}$。また $j=1,...,m$ について $D_j\psi_i\in C^{k,\alpha}(\overline{V})$。$U_{k+1}(y)\cap\widetilde{\Omega},U_k(y)\cap\widetilde{\Omega}$ は(\ref{geod'})をみたすので定理 19の注意より $$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i\in C^{k,\alpha}(\overline{U_{k+1}(y)\cap\widetilde{\Omega}})$$ となり $u\circ\psi\in C^{k+1,\alpha}(\overline{U_{k+1}(y)\cap\widetilde{\Omega}})$。

従って $u\in C^{k,\alpha}(\overline{W})$ について $u\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{U_k(y)\cap\widetilde{\Omega}})$ となる。とくに $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ のとき任意の $y\in\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T}$ について $u\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{U_k(y)\cap\widetilde{\Omega}})$ となるので系 16より $u\in C^{k,\alpha}(\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T})$。

$C^{k,\alpha}$ 領域と $C^{k,\alpha}$ 関数の拡張

以下, $$Q=(-1,1)^n, Q_+=Q\cap\Rnp=(-1,1)^{n-1}\times (0,1), Q_-=Q\cap\Rnn=(-1,1)^{n-1}\times (-1,0), Q_0=Q\cap\pRnp=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$$ と定める。

定義 28 ($C^{k,\alpha}$ 境界部分[5]と $C^{k,\alpha}$ 領域)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ が次をみたすとき $T$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分という: $$各\xi\in T\ について\ \xi\ の開近傍\ U\ と全単射\ \psi\colon 2Q\to U が存在して次をみたす:$$ $$\psi\ と\ \psi^{-1}\ はともに\ C^{k,\alpha}\ 写像で、U\cap\pOm\subset T, \psi(2Q_+)=U\cap\Omega, \psi(2Q_0)=U\cap T. \tag{$\ddagger$}\label{kabdr}$$ また $\pOm$ が $C^{k,\alpha}$ 境界部分であるとき $\Omega$ は $C^{k,\alpha}$ 領域であるという。

注意

$Q\rcpt 2Q$ であるから $i=1,...,n$ について $\psi_i\in C^{k,\alpha}(\overline{Q})$ である。また、$V=\psi(Q)$ とおくと $V$ は開集合で、$\overline{V}=\psi(\overline{Q})\subset\psi(2Q)=U$ より $V\rcpt U$ であるから $\psi^{-1}_i\in C^{k,\alpha}(\overline{V})$。

補題 29

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$u\in C^{k,\alpha}(\overline{Q_+}),v\in C^{k,\alpha}(\overline{Q_-})$ が $$D^\gamma u=D^\gamma v\on Q_0\quad (|\gamma|\le k)$$ をみたすとする。このとき $w\colon Q\to K$ を $$w= \begin{cases} u&\on Q_+\cup Q_0\\ v&\on Q_- \end{cases} $$ と定めると $w\in C^{k,\alpha}(\overline{Q})$、$|w|_{k,\alpha;Q}\le |u|_{k,\alpha;Q_+}+|v|_{k,\alpha;Q_-}$。

Proof.

$|\gamma|\le k$ について $$w_\gamma= \begin{cases} D^\gamma u&\on Q_+\cup Q_0\\ D^\gamma v&\on Q_- \end{cases} $$ と定める。このとき $D^\gamma u=D^\gamma v\on Q_0$ より $w_\gamma\in C(\overline{Q})$ となり、 $$|w_\gamma|_{0;Q}=\sup_{z\in Q}|w_\gamma(z)|=\max\{\sup_{x\in Q_+\cup Q_0}|D^\gamma u(x)|,\sup_{y\in Q_-}|D^\gamma v(y)|\}\le|D^\gamma u|_{0;Q_+}+|D^\gamma v|_{0;Q_-}.$$ また $\alpha\in (0,1]$、$|\gamma|=k$ のとき $x\in Q_+,y\in Q_-$ について $$z=\frac{-y_n}{x_n-y_n}x+\frac{x_n}{x_n-y_n}y$$ とおく。$x,y\in Q$、$x_n\gt0$、$y_n\lt0$ で $Q$ は凸より $z\in Q$ かつ $z_n=\frac{-y_n}{x_n-y_n}x_n+\frac{x_n}{x_n-y_n}y_n=0$ であるから $z\in Q_0$。これより \begin{align*} |w_\gamma(x)-w_\gamma(y)|&\le|w_\gamma(x)-w_\gamma(z)|+|w_\gamma(z)-w_\gamma(y)|\\ &=|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(z)|+|D^\gamma v(z)-D^\gamma v(y)|\\ &\le[D^\gamma u]_{0,\alpha;Q_+}|x-z|^\alpha+[D^\gamma v]_{0,\alpha;Q_-}|z-y|^\alpha\\ &=[D^\gamma u]_{0,\alpha;Q_+}\left(\frac{x_n}{x_n-y_n}|x-y|\right)^\alpha+[D^\gamma v]_{0,\alpha;Q_-}\left(\frac{-y_n}{x_n-y_n}|x-y|\right)^\alpha\\ &\le([D^\gamma u]_{0,\alpha;Q_+}+[D^\gamma v]_{0,\alpha;Q_-})|x-y|^\alpha. \end{align*} よって $x,y\in Q$ について $$|w_\gamma(x)-w_\gamma(y)|\le \begin{cases} [D^\gamma u]_{0,\alpha; Q_+}|x-y|^\alpha &\colon x,y\in Q_+\cup Q_0\\ ([D^\gamma u]_{0,\alpha;Q_+}+[D^\gamma v]_{0,\alpha;Q_-})|x-y|^\alpha &\colon x\in Q_+\cup Q_0,y\in Q_-\\ ([D^\gamma u]_{0,\alpha;Q_+}+[D^\gamma v]_{0,\alpha;Q_-})|x-y|^\alpha &\colon x\in Q_-,y\in Q_+\cup Q_0\\ [D^\gamma v]_{0,\alpha; Q_-}|x-y|^\alpha &\colon x,y\in Q_- \end{cases}$$ となり $$w_\gamma\in C^{0,\alpha}(\overline{Q}),[w_\gamma]_{0,\alpha;Q}\le[D^\gamma u]_{0,\alpha;Q_+}+[D^\gamma v]_{0,\alpha;Q_-}.$$ $|w_\gamma|_{0;Q}\le|D^\gamma u|_{0;Q_+}+|D^\gamma v|_{0;Q_-}$ とあわせて $\alpha\in[0,1]$、$|\gamma|=k$ のとき $$|w_\gamma|_{0,\alpha;Q}\le|D^\gamma u|_{0,\alpha;Q_+}+|D^\gamma v|_{0,\alpha;Q_-}.$$

$D^\gamma w=w_\gamma\on Q_0$ を $|\gamma|$ に関する帰納法により示す。

$|\gamma|=0$ の場合は明らか。

ある $j\in\{0,...,k-1\}$ について $|\gamma|=j$ とすると $D^\gamma w=w_\gamma\on Q_0$ となるとし、$|\gamma|=j+1$ とする。$\gamma$ を $\gamma=\gamma'+e_i,|\gamma'|=j$、$i\in\{1,...,n\}$ と表す。

$i\neq n$ の場合、$Q_+$ 上では $D_i w_{\gamma'}=D^\gamma u=w_\gamma$ であるから $\xi\in Q_0$ と十分小さい $r\gt0$、$\varepsilon\gt0$ と $t\in(-r,r)$ について $$w_{\gamma'}(\xi+te_i+\varepsilon e_n)-w_{\gamma'}(\xi-re_i+\varepsilon e_n)=\int_{-r}^t w_\gamma(\xi+se_i+\varepsilon e_n)ds.$$ $w_\gamma$ の一様連続性より $w_\gamma(\xi+se_i+\varepsilon e_n)$ は $\varepsilon\to +0$ とすると $s$ について一様に $w_\gamma(\xi+se_i)$ に収束することに注意すると $$w_{\gamma'}(\xi+te_i)-w_{\gamma'}(\xi-re_i)=\int_{-r}^t w_\gamma(\xi+se_i)ds.$$ よって $D_iw_{\gamma'}(\xi)=w_\gamma(\xi)$ となる。

$i=n$ の場合、$Q_+$ 上では $D_n w_{\gamma'}=D^\gamma u=w_\gamma$ で、$Q_-$ 上でも $D_n w_{\gamma'}=D^\gamma v=w_\gamma$ であるから $\xi\in Q_0$ と十分小さい $r\gt0$ と $t\in (0,r)$ について \begin{align*} w_{\gamma'}(\xi+te_n)-w_{\gamma'}(\xi-re_n)&=(w_{\gamma'}(\xi+te_n)-w_{\gamma'}(\xi))+(w_{\gamma'}(\xi)-w_{\gamma'}(\xi-re_n))\\ &=\int_0^t w_\gamma(\xi+se_n)ds+\int_{-r}^0 w_\gamma(\xi+se_n)ds\\ &=\int_{-r}^t w_\gamma(\xi+se_n). \end{align*} また $t\in (-r,0]$ についても $$w_{\gamma'}(\xi+te_n)-w_{\gamma'}(\xi-re_n)=\int_{-r}^t w_\gamma(\xi+se_n)ds.$$ よって $D_nw_{\gamma'}(\xi)=w_\gamma(\xi)$ となる。

仮定より $D^{\gamma'}w(\xi)=w_{\gamma'}(\xi)$ であるから $w_\gamma(\xi)=D_iw_{\gamma'}(\xi)=D^\gamma w(\xi)$ が成り立つ。

$w$ の定義より $D^\gamma w=w_\gamma\inn Q_+\cup Q_-$ は成り立つので、これより $D^\gamma w=w_\gamma\inn Q$ となる。

以上より $w\in C^{k,\alpha}(\overline{Q})$ で $$|w|_{k,\alpha;Q}=\sum_{|\gamma|\le k-1}|w_\gamma|_{0;Q}+\sum_{|\gamma|=k}|w_\gamma|_{0,\alpha;Q}\le\sum_{|\gamma|\le k-1}(|D^\gamma u|_{0;Q_+}+|D^\gamma v|_{0;Q_-})+\sum_{|\gamma|=k}(|D^\gamma u|_{0,\alpha;Q_+}+|D^\gamma v|_{0,\alpha;Q_-})\le|u|_{k,\alpha;Q_+}+|v|_{k,\alpha;Q_-}.$$

定理 30 ($C^{k,\alpha}$ 関数の $C^{k,\alpha}$ 境界部分の近傍での局所拡張)

$k\in\Zz,\alpha\in[0,1]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とする。$\xi\in T$ について $\xi$ の開近傍 $V$ が存在して次が成り立つ: $$u\in C^{k,\alpha}(\Omega\cup T)\ について\ v\in C^{k,\alpha}(\overline{V})\ が存在して v=u\inn V\cap\Omega、|v|_{k,\alpha;V}\le C_{k,\alpha,T,V}|u|_{k,\alpha;V\cap\Omega}。$$

Proof.

$u\in C^{k,\alpha}(\Omega\cup T)$ とする。$\xi\in T$ について(\ref{kabdr})の $U,\psi$ をとって $V=\psi(Q)$ とする。

このとき $V$ は $\xi\in T$ の開近傍であるから $u\in C^{k,\alpha}(\overline{V\cap\Omega})$ で、$\psi^{-1}(V\cap\Omega)=Q\cap 2Q_+=Q_+$ と定理 24より $$u\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{Q_+}),|u\circ\psi|_{k,\alpha;Q}\le C|u|_{k,\alpha;V\cap\Omega}.$$ $c_i\in\R\ (i=1,...,k+1)$ を方程式系 $$\sum_{i=1}^{k+1} \left(-\frac{1}{i}\right)^{j}c_i=1\quad(j=0,...,k)$$ の解とする(Sobolev空間の基本事項の補題34.4よりこの方程式系は一意的な解をもつ。)。

$y=(y',y_n)\in (-1,1)^{n-1}\times(-1,0)=Q_-$ について $$w_-(y)\colon=\sum_{i=1}^{k+1} c_iu\left(\psi\left(y',-\frac{y_n}{i}\right)\right)$$ と定める。このとき 定理 24 より $$w_-\in C^{k,\alpha}(\overline{Q_-}),|w_-|_{k,\alpha;Q_-}\le C|u\circ\psi|_{k,\alpha;Q_+}.$$ また $y\in Q_-$と$|\gamma|\le k$ について $$D^\gamma w_-(y)=\sum_{i=1}^{k+1}\left(-\frac{1}{i}\right)^{\gamma_n}c_iD^\gamma(u\circ\psi)\left(y',-\frac{y_n}{i}\right)$$ であるから $\xi=(\xi',0)\in Q_0$と$|\gamma|\le k$ について \begin{align*} D^\gamma w_-(\xi)&=\lim_{\varepsilon\to +0}D^\gamma w_-(\xi',-\varepsilon)\\ &=\lim_{\varepsilon\to +0}\sum_{i=1}^{k+1}\left(-\frac{1}{i}\right)^{\gamma_n}c_iD^\gamma(u\circ\psi)\left(\xi',-\frac{\varepsilon}{i}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{k+1}\left(-\frac{1}{i}\right)^{\gamma_n}c_iD^\gamma(u\circ\psi)(\xi',0)\\ &=\left(\sum_{i=1}^{k+1}c_i\left(-\frac{1}{i}\right)^{\gamma_n}\right)D^\gamma(u\circ\psi)(\xi)=D^\gamma(u\circ\psi)(\xi). \end{align*} 補題 29より $$w\colon= \begin{cases} u\circ\psi&\on Q_+\cup Q_0\\ w_-&\on Q_- \end{cases}$$ とすれば $$w\in C^{k,\alpha}(\overline{Q}),|w|_{k,\alpha;Q}\le |u\circ\psi|_{k,\alpha;Q_+}+|w_-|_{k,\alpha;Q_-}\le C|u\circ\psi|_{k,\alpha;Q_+}.$$ 最後に $v\colon=w\circ\psi^{-1}$ とすれば $$v\in C^{k,\alpha}(\overline{V}),v=(u\circ\psi)\circ\psi^{-1}=u\inn \psi(Q_+)=V\cap\Omega, |v|_{k,\alpha;V}\le C|w|_{k,\alpha;Q}\le C|u\circ\psi|_{k,\alpha;Q_+}\le C|u|_{k,\alpha;V\cap\Omega}.$$

定理 31 (有界 $C^{k,\alpha}$ 領域上の $C^{k,\alpha}$ 関数の拡張)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とする。$\Omega$ を有界な $C^{k,\alpha}$ 領域とし、$u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ とする。$\Omega\rcpt D$ なる開集合 $D$ について、$v\in C^{k,\alpha}_c(D)$ が存在し $$v=u\inn\Omega, |v|_{k,\alpha;\Omega}\le C_{k,\alpha,\Omega,D}|u|_{k,\alpha;\Omega}.$$

Proof.

各 $\xi\in\pOm$ について定理 30の $V=V(\xi)$ をとり、$V'(\xi)=V(\xi)\cap D$ とする。$\Ombar\subset D$ より $V'(\xi)$ も $\xi$ の開近傍である。

$\Omega$ は有界より $\pOm\subset\Ombar$ はコンパクトであるから、$\xi_1,...,\xi_N$ を選んで $$\pOm\subset\bigcup_{i=1}^N V'(\xi_i)$$ とできる。

$\Omega\cup\pOm\cup(\R^n\backslash\Ombar)=\R^n$ であるから $\{\Omega\}\cup\{V'(x)\}_{i=1}^N\cup\{\R^n\backslash\Ombar\}$ は $\R^n$ の有限開被覆となるので、これに従属する1の分割 $$\eta_0\in C^\infty_c(\Omega),\eta_1\in C^\infty_c(V'(\xi_1)),...,\eta_N\in C^\infty_c(V'(\xi_N)),\eta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$$ が存在する(ベクトル解析4:Euclid空間内の多様体上の測度と積分の系15.6。)。各 $i=1,...,N$ について定理 30により $v_i\in C^{k,\alpha}(\overline{V(\xi_i)})$ を $$v_i=u\inn V(\xi_i)\cap\Omega, |v_i|_{k,\alpha;V(\xi_i)}\le C|u|_{k,\alpha;\Omega}$$ となるようにとれるので $$v\colon= \eta_0u+\sum_{i=1}^N\eta_iv_i\in C^{k,\alpha}_c(D)$$ と定める($\eta_0u\in C^{k,\alpha}_c(\Omega)$、$\eta_iv_i\in C^{k,\alpha}(V(\xi_i))$ で $\Omega,V(\xi_i)\subset D$ であるから $v\in C^{k,\alpha}_c(D)$ はwell-definedである;命題 11の注意も参照。)。 このとき $$v=\eta_0u+\sum_{i=1}^N\eta_iu=u\inn\Omega,|v|_{k,\alpha;D}\le|\eta_0u|_{k,\alpha;\Omega}+\sum_{i=1}^N|\eta_iv_i|_{k,\alpha;V(\xi_i)}\le C\left(|u|_{k,\alpha;\Omega}+\sum_{i=1}^N|v_i|_{k,\alpha;V(\xi_i)}\right)\le C|u|_{k,\alpha;\Omega}.$$

境界上の $C^{k,\alpha}$ 関数

定義 32 ($C^{k,\alpha}$ 境界部分上の $C^{k,\alpha}$ 関数)

$k\in\Zp$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とする。 $$C^{k,\alpha}(T)\colon=\{\varphi\colon T\to K\quad \colon\quad(\ref{kabdr})\ をみたす\ U,\psi\ について \ T\circ\psi\in C^{k,\alpha}(2Q_0)\}$$ と定める。ただし、標準的な同一視により $2Q_0\subset\R^{n-1}$ とする。

定理 33 ($C^{k,\alpha}$ 境界部分上の $C^{k,\alpha}$ 関数の局所拡張)

$k\in\Zp$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とする。$\xi\in T$ について $\xi$ の開近傍 $V$ が存在して次が成り立つ: $$\varphi\in C^{k,\alpha}(T)\ について\ v\in C^{k,\alpha}(\overline{V})\ が存在して\ v=u\on V\cap T.$$

Proof.

(\ref{kabdr})の $U,\psi$ をとり、$V\colon=\psi(Q)$ とする。

$\varphi\in C^{k,\alpha}(T)$ とすると $\varphi\circ\psi\in C^{k,\alpha}(2Q_0)$ より $\varphi\circ\psi\in C^{k,\alpha}(\overline{Q_0})$。

$y=(y',y_n)\in Q$ について $w(y)\colon= \varphi(\psi(y',0))$ と定めると、$w$ は射影 $p\colon\R^n\to\R^{n-1},p(y)=y'$ を用いて $w=\varphi\circ\psi\circ p$ と表されるので $w\in C^{k,\alpha}(\overline{Q})$。また $w=\varphi\circ\psi\on Q_0$。

$v\colon=w\circ\psi^{-1}$ とすれば $v\in C^{k,\alpha}(\overline{V}),v=\varphi\on V\cap\pOm$ となる。

系 34

定理 33 の仮定の下、$\xi\in T$ について 次をみたす $\xi$ の開近傍 $V'$ が存在する: $$\varphi\in C^{k,\alpha}(T)\cap C(\pOm)\ について\ v\in C^{k,\alpha}(\overline{V'})\cap C(\R^n)\ が存在して\ v=\varphi\on \pOm。$$

Proof.

定理 33 の証明における $U,\psi,V$ をとると $v_1\in C^{k,\alpha}(\overline{V})$ が存在して $v_1=u\on V\cap T$。一方Tietzeの拡張定理(位相空間論12:分離公理(2)の定理12.18[6]。) より $v_2\in C(\R^n)$ が存在して $v_2=\varphi\on\pOm$。$V'\colon=\frac{1}{2}Q$ とすると $\xi\in V'\rcpt V$ で、$\R^n$ の開被覆 $\{V,\R^n\backslash\overline{V'}\}$ に従属する1の分割 $\eta_1\in C^\infty_c(V),\eta_2\in C^\infty(\R^n\backslash\overline{V'})$ をとって $v=\eta_1v_1+\eta_2v_2$ とすればよい。

定理 35 (有界 $C^{k,\alpha}$ 領域の境界上の $C^{k,\alpha}$ 関数の拡張)

$k\in\Zz$、$\alpha\in(0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とし、$\Omega$ を有界な $C^{k,\alpha}$ 領域とする。$\varphi\colon \pOm\to K$ について次は同値:

  • $\varphi\in C^{k,\alpha}(\pOm)$。
  • $v\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ が存在して $v=\varphi\on\pOm$。
Proof.

$\varphi\in C^{k,\alpha}(\pOm)$ とすると 定理 30定理 33 におきかえて 定理 31 と同様に $v=\varphi\on\pOm$ なる $v\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を構成できる(ただし $u$ は $0$ にとりかえる。)

$v=\varphi\on\pOm$ なる $v\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ が存在する場合は(\ref{kabdr})をみたす $U,\psi$ をとると $v\circ\psi\in C^{k,\alpha}(2Q)$、$\varphi\circ\psi=v\circ\psi\inn 2Q_0$ より $\varphi\circ\psi\inn C^{k,\alpha}(2Q_0)$。これより$\varphi\in C^{k,\alpha}(\pOm)$。

注意

とくに $v\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ であるから、$C^{k,\alpha}$ 領域において $C^{k,\alpha}$ な境界値を考えるときは $\varphi\in C^{k,\alpha}(\pOm)$ と与えても $\varphi\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ と与えてもよい。

定義 36 ($C^{k,\alpha}(\pOm)$ のノルム)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とし、$\Omega$ を有界な $C^{k,\alpha}$ 領域とする。$C^{k,\alpha}(\pOm)$ に $$|\varphi|_{k,\alpha;\pOm}\colon=\inf\{|v|_{k,\alpha;\Omega}\colon v\in C^{k,\alpha}(\Ombar),v=\varphi\on\pOm\}$$ なるノルムを定める。

$C^{0,1}$ 領域の幾何的性質

定理 37

$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $T$ は(\ref{locgeod})をみたす。

Proof.

$\xi\in T$ とし、(\ref{kabdr}) の $U,\psi$ をとって $V\colon=\psi(Q)$ とする。$Q_+$ は凸であるから $x,y\in V\cap\Omega$ と $t\in[0,1]$ について $c(t)\colon=(1-t)\psi^{-1}(x)+t\psi^{-1}(y)\in Q_+$ となり $\psi(c(t))\in V\cap\Omega$。また $t_1,t_2\in[0,1]$ について $$|\psi(c(t_1))-\psi(c(t_2))|\le C|c(t_1)-c(t_2)|=C|\psi^{-1}(x)-\psi^{-1}(y)||t_1-t_2|\le C_1|x-y||t_1-t_2|.$$

$$\delta\colon=\inf_{t\in[0,1]}\dist(\psi(c(t)),\pOm)$$

とすると $[0,1]$ はコンパクトより $\delta\gt0$。$N\in\Zp$ を $N\gt\frac{C_1|x-y|}{\delta}$ となるようにとり、 $$x_i\colon=\psi\left(c\left(\frac{i}{N}\right)\right)\quad (i=0,...,N)$$ とする。このとき $x_0=x$、$x_N=y$ で、また $i=0,...,N-1$ と $s\in[0,1]$ について $$|((1-s)x_i+sx_{i+1})-x_i|=s|x_{i+1}-x_i|\le C_1s|x-y||\frac{i+1}{N}-\frac{i}{N}|\le \frac{C_1|x-y|}{N}\lt\delta.$$ $\dist(\psi(c(x_i)),\pOm)\ge\delta$ より $(1-s)x_i+sx_{i+1}\in\Omega$。よって $p\colon=\{x_i\}_{i=0}^N$ は $\Omega$ 内の折れ線であり、さらに $$l(p)\le\sum_{i=0}^{N-1}C_1|x-y||\frac{i+1}{N}-\frac{i}{N}|=C_1|x-y|$$ をみたす。これより $V\cap\Omega,\Omega$ は $L=C_1$ として(\ref{geod'})をみたす。従って $T$ は(\ref{locgeod})をみたす。

補題 38

$\Omega$ は連結であるとし、$\{U_i\}_{i=1}^N$ を $\Omega$ の開被覆とする。$x,y\in\Omega$ とすると、次をみたす $x_0,...,x_m\in\Omega$、$i_0,...,i_{m-1}\in\{1,...,N\}$、$m\le N$ が存在する:

  • $x_0=x$、$x_m=y$。
  • $j,k\in\{0,...,m-1\}$ について $j\neq k\implies i_j\neq i_k$。
  • $j=0,...,m-1$ について $x_j,x_{j+1}\in U_{i_j}$。
Proof.

$x\in\Omega$ をfixし、条件をみたす $x_0,...,x_m\in\Omega$ と $i_0,...,i_{m-1}\in\{1,...,N\}$ が存在する $y\in\Omega$ のなす集合を $V$ とする。$V=\Omega$ を示せばよい。

$i\in\{1,...,N\}$ について $$U_i\cap V\neq\emptyset\implies U_i\subset V$$ を示す。

$y\in U_i\cap V$ として条件をみたす $x_0,...,x_m\in\Omega$ と $i_0,...,i_{m-1}\in\{1,...,N\}$ をとり、$y'\in U_i$ とする。$i_j=i$ となる $j$ が存在するときは $j_0\colon=\min\{j:i_j=i\}$ として $$x'_j\colon= \begin{cases} x_j&\colon j=0,...,j_0-1\\ y'&\colon j=j_0 \end{cases} ,i'_j\colon=i_j$$ とすると $x'_0=x$、$x'_{j_0}=y'$ かつ $j,k\in\{0,...,j_0-1\}$ について $j\neq k\implies i'_j\neq i'_k$。また $j=0,...,j_0-2$ については $x'_j=x_j$、$x'_{j+1}=x_{j+1}$ より $x'_j,x'_{j+1}\in U_{i_j}=U_{i'_j}$ で、$x'_{j_0-1}=x_{j_0}$、$x'_{j_0}=y'$ より $x'_{j_0-1}\in U_{i'_{j_0}}$、$x'_{j_0}\in U_i=U_{i'_{j_0}}$。よって $y'\in V$ となる。

一方$i_j=i$ となる $j$ が存在しないときは $j,k\in\{0,...,m-1\}$、$j\neq k\implies i_j\neq i_k$ より $m\le N-1$。 $$x'_j\colon= \begin{cases} x_j&\colon j=0,...,m\\ y'&\colon j=m+1 \end{cases} ,i'_j\colon= \begin{cases} i_j&\colon j=0,...,m-1\\ i&\colon j=m \end{cases} $$ とすると $x'_0=x$、$x'_{m+1}=y'$ かつ $j,k\in\{0,...,m-1\}$ について $j\neq k\implies i'_j\neq i'_k$ となることと $i'_j=i=i'_m$ となる $j\in\{0,...,m-1\}$ が存在しないことから $j,k\in\{0,...,m\}$ について $j\neq k\implies i'_j\neq i'_k$。また $j=0,...,m-1$ については $x'_j=x_j$、$x'_{j+1}=x_{j+1}$ より $x'_j,x'_{j+1}\in U_{i_j}=U_{i'_j}$ で、$x'_m=x_m=y$、$x'_{m+1}=y'$ より $x'_m,x'_{m+1}\in U_i=U_{i'_m}$。よって $y'\in V$ となる。

従っていずれの場合も $y'\in V$ となり、$U_i\cap V\neq\emptyset\implies U_i\subset V$ が成り立つ。

これより $$\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\U_i\cap V\neq\emptyset}} U_i\subset V.$$ また $\{U_i\}_{i=1}^N$ は $V$ を被覆し、$y\in V$ について $y\in U_i$ とすれば $U_i\cap V\neq\emptyset$ となることから $$\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\U_i\cap V\neq\emptyset\\}} U_i\supset V$$ も成り立ち $$\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\U_i\cap V\neq\emptyset\\}} U_i=V.$$ となる。とくに $V$ は開集合である。

一方、$U_i\not\subset V\iff U_i\cap(\Omega\backslash V)\neq\emptyset$、$U_i\cap V=\emptyset\iff U_i\subset\Omega\backslash V$ であるから $U_i\cap V\neq\emptyset\implies U_i\subset V$ の対偶より $U_i\subset\Omega\backslash V\implies U_i\cap(\Omega\backslash V)\neq\emptyset$。従って同様に $$\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\U_i\cap (\Omega\backslash V)\neq\emptyset\\}} U_i=\Omega\backslash V$$ となり $\Omega\backslash V$ も開集合となる。

$\Omega$ は連結より $V=\Omega$ か $V=\emptyset$ のいずれかが成り立つが、明らかに $x\in V$ であるから $V=\Omega$ が成り立つ。

定義 39

$\Omega$ 内の折れ線 $p_1=\{x_i\}_{i=0}^{N_1},p_2=\{y_i\}_{i=0}^{N_2}$ が $x_{N_1}=y_0$ をみたすとする。このとき $i=0,...,N_1+N_2$ について $$z_i\colon= \begin{cases} x_i&\colon i=0,...,N_1\\ y_{i-N_1}&\colon i=N_1,...,N_1+N_2 \end{cases}$$ とする($z_{N_1}$ が二重に定義されているが、$x_{N_1}=y_0$ よりwell-definedである。)と、$i=0,...,N_1-1$ については $z_i=x_i,z_{i+1}=x_{i+1}$で、$i=N_1,....,N_1+N_2-1$ については $z_i=y_{i-N_1},z_{i+1}=y_{i-N_1+1}$ より $(1-t)z_i+tz_{i+1}\in\Omega\quad(\forall i=0,...,N_1+N_2-1,t\in[0,1])$ が成り立ち、$\{z_i\}_{i=0}^{N_1+N_2}$ も $\Omega$ 内の折れ線になる。これを $p_1+p_2$ と書く。 $$z_0=x_0,z_{N_1+N_2}=y_{N_2},l(p_1+p_2)=\sum_{i=0}^{N_1+N_2-1}|z_i-z_{i+1}|=\sum_{i=0}^{N_1-1}|x_i-x_{i+1}|+\sum_{j=0}^{N_2-1}|y_j-y_{j+1}|=l(p_1)+l(p_2)$$ が成り立つ。また帰納的に、$\Omega$ 内の折れ線 $p_j=\{x_{j,i}\}_{i=0}^{N_j},j=1,...,m$ が $x_{j,N_j}=x_{j+1,0}(j=1,...,m-1)$ をみたすとき、$\Omega$ 内の折れ線 $p_1+...+p_m=\{x_i\}_{i=1}^N,N=\sum_{j=1}^m N_j$ で $$x_0=x_{1,0},x_N=x_{m,N_m},l(p_1+...+p_m)=\sum_{i=1}^m l(p_i)$$ をみたすものが定まる。

定理 40

$\Omega$ が有界、連結で $\pOm$ が(\ref{locgeod})をみたすとき、$\Omega$ は(\ref{geod})をみたす。とくに有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域は (\ref{geod}) をみたす。

Proof.

定理 37 より各 $\xi\in\pOm$ について $\xi$ の開近傍 $V(\xi)$ が存在し $V(\xi)\cap\Omega,\Omega$ は(\ref{geod'})をみたす。必要であれば $V(\xi)$ をとり直して有界としてよい。また各 $x\in\Omega$ について $B(x)\subset\Omega$ なる $x$ を中心とする開球 $B(x)$ をとると $B(x)$ は凸より $B(x),\Omega$ も(\ref{geod'})をみたす。

$\{V(\xi)\}_{\xi\in\pOm}\cup\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ は $\Ombar$ の開被覆であるから、これの有限部分被覆 $\{U_i\}_{i=1}^N$ をとって各 $i=1,...,N$ について $U_i$ が有界かつ $U_i\cap\Omega,\Omega$ が(\ref{geod'})をみたすようにできる。各 $i=1,...,N$ に対する(\ref{geod'})の $L\ge 1$ の値を $L_i$ とする。また $\Ombar$ の開被覆 $\{U_i\}_{i=1}^N$ のLebesgue数 $r\gt 0$ をとる。

$x,y\in\Omega$ とする。$|x-y|\lt r$ のときは $x,y\in U_i\cap\Omega$ となる $i$ が存在するので $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^m$ が存在して $x_0=x$、$x_m=y$、$l(p)\le L_i|x-y|$。

$|x-y|\ge r$ のときは補題 38の $x_0,...,x_m\in\Omega$ と $i_0,...,i_{m-1}\in\{1,...,N\}$ をとると $j=0,...,m-1$ について $x_j,x_{j+1}\in U_{i_j}$ であるから $\Omega$ 内の折れ線 $p_j=\{x_{j,k}\}_{k=0}^{k_j}$ が存在して $x_{j,0}=x_j$、$x_{j,k_j}=x_{j+1}$、$l(p_j)\le L_{i_j}|x_j-x_{j+1}|\le L_{i_j}\diam U_{i_j}$。

$j=0,...,m-2$ について $x_{j,k_j}=x_{j+1}=x_{j+1,0}$ であるから $$p=p_0+...+p_{m-1}=\{z_i\}_{i=1}^l,l=\sum_{j=0}^{m-1}k_j$$ とすれば $z_0=x_{0,0}=x_0=x$、$z_l=x_{m-1,k_{m-1}}=x_m=y$ で $$l(p)=\sum_{j=0}^{m-1}l(p_j)\le \sum_{j=0}^{m-1}L_{i_j}\diam U_{i_j}.$$ $j,k\in\{0,...,m-1\}$、$j\neq k\implies i_j\neq i_k$ と $|x-y|\ge r$ より $$l(p)\le\sum_{i=1}^N L_i\diam U_i\le\frac{\sum_{i=1}^{N}L_i\diam U_i}{r}|x-y|.$$

以上より $\Omega$ は $$L=\max\left\{L_1,...,L_N,\frac{\sum_{i=1}^{N}L_i\diam U_i}{r}\right\}$$ として(\ref{geod})をみたす。

注意

このことからとくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域の場合は定理 15定理 19の主張が成り立つ。また $T$ が $C^{0,1}$ 境界部分の場合は系 16系 20の主張が成り立つ。

また次の幾何的性質は、とくに補間不等式を示す上で重要である:

定理 41

有界な $C^{0,1}$ 領域 $\Omega$ は次をみたす: $$\tag{$\dagger^{\prime\prime}$}\label{nbdball} \rho_0\gt 0、\mu\in(0,1)\ が存在し、x\in\Omega,\rho\in(0,\rho_0]\ について\ y\in\Omega\ が存在して\ |x-y|\le\rho 、B_{\mu\rho}(y)\subset\Omega。 $$

Proof.

$\xi\in\pOm$ とし、(\ref{kabdr}) の $U,\psi$ をとって $V\colon=\psi(Q)$、$V'=V'(\xi)\colon=\psi(\frac{1}{3}Q)$ とする。$x,y\in Q$ について $$C^{-1}|x-y|\le|\psi(x)-\psi(y)|\le C|x-y|$$ となる。

$x\in V\cap\Omega$ とすると $\psi^{-1}(x)\in \frac{1}{3}Q_+$であるから $\sigma\in(0,1]$ について $$\psi^{-1}(x)+\sigma e_n\in \frac{1}{3}Q_++\frac{\sigma}{3} e_n=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)^{n-1}\times\left(\frac{\sigma}{3},\frac{1+\sigma}{3}\right)\subset Q_+\cap\frac{2}{3}Q.$$ $y\colon=\psi\left(\psi^{-1}(x)+\sigma e_n\right)$ とすると $$|x-y|\le C|\psi^{-1}(x)-\psi^{-1}(y)|=\frac{C\sigma}{3}.$$ また $W\colon=\psi(Q_+\cap\frac{2}{3}Q)$ とすると $y\in W\subset V\cap\Omega$。また $\frac{2}{3}Q\rcpt Q$ より $W\rcpt V$。 $d\colon=\dist(W,V)$ とし、$z\in\R^n$、$|y-z|\lt\sigma\min\{d,\frac{1}{3C}\}$ とすると $z\in V$ で、 $$|\psi^{-1}(y)-\psi^{-1}(z)|\le C|y-z|\le\frac{\sigma}{3}.$$ $\psi^{-1}(y)\in (-\frac{1}{3},\frac{1}{3})^{n-1}\times(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ であるから $$\psi^{-1}(z)\in \left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)^{n-1}\times\left(0,1\right)\subset Q_+.$$ よって $z\in V\cap\Omega$ となる。

従って $$\rho_\xi\colon=\frac{C}{3},\mu_\xi\colon=\min\left\{\frac{3d}{C},\frac{1}{C^2}\right\}$$ とすれば $|x-y|\le\sigma\rho_\xi$、$B_{\mu\sigma\rho_\xi}(y)\subset\Omega$ となる。

$\pOm$ はコンパクトであるから、$\xi_1,...,\xi_N\in\pOm$ を選んで $\pOm\subset\bigcup_{i=1}^N V'(\xi_i)$ とできる。また $\Ombar\backslash\bigcup_{i=1}^N V'(\xi_i)\subset\Omega$ は有界かつ $\R^n$ で閉よりコンパクトであるから$\delta\colon=\dist(\pOm\backslash\bigcup_{i=1}^N V'(\xi),\pOm)\gt0$。すなわち、$x\in\Omega$ が $\dist(x,\pOm)\lt\delta$ をみたすとき $x\in V'(\xi_i)$ なる $i$ が存在する。 $$\rho_0\colon=\min\{\delta,\rho_{\xi_1},...,\rho_{\xi_N}\},\mu\colon=\min\{\mu_{\xi_1},...,\mu_{\xi_N}\}$$ とする。

$x\in\Omega$、$\rho\in (0,\rho_0]$ とする。$\dist(x,\pOm)\ge\rho_0$ のときは $y=x$ とすれば $|x-y|=0\le\rho$ かつ $B_\rho(x)\subset\Omega$ より $B_{\rho}(y)\subset\Omega$。$\dist(x,\pOm)\lt\rho_0$ のときは $x\in V'(\xi_i)$ なる $i$ が存在するので、$\sigma=\frac{\rho}{\rho_{\xi_i}}$ とすれば $\sigma\in(0,1]$ より $y\in\Omega$ で $|x-y|\le\sigma\rho_{\xi_i}=\rho,B_{\rho}(y)=B_{\sigma\rho_{\xi_i}}(y)\subset\Omega$ となるものが存在する。

内部ノルム

以下では $T$ で相対開集合 $T\subsetneq\pOm$ を表す($T=\emptyset$ でもよい)。また $x,y\in\Omega$ について $$d_x\colon=\dist(x,\pOm\backslash T),d^-_{xy}\colon=\min\{d_x,d_y\},d^+_{xy}\colon=\max\{d_x,d_y\}$$ とし、$\delta\gt 0$ について $$\Omega^i_{\delta}\colon=\{x\in\Omega\colon d_x\gt\delta\},\Omega^b_{\delta}\colon=\{x\in\Omega\colon d_x\lt\delta\}$$ とする。

定義 42 (部分内部セミノルム、内部セミノルム[7])

$k\in\Zz$、$\sigma\in\R$ とする。$C(\OmT)$ と $C^k(\OmT)$ に \begin{align*} |f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}=[f]^{(\sigma)}_{0;\OmT}=[f]^{(\sigma)}_{0,0;\OmT}&\colon=\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f(x)|\\ [u]^{(\sigma)}_{k;\OmT}=[u]^{(\sigma)}_{k,0;\OmT}&\colon=\sum_{|\gamma|=k}|D^\gamma u|^{(k+\sigma)}_{0;\OmT}\\ |u|^{(\sigma)}_{k;\OmT}=|u|^{(\sigma)}_{k,0;\OmT}&\colon=\sum_{j=0}^k[u]^{(\sigma)}_{j;\OmT}=\sum_{|\gamma|\le k}|D^\gamma u|^{(|\gamma|+\sigma)}_{0;\OmT} \end{align*} なる「セミノルム」と「ノルム」を定める。また $\alpha\in (0,1]$ とし、$C^{0,\alpha}(\OmT)$ と $C^{k,\alpha}(\OmT)$ に \begin{align*} [f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}&\colon=\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y}}d_{xy}^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ [u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}&\colon=\sum_{|\gamma|=k}[D^\gamma u]^{(k+\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\\ |u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}&\colon|u|^{(\sigma)}_{k,0;\OmT}+[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT} \end{align*} なる「セミノルム」と「ノルム」を定める。ここで $$d_{xy}= \begin{cases} d^-_{xy}&\colon \sigma\ge-\alpha\\ d^+_{xy}&\colon \sigma\lt-\alpha \end{cases} .$$ これらの「セミノルム」と「ノルム」を $T$ に関する重み $\sigma$ の部分内部セミノルム(ノルム)という。とくに $T=\emptyset$ のときこれらを重み $\sigma$ の内部セミノルム(ノルム)という。

注意

$\Omega$ が非有界の場合の $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ の「ノルム」と同様の理由で、これらは $C^{k,\alpha}(\OmT)$ のセミノルムやノルムとはならない。 これらのセミノルムやノルムが有限となる部分空間に制限すればセミノルムやノルムとなる。

とくに以下の場合が重要である:

  • $T=\emptyset$ の場合(すなわち内部ノルム)
  • $\Omega\subset\Rnp$、$T\subset\pRnp$ の場合(すなわち $T$ が「平ら」な場合)

命題 43

$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\in\R$ とする。$f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ について $$[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}=\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;\Omega_\delta}.$$ ここで $$\Omega_\delta= \begin{cases} \Omega^i_\delta&\colon \sigma\ge-\alpha\\ \Omega^b_\delta&\colon \sigma\lt-\alpha \end{cases} .$$

Proof.

$\alpha=0$、$\sigma\ge 0$ のとき \begin{align*} |f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}&=\sup_{x\in\Omega}\sup_{0\lt\delta\lt d_x}\delta^\sigma|f(x)|\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\sup_{x\in\Omega,d_x\gt\sigma}\delta^\sigma|f(x)|\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\delta^\sigma|f|_{0;\Omega^i_\delta}. \end{align*} $\alpha=0$、$\sigma\lt 0$ のとき \begin{align*} |f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}&=\sup_{x\in\Omega}\sup_{\delta\gt d_x}\delta^\sigma|f(x)|\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\sup_{x\in\Omega,d_x\lt\sigma}\delta^\sigma|f(x)|\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\delta^\sigma|f|_{0;\Omega^b_\delta}. \end{align*} $\alpha\in(0,1]$、$\sigma\ge-\alpha$ のとき \begin{align*} [f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}&=\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y}}\sup_{0\lt\delta\lt d^-_{xy}}\delta^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d^-_{xy}\gt\delta}}\delta^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d_x,d_y\gt\delta}}\delta^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\Omega^i_\delta}. \end{align*} $\alpha\in(0,1]$、$\sigma\lt-\alpha$ のとき \begin{align*} [f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}&=\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y}}\sup_{\delta\gt d^+_{xy}}\delta^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d^+_{xy}\lt\delta}}\delta^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d_x,d_y\lt\delta}}\delta^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &=\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\Omega^b_\delta}. \end{align*}

命題 44 (内部評価と内部ノルムの関係)

$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\ge 0$ とすると $f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ と $\Omega'\rcpt\OmT$ について $$[f]_{0,\alpha;\Omega'}\le C_{\alpha,\sigma,d}[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}.$$ ここで $d=\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$。

Proof.

$\Omega'\subset\Omega^b_\delta$ であるから命題 43より $$[f]_{0,\alpha;\Omega'}\le [f]_{0,\alpha;\Omega^b_\delta}\le \delta^{-(\alpha+\sigma)}[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}.$$

以下では$B_r\cap\Omega$ の形の集合の上での $C^{k,\alpha}$ 無次元ノルムは $$R=2r$$ としたときの値を用いる。

定理 45 (局所評価と内部ノルムの関係)

$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\in\R$、$\mu\in(0,1)$ とすると $f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ について $$C_{\alpha,\sigma,\mu}\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}\le[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\le\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f|'_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}.$$

また $k\in\Zz$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ について $$C^{-1}_{n,\alpha,\sigma,\mu}\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|'_{k,\alpha;_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}\le|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|'_{k,\alpha;_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}.$$

Proof.

$f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ とする。$x\in\Omega$ について $B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega\subset\Omega^i_{(1-\mu)d_x}\cap\Omega^b_{(1+\mu)d_x}$ であるから命題 43より $$[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\ge \begin{cases} ((1-\mu)d_x)^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;\Omega^i_{(1-\mu)d_x}}\ge(1-\mu)^{\alpha+\sigma}d_x^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}&\colon \sigma\ge-\alpha\\ ((1+\mu)d_x)^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;\Omega^b_{(1+\mu)d_x}}\ge(1+\mu)^{\alpha+\sigma}d_x^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}&\colon \sigma\lt-\alpha. \end{cases} $$ 一方$\alpha=0$ とすると $$|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}=\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f(x)|\le\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f|_{0;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}.$$ $\alpha\in(0,1]$ とし、$x,y\in\Omega$ とする。対称性より $$\begin{cases} d_x\le d_y&\colon \sigma\ge 0\\ d_x\ge d_y&\colon \sigma\lt 0 \end{cases}$$ としてよい。このとき $d_x^\sigma\le d_y^\sigma$。定義 42と同様に $d_{xy}$ を定めると $d_{xy}^{\alpha+\sigma}\le d_x^{\alpha+\sigma}$ で $$d_{xy}^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le \begin{cases} d_x^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}&\colon |x-y|\lt \mu d_x\\ d_x^{\alpha+\sigma}(\mu d_x)^{-\alpha}(|f(x)|+|f(y)|)\le\mu^{-\alpha}(d_x^{\sigma}|f(x)|+d_y^{\sigma}|f(y)|)\le 2\mu^{-\alpha}|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}&\colon |x-y|\ge \mu d_x \end{cases}$$ であるから $$d_{xy}^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le d_x^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}+2\mu^{-\alpha}|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}.$$ よって $$[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\le \sup_{x\in\Omega}d_x^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}+2\mu^{-\alpha}|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}\le C(\sup_{x\in\Omega}d_x^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}+\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f|_{0;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega})\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f|'_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}.$$

また $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ とすると $$ |u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}=\sum_{|\gamma|\le k-1}|D^\gamma u|^{(|\gamma|+\sigma)}_{0;\OmT}+\sum_{|\gamma|=k}|D^\gamma u|^{(k+\sigma)}_{0,\alpha;\OmT} $$ より \begin{align*} \sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}&=\sup_{x\in\Omega}\left(\sum_{|\gamma|\le k-1}d_x^\sigma(2\mu d_x)^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}+\sum_{|\gamma|=k}d_x^\sigma(2\mu d_x)^k|D^\gamma u|_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}\right)\\ &\le C\left(\sum_{|\gamma|\le k-1}|D^\gamma u|^{(|\gamma|+\sigma)}_{0;\OmT}+\sum_{|\gamma|=k}|D^\gamma u|^{(k+\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\right)\\ &= C|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT},\\ |u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}&=\sum_{|\gamma|\le k-1}|D^\gamma u|^{(|\gamma|+\sigma)}_{0;\OmT}+\sum_{|\gamma|=k}|D^\gamma u|^{(k+\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\\ &\le C\left(\sum_{|\gamma|\le k-1}\sup_{x\in\Omega}d_x^{|\gamma|+\sigma}|D^\gamma u|_{0;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}+\sum_{|\gamma|=k}\sup_{x\in\Omega}d_x^{k+\sigma}|D^\gamma u|_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}\right)\\ &\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma\left(\sum_{|\gamma|\le k-1}d_x^{|\gamma|}|D^\gamma u|_{0;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}+\sum_{|\gamma|=k}d_x^k|D^\gamma u|_{0,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}\right)\\ &\le C\sup_{x\in\Omega}|u|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}. \end{align*}

定理 46

$k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$、$k'\le k$、$k'+\alpha'\le k+\alpha$、$\sigma,\tau\in\R$ とし、$\Omega,T$ は次をみたすとする: \begin{equation} \begin{split} &L\ge 1\ と\mu\in(0,1)\ が存在し、\\ &x\in\Omega\ と\ y,z\in B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega\ について\ \Omega\ 内の折れ線\ p=\{y_i\}_{i=0}^N\ が存在して\ y_0=y、y_N=z、l(p)\le L|y-z|。 \end{split}\tag{$\dagger_*$}\label{mugeod} \end{equation} このとき について次が成り立つ:

  • $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ について

$$|u|^{(\sigma)}_{k',\alpha';\OmT}\le C_{n,k,k',\alpha,\alpha',\sigma,\mu,L}|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}.$$

  • $u,v\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ について

$$|uv|^{(\sigma+\tau)}_{k,\alpha;\OmT}\le C_{n,k,\alpha,\sigma,\tau,\mu,L}|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}|v|^{(\tau)}_{k,\alpha;\OmT}.$$

Proof.

$$\mu'\colon=\frac{\mu}{L+1}$$ とする。$x\in\Omega$ とすると補題 25より $B_{\mu' d_x}(x)\cap\Omega,B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega$ は(\ref{mugeod})で与えた $L$ と同じ $L$ について(\ref{geod'})をみたすので定理 15,定理 19の注意より $$|u|'_{k',\alpha';B_{\mu' d_x}(x)\cap\Omega}\le C|u|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega},|uv|'_{k,\alpha;B_{\mu' d_x}(x)\cap\Omega}\le C|u|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}|v|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}.$$ 定理 45より \begin{align*} |u|^{(\sigma)}_{k',\alpha';\OmT}&\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|'_{k',\alpha';B_{\mu' d_x}(x)\cap\Omega}\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega}\le C|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT},\\ |uv|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}&\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^{\sigma+\tau}|uv|'_{k,\alpha;B_{\mu' d_x}(x)\cap\Omega}\le C\sup_{x\in\Omega}(d_x^\sigma|u|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega})(d_x^\tau|v|'_{k,\alpha;B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega})\le C|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}|v|^{(\tau)}_{k,\alpha;\OmT}. \end{align*}

(\ref{mugeod})は技術的な仮定であり、このままでは判定が難しい。 そこで以下の十分条件を与える:

命題 47

$D\subset\R^n$ は $\Omega\subset D$、$T\subset\partial D$ なる開集合で $\Omega,D$ は $L=L_D$ として (\ref{geod'}) をみたすとする。このとき $\Omega,T$ は $$L=L_D,\mu=\frac{1}{2L_D+2}$$ として(\ref{mugeod}) をみたす。

Proof.

$x\in\Omega$ について $B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega,D$ は $L=L_T$ として(\ref{geod'})をみたし、補題 25と $(L_D+1)\mu=\frac{1}{2}$より $B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega,B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega$ が $L=L_D$ として(\ref{geod})をみたす。

$x\in\Omega'$、$y,z\in B_{\mu d_x}(x)\cap\Omega$ とすると $B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap D$ 内の折れ線 $p=\{y_i\}_{i=0}^N$ で $y_0=y$、$y_N=z$、$l(p)\le L_T|y-z|$ となるものが存在する。 $$i=0,...,N-1,t\in[0,1]\ について\ (1-t)y_i+ty_{i+1}\in\Omega$$ を示す。$(1-t)y_i+ty_{i+1}\notin\Omega$ なる $i=0,...,N-1,t\in[0,1]$ が存在したとし、$(1-t)y_i+ty_{i+1}\notin\Omega$ なる $t\in[0,1]$ が存在する $i$ のうち最小のものを $i_0$ とする。$i_0$ のとりかたより $y_{i_0}=(1-1)y_{i_0-1}+y_{i_0}\in\Omega$ でかつ $(1-t)y_{i_0}+ty_{i_0+1}\notin\Omega$ なる $t\in[0,1]$ が存在するので、$(1-t_0)y_{i_0}+t_0y_{i_0+1}\in\pOm$ なる $t_0\in[0,1]$ が存在する。一方 $(1-t_0)y_{i_0}+t_0y_{i_0+1}\in B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap D$ であるが、$B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap(\pOm\backslash T)=\emptyset$ であるから $(1-t_0)y_{i_0}+t_0y_{i_0+1}\notin\pOm\backslash T$。よって $(1-t_0)y_{i_0}+t_0y_{i_0+1}\in T$ となるが、$T\subset\partial D$ より $T\cap D=\emptyset$ であり、これは $(1-t_0)y_{i_0}+t_0y_{i_0+1}\in D$ に矛盾.

これより $p$ は $\Omega$ 内の折れ線であり、$\Omega$ は $L=L_D$、$\mu=\frac{1}{2L+2}$ として(\ref{mugeod})をみたす。

注意

とくに $T=\emptyset$ の場合と $\Omega\subset\Rnp$、$T\subset\pRnp$ の場合は(\ref{mugeod})がみたされている。

$k=0$ の場合は定理 15定理 19の注意の代わりに命題 12命題 17を用いれば(\ref{mugeod})の仮定は不要である。また積については $k=0$ の一部の場合は以下に示すように直接計算により評価を改善することができる:

定理 48

$\sigma,\tau\in\R$ とすると $f,g\in C(\OmT)$ について $$|fg|^{(\sigma+\tau)}_{0;\OmT}\le|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0;\OmT}.$$ また $\alpha\in(0,1]$ とすると、$\sigma\ge 0$、$\tau\ge-\alpha$ であれば $f,g\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ について $$[fg]^{(\sigma+\tau)}_{0,\alpha;\OmT}\le|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}[g]^{(\tau)}_{0,\alpha;\OmT}+[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0;\OmT},|fg|^{(\sigma+\tau)}_{0,\alpha;\OmT}\le|f|^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0,\alpha;\OmT}.$$

Proof.

$$|fg|^{(\sigma+\tau)}_{0;\OmT}=\sup_{x\in\Omega}d_x^{\sigma+\tau}|f(x)||g(x)|\le\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|f(x)|\sup_{x\in\Omega}d_x^\tau|g(x)|=|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0;\OmT}.$$ $\alpha\in(0,1]$ とし、$\sigma\ge 0$、$\tau\ge-\alpha$ であるとすると $\sigma+\tau\ge-\alpha$ であるから \begin{align*} [fg]^{(\sigma+\tau)}_{0,\alpha;\OmT}&=\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d_x\le d_y}}d_x^{\alpha+\sigma+\tau}\frac{|f(x)g(x)-f(y)g(y)|}{|x-y|^\alpha}\\ &\le\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d_x\le d_y}}d_x^{\alpha+\sigma+\tau}\frac{|f(y)||g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y)||g(x)|}{|x-y|^\alpha}\\ &\le\sup_{\substack{x,y\in\Omega,\\x\neq y,d_x\le d_y}}\left(d_y^\sigma|f(y)|d_x^{\alpha+\tau}\frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|^\alpha}+d_x^{\alpha+\sigma}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}d_x^{\tau}|g(x)|\right)\\ &\le|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}[g]^{(\tau)}_{0,\alpha;\OmT}+[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0;\OmT}. \end{align*} また $$|fg|^{(\sigma+\tau)}_{0,\alpha;\OmT}\le|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0;\OmT}+|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}[g]^{(\tau)}_{0,\alpha;\OmT}+[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0;\OmT}\le|f|^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}|g|^{(\tau)}_{0,\alpha;\OmT}.$$

命題 49

$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\in\R$ とする。$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ と $\Omega\rcpt D$ を開集合として、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$\psi:\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\colon =\psi^{-1}(\Omega)$、$\widetilde{T}\colon=\psi^{-1}(T)$ とすると $f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ について $$C^{-1}_{\alpha,\psi,\Omega}[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}\le[f\circ\psi]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\widetilde{\Omega}\cup \widetilde{T}}\le C[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}.$$

Proof.

$\psi(\partial\widetilde{\Omega})=\pOm,\psi(\partial\widetilde{\Omega}\backslash\widetilde{T})=\pOm\backslash T$ に注意する。

$x,y\in\widetilde{\Omega}$ に対して、$d_x$、$d^+_{xy}$、$d^-_{xy}$ と同様に $\widetilde{d}_x$、$\widetilde{d}^+_{xy}$、$\widetilde{d}^-_{xy}$ を定める。$x\in\widetilde{\Omega}$ について $$d_{\psi(x)}=\dist(\psi(x),\psi(\partial\widetilde{\Omega}\backslash\widetilde{T}))\le C\dist(x,\partial\widetilde{\Omega}\backslash\widetilde{T})=C\widetilde{d}_x.$$ 逆に $\widetilde{d}_x\le Cd_{\psi(x)}$ も同様に示される。

$\delta\gt 0$ について $\Omega^i_\delta$、$\Omega^b_\delta$ と同様に $\widetilde{\Omega}^i_\delta$、$\widetilde{\Omega}^b_\delta\subset\widetilde{\Omega}$ を定めると \begin{align*} \widetilde{\Omega}^i_\delta&=\{x\in\widetilde{\Omega}:\widetilde{d}_x\gt\delta\}\subset\{x\in\widetilde{\Omega}:Cd_{\psi(x)}\gt\delta\}=\psi^{-1}(\Omega^i_{C^{-1}\delta}),\\ \widetilde{\Omega}^b_\delta&=\{x\in\widetilde{\Omega}:\widetilde{d}_x\lt\delta\}\subset\{x\in\widetilde{\Omega}:C^{-1}d_{\psi(x)}\lt\delta\}=\psi^{-1}(\Omega^b_{C\delta}). \end{align*} 命題 43命題 23より $$[f\circ\psi]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\widetilde{\Omega}\cup\widetilde{T}}= \begin{cases} \sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f\circ\psi]_{0,\alpha;\widetilde{\Omega}^i_{\delta}}\le\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f\circ\psi]_{0,\alpha;\psi^{-1}(\Omega^i_{C^{-1}\delta})}\le C\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;\Omega^i_{C^{-1}\delta}}\le C[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}&:\sigma\ge-\alpha\\ \sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f\circ\psi]_{0,\alpha;\widetilde{\Omega}^b_{\delta}}\le\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f\circ\psi]_{0,\alpha;\psi^{-1}(\Omega^b_{C\delta})}\le C\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha+\sigma}[f]_{0,\alpha;\Omega^b_{C\delta}}\le C[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}&:\sigma\lt-\alpha \end{cases}.$$ 逆の不等式も同様である。

定理 50

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とし、$\sigma\in\R$ とする。$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ と $\Omega\rcpt D$ を開集合として、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$\psi:\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{k,\alpha}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\colon =\psi^{-1}(\Omega)$、$\widetilde{T}\colon=\psi^{-1}(T)$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ について $$C^{-1}_{k,\alpha,\psi,\Omega}|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\le|u\circ\psi|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\widetilde{\Omega}\cup \widetilde{T}}\le C|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}.$$

Proof.

定理 24と同様の帰納法により示される。

補間不等式

命題 51 ($C^{0,\alpha}$ の補間不等式)

$0\lt\alpha'\lt\alpha\le 1$ について以下が成り立つ:

  • $f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$ について

$$[f]_{0,\alpha';\Omega}\le C_{\alpha,\beta}|f|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[f]_{0,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}.$$

  • $\sigma\in\R$ として $T\subsetneq\pOm$ を相対開集合とすると $f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ について

$$[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha';\OmT}\le C_{\alpha,\beta}{|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}{[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}}^\frac{\alpha'}{\alpha}.$$

Proof.

$f\in C^{0,\alpha}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ について $$|f(x)-f(y)|\le(|f(x)|+|f(y)|)^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}|f(x)-f(y)|^\frac{\alpha'}{\alpha}\le (2|f|_{0;\Omega})^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}([f]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha)^\frac{\alpha'}{\alpha}=C|f|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[f]_{0,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}|x-y|^{\alpha'}.$$

よって $[f]_{0,\alpha';\Omega}\le C_{0,\alpha,\alpha'}|f|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[f]_{0,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}$。

$f\in C^{0,\alpha}(\OmT)$ とする。命題 43のように $\Omega_\delta,\delta\gt 0$ を定めると $$[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha';\OmT}=\sup_{\delta\gt 0}\delta^{\alpha'+\sigma}[f]_{0;\alpha'\Omega_\delta}\le\sup_{\delta\gt 0}(\delta^\sigma|f|_{0;\Omega_\delta}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}})(\delta^{\alpha+\sigma}[f]_{0;\alpha'\Omega_\delta}^\frac{\alpha'}{\alpha})\le{|f|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}{[f]^{(\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}}^\frac{\alpha'}{\alpha}.$$

補題 52

$a,b\ge 0$、$0\le\alpha'\le\alpha\le 1$ について $$a^{1-\alpha'}b^{\alpha'}\le C_{\alpha,\alpha'}(a+a^{1-\alpha}b^\alpha).$$

Proof.

Young の不等式より $$a^{1-\alpha'}b^{\alpha'}=a^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}(a^{1-\alpha}b^\alpha)^\frac{\alpha'}{\alpha}\le C(a+a^{1-\alpha}b^\alpha).$$

以下 $\varepsilon\gt 0$ とし、明示しない限り $C$ は $\varepsilon$ には依存しないものとする。

定理 53 ($C^{k,\alpha}$ セミノルムの補間不等式)

$\Omega$ は有界かつ(\ref{geod})、(\ref{nbdball})をみたすとする。$k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$、$0\lt k'+\alpha'\lt k+\alpha$、$R\ge\diam\Omega$ とする。$u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $$R^{k'+\alpha'}[u]_{k',\alpha';\Omega}\le C_{k,k',\alpha,\alpha',\lambda}(|u|_{0;\Omega}+R^{k'+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^{1-\tau}[u]_{k,\alpha;\Omega}^\tau).$$ ここで $$\tau\colon=\frac{k'+\alpha'}{k+\alpha},\lambda\colon=\frac{\rho_0}{R}$$ である。とくに $$|u|_{k',\alpha';\Omega}\le C_{k,k',\alpha,\alpha',\Omega,\varepsilon}|u|_{0;\Omega}+\varepsilon[u]_{k,\alpha;\Omega}.$$

Proof.

  • $k=0$ の場合は命題 51で既に示した。
  • $k=k'\ge 1$、$\alpha\in(0,1]$、$\alpha'=0$ の場合を $k$ に関する帰納法により示す。

$k=1$ の場合を示す。$x\in\Omega$、$\rho\in(0,\lambda R]$ とすると $y\in\Omega$ で $|x-y|\le\rho$、$B_{\mu\rho}\subset\Omega$ となるものが存在する。$i=1,...,n$ について \begin{align*} \mu\rho|D_iu(y)|&=\left|\int_0^{\mu\rho} D_iu(y+se_i)ds-\int_0^{\mu\rho}(D_iu(y+se_i)-D_iu(y))ds\right|\\ &\le|u(y+\mu\rho e_i)-u(y)|+\int_0^{\mu\rho}|D_iu(y+se_i)-D_iu(y)|ds\\ &\le 2|u|_{0;\Omega}+\int_0^{\mu\rho}[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}s^\alpha ds\\ &\le 2|u|_{0;\Omega}+\frac{1}{1+\alpha}(\mu\rho)^{1+\alpha}[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}. \end{align*} また $$|D_iu(x)-D_iu(y)|\le [D_iu]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha\le\rho^\alpha[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}$$ よって $$|D_iu(y)|\le \rho^\alpha[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}+\frac{1}{\mu\rho}\left(2|u|_{0;\Omega}+\frac{1}{1+\alpha}(\mu\rho)^{1+\alpha}[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}\right)\le C(\rho^{-1}|u|_{0;\Omega}+\rho^\alpha[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}).$$ 従って $$|D_iu|_{0;\Omega}\le C(\rho^{-1}|u|_{0;\Omega}+\sigma^\alpha \rho^\alpha[D_iu]_{0,\alpha;\Omega})$$ で $i=1,...,n$ について加えれば $$[u]_{1;\Omega}\le C(\rho^{-1}|u|_{0;\Omega}+\sigma^\alpha \rho^\alpha[D_iu]_{0,\alpha;\Omega}).$$ ここで $$\begin{cases} \rho\to +0&\colon |u|_{0;\Omega}=0\\ \rho=\left(\frac{|u|_{0;\Omega}}{[u]_{1,\alpha;\Omega}}\right)^{\frac{1}{1+\alpha}}&\colon 0\lt|u|_{0;\Omega}\lt (\lambda R)^{1+\alpha}[u]_{1,\alpha;\Omega}\\ \rho=(\lambda R)&\colon|u|_{0;\Omega}\ge (\lambda R)^{1+\alpha}[u]_{1,\alpha;\Omega} \end{cases}$$ とする。$|u|_{0;\Omega}\lt (\lambda R)^{1+\alpha}[u]_{1,\alpha;\Omega}$ の場合は $$[u]_{1;\Omega}\le C|u|_{0,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha}{1+\alpha}[u]_{1,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha}{1+\alpha}$$ で、$|u|_{0;\Omega}\ge (\lambda R)^{1+\alpha}[u]_{1,\alpha;\Omega}$ の場合は $$[u]_{1;\Omega}\le C((\lambda R)^{-1}|u|_{0;\Omega}+(\lambda R)^\alpha[u]_{1,\alpha;\Omega})\le C(\lambda R)^{-1}|u|_{0;\Omega}$$ であるから $$R[u]_{1;\Omega}\le C(|u|_{0,\Omega}+R|u|_{0,\alpha;\Omega}^{1-\tau}[u]_{1,\alpha;\Omega}^\tau),\tau=\frac{1}{1+\alpha}.$$

ある $k\ge 1$ について主張が成り立ったとし、$k'=k+1$、$\alpha\in(0,1]$、$\alpha'=0$、$u\in C^{k+1,\alpha}(\Ombar)$ とする。

$|\gamma|=k+1$ として $\gamma=\gamma'+e_i$ とすると $k=k'=1$、$\alpha\in(0,1]$、$\alpha'=0$ の場合より \begin{align*} R^{k+1}|D^\gamma u|_{0;\Omega}&\le R^{k+1}[D^{\gamma'} u]_{1;\Omega}\\ &\le C\left(R^k|D^{\gamma'} u|_{0,\Omega}+R^{k+1}|D^{\gamma'} u|_{0,\Omega}^\frac{\alpha}{1+\alpha}[D^\gamma u]_{1,\alpha;\Omega}^\frac{1}{1+\alpha}\right)\\ &\le C\left(R^k[u]_{k,\Omega}+R^{k+1}[u]_{k,\Omega}^\frac{\alpha}{1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{1}{1+\alpha}\right) \end{align*} であるから $$R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}\le C\left(R^k[u]_{k,\Omega}+R^{k+1}[u]_{k,\Omega}^\frac{\alpha}{1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{1}{1+\alpha}\right).$$ 一方仮定より $$R^k[u]_{k;\Omega}\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^k|u|_{0;\Omega}^\frac{1}{k+1}[u]_{k,1;\Omega}^\frac{k}{k+1}\right)\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^k|u|_{0;\Omega}^\frac{1}{k+1}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k}{k+1}\right).$$ 従って $\varepsilon\gt 0$ とすると \begin{align*} R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}&\le C\left(\left(|u|_{0,\Omega}+R^k|u|_{0;\Omega}^\frac{1}{k+1}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k}{k+1}\right)+R^{k+1-\frac{k\alpha}{1+\alpha}}\left(|u|_{0;\Omega}+R^k|u|_{0;\Omega}^\frac{1}{k+1}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k}{k+1}\right)^\frac{\alpha}{1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{1}{1+\alpha}\right)\\ &\le C\left(|u|_{0,\Omega}+R^k|u|_{0;\Omega}^\frac{1}{k+1}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k}{k+1}+R^\frac{k+1+\alpha}{1+\alpha}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{1}{1+\alpha}+R^{k+1}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{(k+1)(1+\alpha)}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k\alpha}{(k+1)(1+\alpha)}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{1}{1+\alpha}\right)\\ &\le C\left(|u|_{0,\Omega}+\left(C_\varepsilon|u|_{0;\Omega}+\varepsilon R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}\right)+\left(|u|_{0;\Omega}+|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{k+1+\alpha}\left(R^{k+1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}\right)^\frac{k+1}{k+1+\alpha}\right)+\left(C_\varepsilon\left(R^{k+1}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{k+1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{k+1}{k+1+\alpha}\right)+\varepsilon R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}\right)\right)\\ &\le C_\varepsilon\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k+1}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{k+1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{k+1}{k+1+\alpha}\right)+C\varepsilon R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}. \end{align*} ここでYoung の不等式と補題 52を用いた。

$\varepsilon=\frac{1}{2C}$ とすれば $$R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k+1}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{k+1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{k+1}{k+1+\alpha}\right)+\frac{1}{2}R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}$$ となり $R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k+1}|u|_{0;\Omega}^{1-\tau}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\tau\right),\tau=\frac{k+1}{k+1+\alpha}$ を得る。

  • $k=k'\ge 1$、$0\lt\alpha'\lt\alpha\le 1$ の場合を示す。命題 51より $|\gamma|=k$ とすると

$$[D^\gamma u]_{0,\alpha';\Omega}\le C|D^\gamma u|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}\le C[u]_{k;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[u]_{k,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}$$ であるから $k=k'\ge 1$、$\alpha'=0$ の場合とあわせて \begin{align*} R^{k+\alpha'}[u]_{k,\alpha';\Omega}&\le CR^{k+\alpha'}[u]_{k;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[u]_{k,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}\\ &\le CR^{k+\alpha'-k(1-\frac{\alpha'}{\alpha})}\left(|u|_{0;\Omega}+R^k|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}^\frac{k}{k+\alpha}\right)^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[u]_{k,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}\\ &\le CR^{\alpha'+\frac{k\alpha'}{\alpha}}\left(|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[u]_{k,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}+R^{k-\frac{k\alpha'}{\alpha}}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha-\alpha'}{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}^{\frac{k}{k+\alpha}\left(1-\frac{\alpha'}{\alpha}\right)+\frac{\alpha'}{\alpha}}\right)\\ &\le C\left(|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}\left(R^{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}\right)^\frac{\alpha'}{\alpha}+R^{k+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha-\alpha'}{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}^{\frac{k+\alpha'}{k+\alpha}}\right)\\ &\le C\left(\left(|u|_{0;\Omega}+|u|_{0;\Omega}^{\frac{\alpha-\alpha'}{k+\alpha}}\left(R^{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}\right)^\frac{k+\alpha'}{k+\alpha}\right)+R^{k+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha-\alpha'}{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}^{\frac{k+\alpha'}{k+\alpha}}\right)\\ &\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha-\alpha'}{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;\Omega}^{\frac{k+\alpha'}{k+\alpha}}\right). \end{align*}

  • 一般の場合を、$k'$をfixして $k$ についての帰納法により示す。$\alpha'=1$ のときは $k\ge k'+1$ で $[u]_{k',1;\Omega}\le C[u]_{k'+1;\Omega}$ であるから $k',\alpha'$ を $k'+1,0$ にとりかえることができる。このことから $\alpha'\in[0,1)$ としてよい。

$k=k'$ の場合は既に示した。 ある $k\ge k'$ について主張が成り立ったとし、$u\in C^{k+1,\alpha}(\Ombar)$ とする。$k'+\alpha'\lt k+1$ であるから仮定より $$R^{k'+\alpha'}[u]_{k',\alpha';\Omega}\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k'+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1}}[u]_{k,1;\Omega}^\frac{k'+\alpha'}{k+1}\right)\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k'+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1}}[u]_{k,1;\Omega}^\frac{k'+\alpha'}{k+1}\right)\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k'+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1}}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k'+\alpha'}{k+1}\right).$$ $\alpha=0$ の場合はこれで示された。$\alpha\in(0,1]$ の場合は $k=k'$、$\alpha'=0$ の場合より \begin{align*} R^{k'+\alpha'}[u]_{k',\alpha';\Omega}&\le C\left(|u|_{0;\Omega}+|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1}}\left(R^{k+1}[u]_{k+1;\Omega}^\frac{k'+\alpha'}{k+1}\right)\right)\\ &\le C\left(|u|_{0;\Omega}+|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1}}\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k+1}|u|_{0;\Omega}^\frac{\alpha}{k+1+\alpha}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{k+1}{k+1+\alpha}\right)^\frac{k'+\alpha'}{k+1}\right)\\ &\le C\left(|u|_{0;\Omega}+\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k'+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1}+\frac{\alpha(k'+\alpha')}{(k+1+\alpha)(k+1)}}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{k'+\alpha'}{k+1+\alpha}\right)\right)\\ &\le C\left(|u|_{0;\Omega}+R^{k'+\alpha'}|u|_{0;\Omega}^{1-\frac{k'+\alpha'}{k+1+\alpha}}[u]_{k+1,\alpha;\Omega}^\frac{k'+\alpha'}{k+1+\alpha}\right) \end{align*} を得る。

$|u|_{k',\alpha';\Omega}\le C_\varepsilon|u|_{0;\Omega}+\varepsilon[u]_{k,\alpha;\Omega}$ はこれにYoungの不等式を用いれば得られる。

注意

定理 40定理 41よりとくに $\Omega$ が有界 $C^{0,1}$ 領域であれば十分である。

$\lambda$ は相似変換について不変である。すなわち $\Omega$ と $\Omega'$ が相似(たとえば両方ともに球など)の場合は $\Omega,\Omega'$ における補間不等式の定数は共通にとれる。

定理 54 (内部セミノルムの補間不等式)

$\Omega$ と相対開集合 $T\subsetneq\Omega$ は(\ref{mugeod})と $$ \begin{split} &\mu_0\in(0,1)\ と\ \nu\in(0,1)\ が存在し、\\ &x\in\Omega 、\rho\in(0,\mu_0d_x]\ について\ y\in\Omega\ が存在して\ |x-y|\le \rho\ 、B_{\nu\rho}(y)\subset\Omega \end{split} \tag{$\dagger^{\prime\prime}_*$}\label{nunbdball}$$ をみたすとする。$k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$、$0\lt k'+\alpha'\lt k+\alpha$、$\sigma\in\R$ とする。$u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$ について $$[u]^{(\sigma)}_{k',\alpha';\OmT}\le C_{k,k',\alpha,\alpha',\mu,L,\mu_0,\nu}(|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}+{|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}^{1-\tau}{[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}}^\tau).$$ ここで$\tau\colon=\frac{k'+\alpha'}{k+\alpha}$。とくに $$|u|^{(\sigma)}_{k',\alpha';\OmT}\le C_{k,k',\alpha,\alpha',\sigma,\Omega,T,\varepsilon}|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}+\varepsilon[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}.$$

Proof.

$k=0$ の場合は命題 51で既に示した。

$k=k'$、$\alpha\in(0,1]$、$\alpha'=0$ の場合を示せば一般の場合は定理 53と同様の帰納法により示される。

$|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT},[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}$ のいずれかが $\infty$ の場合は明らかであるから $|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT},[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\lt\infty$ としてよい。また必要であれば $\nu$ を小さくとり直して $\nu\mu_0(1-\mu_0)^{-1}\lt 1$ としてよい。

$x\in\Omega,|\gamma|\le k$ とする。$\rho\in(0,\mu_0d_x]$ として(\ref{nunbdball})の $y$ をとると定理 53 と注意より $$|D^\gamma u(y)|\le [u]_{k;B_{\nu\rho}(y)}\le C(2\nu\rho)^{-k}(|u|_{0;B_{\nu\rho}(y)}+(2\nu\rho)^{k+\alpha}[u]_{k,\alpha;B_{\nu\rho}(y)}).$$ また $|d_x-d_y|\le|x-y|\le\mu_0d_x$ より $$(1-\mu_0)d_x\le d_y\le(1+\mu_0)d_x$$ であるから定義 42のように $d_{xy}$ を定めると $$|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(y)|\le d_{xy}^{-(k+\alpha+\sigma)}[D^\gamma u]^{(k+\sigma)}_{0,\alpha;\OmT}|x-y|^\alpha\le C\rho^\alpha d_x^{-(k+\alpha+\sigma)}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}.$$ また $$\rho\lt\mu_0d_x\lt\mu_0(1-\mu_0)^{-1}d_y.$$ よって \begin{align*} |D^\gamma u(x)|&\le C(\rho^\alpha d_{xy}^{-(k+\alpha+\sigma)}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}+\rho^{-k}|u|_{0;B_{\nu\rho}(y)}+\rho^\alpha[u]_{k,\alpha;B_{\nu\rho}(y)})\\ &\le C(\rho^\alpha d_x^{-(k+\alpha+\sigma)}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}+\rho^{-k}|u|_{0;B_{\nu\mu_0(1-\mu_0)^{-1}d_y}(y)}+\rho^\alpha[u]_{k,\alpha;B_{\nu\mu_0(1-\mu_0)^{-1}d_y}(y)}). \end{align*} 定理 45より \begin{align*} d_x^{k+\sigma}|D^\gamma u(x)|&\le Cd_x^{k+\sigma}(\rho^\alpha d_x^{-(k+\alpha+\sigma)}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}+\rho^{-k} d_y^{-\sigma}|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}+\rho^\alpha d_y^{-(k+\alpha+\sigma)}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT})\\ &\le C\left(\left(\frac{\rho}{d_x}\right)^{-k}|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}+\left(\frac{\rho}{d_x}\right)^\alpha [u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\right). \end{align*} ここで $$\begin{cases} \rho\to +0&\colon |u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}=0\\ \rho=\left(\frac{|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}{[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}}\right)^\frac{1}{k+\alpha}d_x&\colon 0\lt|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}\lt\mu_0^{k+\alpha}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\\ \rho=\mu_0 d_x&\colon |u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}\ge\mu_0^{k+\alpha}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT} \end{cases}$$ とすると $|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}\lt\mu_0^{k+\alpha}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}$ の場合は $$d_x^{k+\sigma}|D^\gamma u(x)|\le {C|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}^\frac{\alpha}{k+\alpha}{[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}}^\frac{k}{k+\alpha}$$ で、$|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}\ge\mu_0^{k+\alpha}[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}$ の場合は $$d_x^{k+\sigma}|D^\gamma u(x)|\le C(|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}+[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT})\le C|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}$$ であるから $$d_x^{k+\sigma}|D^\gamma u(x)|\le C(|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}+{|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}^\frac{\alpha}{k+\alpha}{[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}}^\frac{k}{k+\alpha}).$$ これより $$[u]^{(\sigma)}_{k;\OmT}\le C(|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}+{|u|^{(\sigma)}_{0;\OmT}}^{1-\tau}{[u]^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}}^\tau),\tau=\frac{k}{k+\alpha}$$ が従う。

注意

$T=\emptyset$ の場合と $\Omega\subset\Rnp$、$T\subset\pRnp$ の場合は(\ref{nunbdball})がみたされる。

($T=\emptyset$ の場合は $x\in\Omega$ について $y=x$ ととればよい。$\Omega\subset\Rnp,T\subset\pRnp$ の場合は $x\in\Omega,\rho\in(0,\frac{1}{2}d_x)$ について $y=x+\rho e_n$ とすれば$\dist(y,\pOm\backslash T)\ge d_x-\rho\gt \rho,d_y\ge\dist(y,\pRnp)\ge\rho$ となり $B_{\frac{1}{2}\rho}(y)\subset\Omega$ となる。)

Hölder空間の完備性とコンパクト埋め込み

補題 55 (Hölderセミノルムの下半連続性)

$\alpha\in[0,1]$ とする。$\{f_m\}_{m=1}^\infty$ は $f_m\colon\Omega\to K$ からなる列である $f$ に $\Omega$ 上各点で収束しているとする。このとき $$[f]_{0,\alpha;\Omega}\le\liminf_{m\to\infty}[f_m]_{0,\alpha;\Omega}.$$ とくに $\alpha\in(0,1]$ のとき $f_m\in C^{0,\alpha}(\Ombar),\sup_m [f_m]_{0,\alpha;\Omega}\lt\infty$ であれば $f\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$。

Proof.

$\alpha=0$ のときは $x\in\Omega$ について $$|f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_m(x)|\le\liminf_{m\to\infty}|f_m|_{0;\Omega}$$ より $|f|_{0;\Omega}\le\liminf_{m\to\infty}|f_m|_{0;\Omega}$。

$\alpha\in(0,1]$ のときは $x,y\in\Omega$ について $$|f(x)-f(y)|=\lim_{m\to\infty}|f_m(x)-f_m(y)|\le\liminf_{m\to\infty}[f_m]_{0,\alpha;\Omega}|x-y|^\alpha$$ より $[f]_{0,\alpha;\Omega}\le\liminf_{m\to\infty}[f_m]_{0,\alpha;\Omega}$。

補題 56 ($C^k(\Ombar)$ の完備性)

$\Omega$ は有界であるとする。$k\in\Zz$ について、$C^k(\Ombar)$ はノルム $|\cdot|_{k;\Omega}$ について完備である。

Proof.

$k=0$ の場合を示す。$\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset C(\Ombar)$ をCauchy列とすると $$\limsup_{l,m\to\infty}\sup_{x\in\Ombar}|f_l(x)-f_m(x)|=\limsup_{l,m\to\infty}|f_l-f_m|_{0;\Omega}=0$$ であるから距離空間の位相の基本的性質の命題8.5より $f_m$ はある $f\colon\Ombar\to K$ に一様収束する。$f_m$ は $\Ombar$ 上で連続であるから $f\in C(\Ombar)$ であり、かつ $|f_m-f|_{0;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので、$C(\Ombar)$ は完備である。

一般の $k$ について示す。$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^k(\Ombar)$ をCauchy列とすると $|\gamma|\le k$ について $\{D^\gamma u_m\}_{m=1}^\infty$ は $C(\Ombar)$ におけるCauchy列となるので $$|D^\gamma u_m-v_\gamma|_{0;\Omega}\to 0\quad(m\to\infty)$$ なる $v_\gamma\in C(\Ombar)$ が存在する。

$|\gamma|\le k-1$ と $i=1,...,n$ について $D_iv_\gamma=v_{\gamma+e_i}$ を示す。$x\in\Omega$、$m\in\Zp$ と十分小さい $r\gt 0$ について $$D^\gamma u_m(x+te_i)-D^\gamma u_m(x+se_i)=\int_s^t D_iD^\gamma u_m(x+\sigma e_i)d\sigma\quad(-r\gt s\gt t\gt r)$$ で $|D_iD^\gamma u_m-v_{\gamma+e_i}|\to 0\ (m\to\infty)$ に注意して $m\to\infty$ とすると $$v_\gamma(x+te_i)-v_\gamma(x+se_i)=\int_s^t v_{\gamma+e_i}(x+\sigma e_i)d\sigma.$$ よって $D^iv_\gamma=v_{\gamma+e_i}$ が成り立つ。

これより $u\colon=v_0\in C^k(\Ombar)$、$D^\gamma u=v_\gamma$ であり $$|u_m-u|_{k;\Omega}\le\sum_{m\to\infty}|D^\gamma u_m-v_\gamma|_{0;\Omega}\to 0\quad(m\to\infty).$$ よって $C^k(\Ombar)$ は完備である。

定理 57 ($C^{k,\alpha}(\Ombar)$ の完備性)

$\Omega$ は有界であるとする。$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$ について $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ はノルム $|\cdot|_{k,\alpha;\Omega}$ について完備である。

Proof.

$\alpha=0$ の場合は既に示した。以下 $\alpha\in(0,1]$ とする。

$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^{k,\alpha}(\Ombar)$ をCauchy列とすると $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は $C^k(\Ombar)$ においてもCauchy列であるから、$|u_m-u|_{k;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ なる $u\in C^k(\Ombar)$ が存在する。

$|\gamma|=k$ とする。$[D^\gamma u_m]_{0,\alpha;\Omega}\le |u|_{k,\alpha;\Omega}$ より $[D^\gamma u_m]_{0,\alpha;\Omega}$ は有界であるから補題 55より $D^\gamma u\in C^{0,\alpha}(\Ombar)$。また $m\in\Zp$ について $D^\gamma u_m-D^\gamma u_l$ は $l\to\infty$ で $D^\gamma u_m-D^\gamma u$ に $\Omega$ 上各点で収束するので補題 55より $$[D^\gamma u_m-D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}\le\liminf_{l\to\infty}[D^\gamma u_m-D^\gamma u_l]_{0,\alpha;\Omega}\le\sup_{l\ge m}[D^\gamma u_m-D^\gamma u_l]_{0,\alpha;\Omega}\to 0\quad(m\to\infty).$$ よって $u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ で $$|u_m-u|_{k,\alpha;\Omega}=|u_m-u|_{k;\Omega}+\sum_{|\gamma|=k}[D^\gamma u_m-D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}\to 0\quad(m\to\infty)$$ となり $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ は完備である。

系 58 ($C^{k,\alpha}(\pOm)$ の完備性)

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$k+\alpha\ge 1$ とし、$\Omega$ を有界な $C^{k,\alpha}$ 領域とする。このとき $C^{k,\alpha}(\pOm)$ はノルム $|\cdot|_{k,\alpha;\pOm}$ について完備である。

Proof.

$u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ とすると各 $\xi\in\pOm$ について $|u(\xi)|\le|u|_{0;\Omega}\le |u|_{k,\alpha;\Omega}$ であるから $u\mapsto u(\xi)$ は $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ において連続である。よって $E\colon=\{u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)\colon u=0\on\pOm\}=\bigcap_{\xi\in\pOm}\{u\in C^{k,\alpha}(\Ombar)\colon u(\xi)=0\}$ は $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ の閉部分空間である。$C^{k,\alpha}(\pOm)$ は $\varphi\mapsto[v],v=\varphi\on\pOm$ によって $C^{k,\alpha}(\Ombar)/E$ と等長であり($v,w\in C^{k,\alpha}(\Ombar)$ について $v-w\in E\iff v=w\on\pOm$ となることからこの写像およびその逆がwell-definedであることに注意。)、位相線形空間の命題2.3より $C^{k,\alpha}(\Ombar)/E$ は完備であるから $C^{k,\alpha}(\pOm)$ も完備である。

定理 59

$T\subsetneq\pOm$ を相対開集合とする。$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\in\R$ について $$C^{k,\alpha}_{(\sigma)}(\OmT)\colon=\{u\in C^{k,\alpha}(\OmT)\colon|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\lt\infty\}$$ とすると $C^{k,\alpha}_{(\sigma)}(\OmT)$ はノルム $|\cdot|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}$ について完備である。

Proof.

$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^{k,\alpha}_{(\sigma)}(\OmT)$ をCauchy列とする。定理 45 より $x\in\Omega$ について $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は $C^{k,\alpha}(\overline{B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega})$ におけるCauchy列であるから、定理 57より $C^{k,\alpha}(\overline{B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega})$ で収束する。よって、$u\colon \Omega\to K$ が存在し、$x\in\Omega$ について $u\in C^{k,\alpha}(\overline{B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega})$、$|u_m-u|_{k,\alpha;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。

$x\in\Omega$ について $u\in C^{k,\alpha}(\overline{B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega})$ より $u\in C^{k,\alpha}(\OmT)$。また $x\in\Omega$ について定理 57定理 45より \begin{align*} |u|'_{k,\alpha;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega}&\le C\left(\sum_{|\gamma|\le k}d_x^{|\gamma|+\sigma}|u|_{0;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega}+\sum_{|\gamma|=k}d_x^{k+\alpha+\sigma}[u]_{0,\alpha;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega}\right)\\ &\le C\liminf_{m\to\infty}\left(\sum_{|\gamma|\le k}d_x^{|\gamma|+\sigma}|u_m|_{0;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega}+\sum_{|\gamma|=k}d_x^{k+\alpha+\sigma}[u_m]_{0,\alpha;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)\cap\Omega}\right)\\ &\le C\liminf_{m\to\infty}|u_m|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}. \end{align*} よって $$|u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\le C\liminf_{m\to\infty}|u_m|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\lt\infty$$ となり $u\in C^{k,\alpha}_{(\sigma)}(\OmT)$。またこの評価を $u_m-u,m\in\Zp$ に用いると $$|u_m-u|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\le C\liminf_{l\to\infty}|u_m-u_l|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\le C\sup_{l\ge m}|u_m-u_l|^{(\sigma)}_{k,\alpha;\OmT}\to 0\quad (m\to\infty).$$ よって $C^{k,\alpha}_{(\sigma)}(\OmT)$ は完備である。

命題 60 ($C^{0,\alpha}(\Ombar)$ のコンパクト埋め込み)

$\Omega$ は有界であるとし、$0\le\alpha'\lt\alpha\le 1$ とする。このとき包含 $C^{0,\alpha}(\Ombar)\subset C^{0,\alpha'}(\Ombar)$ はコンパクトである。すなわち、$\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ が $\sup_m |f_m|_{0,\alpha;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると $\{f_m\}_{m=1}^\infty$ は $C^{0,\alpha'}(\Ombar)$ で収束する部分列をもつ。

Proof.

$\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ が $M=\sup_m |f_m|_{0,\alpha;\Omega}\lt\infty$ をみたすとする。$x,y\in\Ombar$ と $m\in\Zp$ について $$|f_m(x)-f_m(y)|\le M|x-y|^\alpha$$ であるからAscoli-Arzelàの定理(コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理の定理1.3.4)より $\{f_m\}_{m=1}^\infty$ は $\Ombar$ 上である $f\in C(\Ombar)$ に一様収束する部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ をもつ。$\alpha'=0$ の場合はこれより従う。

$\alpha'\neq 0$ の場合は 補題 55より $f\in C^{0,\alpha}(\Ombar),[f]_{0,\alpha;\Omega}\le M$ で、命題 51より \begin{align*} |f_m-f|_{0,\alpha';\Omega}&\le|f_m-f|_{0;\Omega}+C|f_m-f|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}[f_m-f]_{0,\alpha;\Omega}^\frac{\alpha'}{\alpha}\\ &\le|f_m-f|_{0;\Omega}+C([f_m]_{0,\alpha;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega})^\frac{\alpha'}{\alpha}|f_m-f|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}\\ &\le|f_m-f|_{0;\Omega}+C(2M)^\frac{\alpha'}{\alpha}|f_m-f|_{0;\Omega}^{1-\frac{\alpha'}{\alpha}}\\ &\to 0(m\to\infty) \end{align*}

となる。

定理 61 ($C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のコンパクト埋め込み)

$\Omega$ は有界かつ(\ref{geod})をみたすとする。$k,k'\in\Zz$、$\alpha,\alpha'\in[0,1]$、$k'+\alpha'\lt k+\alpha$ とすると包含 $C^{k,\alpha}(\Ombar)\subset C^{k',\alpha'}(\Ombar)$ はコンパクト。

Proof.

$\alpha'\neq 1,\alpha\neq 0$ の場合を示す。 $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ を $C^{k,\alpha}(\Ombar)$ における有界列とする。このとき $k'\le k$ より、$|\gamma|\le k'-1$ について $\sup_m |D^\gamma u_m|_{0,1;\Omega}\le C\sup_m |D^\gamma u_m|_{1;\Omega}\lt\infty$ で、$|\gamma|=k'$ について $\sup_m |D^\gamma u_m|_{0,\beta;\Omega}\lt\infty$。ここで $$\beta= \begin{cases} 1&\colon k'\le k-1\\ \alpha&\colon k'=k \end{cases}.$$ $\alpha'\lt\beta$ と 命題 60より $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は $|\gamma|\le k'-1$ について $D^\gamma u_{m_l}$ が $C(\Ombar)$ で収束し、$|\gamma|=k'$ について $D^\gamma u_{m_l}$ が $C^{0,\alpha'}(\Ombar)$ で収束する部分列 $\{u_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ をもち、 $$|u_{m_j}-u_{m_l}|_{k',\alpha';\Omega}=\sum_{|\gamma|\le k'-1}|D^\gamma u_{m_j}-D^\gamma u_{m_l}|_{0;\Omega}+\sum_{|\gamma|=k'}|D^\gamma u_{m_j}-D^\gamma u_{m_l}|_{0,\alpha';\Omega}\to 0\quad(j,l\to\infty)$$ となる。定理 59より $\{u_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ は $C^{k',\alpha'}(\Ombar)$ で収束する。

$\alpha'=1$ の場合は $k'+1\lt k+\alpha$ で、包含 $C^{k'+1}(\Ombar)\subset C^{k',1}(\Ombar)$ が連続であるから $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の $C^{k'+1}(\Ombar)$ で収束する部分列をとれば $C^{k'+1}(\Ombar)$ でも収束する。また、$\alpha=0$ の場合は $k'+\alpha\lt k$ で、包含 $C^k(\Ombar)\subset C^{k-1,1}(\Ombar)$ が連続であるから $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は $C^{k-1,1}(\Ombar)$ でも有界であり $C^{k',\alpha'}(\Ombar)$ で収束する部分列をもつ。

注意

以下の関数解析の補題から、(\ref{geod})のみをみたす $\Omega$ についても弱い補間不等式 $|u|_{k',\alpha';\Omega}\le C_\varepsilon|u|_{0;\Omega}+\varepsilon[u]_{k,\alpha;\Omega}$ が成り立つことが示される:

補題 (J.-L.Lions)

$X\subset Y\subset Z$ はノルム $||\cdot||_X$、$||\cdot||_Y$、$||\cdot||_Z$ をもつノルム空間で、包含 $X\subset Y$ はコンパクト、$Y\subset Z$ は連続であるとする。このとき $u\in X$、$\varepsilon\gt 0$ について $||u||_Y\le\varepsilon||u||_X+C_\varepsilon||u||_Z$。

Proof.

主張が成り立たなかったとする。このとき $\varepsilon\gt 0$ が存在し、 $$||u_m||_X=1,\frac{||u_m||_Y-\varepsilon}{||u_m||_Z}\to+\infty\quad (m\to\infty)$$ をみたす $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset X$ が存在する。また包含 $X\subset Y$ はコンパクトより部分列に移って $u_m$ はある $u\in Y$ に $Y$ のノルムで収束するとしてよい。包含 $Y\subset Z$ は連続より$u_m$ は $Z$ のノルムでも $u$ に収束する。一方 $u_m$ は $Y$ における収束列であるから $||u_m||_Y-\varepsilon$ は $m$ について有界。 $u_m$ のとりかたより $||u_m||_Z\to 0\ (m\to\infty)$。従って $u=0$ となり $||u_m||_Y-\varepsilon\to-\varepsilon\ (m\to\infty)$ となるが、これは $u_m$ のとりかたに矛盾。

局所積分による特徴づけ

最後に以下の局所積分によるHölder連続性の特徴づけを与える:

定理 62

$\alpha\in(0,1]$ とする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$ について以下は同値:

  • $f\in C^{0,\alpha}(\Omega)$。[8]
  • 開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ について $M_{\Omega'}\ge 0$ が存在して任意の球 $B=B_r\subset\Omega'$ について

$$\int_B |f-f_B|\le M_{\Omega'}r^{n+\alpha}.\tag{*}\label{intgchr}$$ ここで $$f_B\colon=\frac{1}{|B|}\int_B f$$ は $f$ の $B$ 上での平均値である。また(\ref{intgchr})が成り立つとき $\Omega'\rcpt\Omega^{\prime\prime}\rcpt\Omega$ なる開集合 $\Omega'$、$\Omega^{\prime\prime}$ について $$|f|_{0,\alpha;\Omega'}\le C_{n,\alpha,d}\left(M_{\Omega^{\prime\prime}}+\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|\right),d\colon=\dist(\Omega',\partial\Omega^{\prime\prime}).$$

Proof.

$f\in C^{0,\alpha}(\Omega)$ として $\Omega'\rcpt\Omega$、$B=B_r\subset\Omega'$ とすると $x\in B$ について $B\subset B_{2r}(x)$ で $$|f(x)-f_B|=\frac{1}{|B|}\left|\int_B(f(x)-f(y))dy\right|\le Cr^{-n}\int_B|f(x)-f(y)|dy\le Cr^{-n}\int_{B_{2r}(x)} [f]_{0,\alpha;\Omega'}|x-y|^\alpha dy= C[f]_{0,\alpha;\Omega'}r^\alpha$$ となり $$\int_B |f-f_B|\le C[f]_{0,\alpha;\Omega'}r^{n+\alpha}.$$ よって $M_{\Omega'}=C[f]_{0,\alpha;\Omega'}$ として(*)がみたされる。

逆に $f\in L^1_{\loc}(\Omega)$ が(\ref{intgchr})をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、球 $B=B_r$、$B'=B_{r'}\subset\Omega'$ が $B\cap B'\neq\emptyset$ をみたすとすると \begin{align*} |f_B-f_{B'}|&\le \frac{1}{|B\cap B'|}\int_{B\cap B'}|f_B-f_{B'}|\\ &\le\frac{1}{|B\cap B'|}\int_{B\cap B'}(|f_B-f|+|f-f_{B'}|)\\ &\le\frac{1}{|B\cap B'|}\left(\int_B|f-f_B|+\int_{B'}|f-f_{B'}|\right)\\ &\le\frac{M_{\Omega'}}{|B\cap B'|}(r^{n+\alpha}+{r'}^{n+\alpha}). \tag{**}\label{ineq}\end{align*} $\Omega\rcpt\Omega^{\prime\prime}\rcpt\Omega$ なる開集合 $\Omega^{\prime\prime}$ をとり $d\colon=\dist(\Omega',\partial\Omega^{\prime\prime})$ とする。$x\in\Omega$ と $0\lt r'\lt r\le d$ について $B=B_r(x)$、$B'=B_{r'}(x)$ として (\ref{ineq}) を使うと $$|f_B-f_{B'}|\le\frac{M_{\Omega^{\prime\prime}}}{|B'|}(r^{n+\alpha}+{r'}^{n+\alpha})\le CM_{\Omega^{\prime\prime}}\left(1+\left(\frac{r}{r'}\right)^n\right){r'}^\alpha.$$ $j\in\Zz$ とし $r=2^{-j}d,r'=2^{-j-1}d$ とすると $$|f_{B_{2^{-j}d}(x)}-f_{B_{2^{-j-1}d}(x)}|\le C(1+2^n)2^{-(j+1)\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}.$$ これより $j,l\in\Zz,j\lt l$ について $$|f_{B_{2^{-j}d}(x)}-f_{B_{2^{-l}d}(x)}|\le C\sum_{m=j}^{l-1}2^{-(m+1)\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}\le C2^{-j\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}.\tag{***}\label{ineq2}$$ これより $f_{B_{2^{-j}d}(x)}$ は $j\to\infty$ とすると $x\in \Omega'$ について一様に $\Omega'$ 上の可測関数 $f^*$ に収束する。また $r\in(0,d]$ についてLebesgueの収束定理を優関数を $\frac{1}{|B_r|}|f|$ として用いることにより $f_{B_r(x)}$ は $x\in\Omega'$ について連続。これより $f^*\in C(\Omega')$。

一方、Lebesgueの微分定理(測度と積分8:Lebesgue測度の基本的性質の定理39.3)より $f_{B_r(x)}\to f(x)\ \ae\ x\in\Omega'\ (r\to +0)$。従って $$f=f^*\in C(\Omega').$$ また $x\in\Omega'$ と $j\in\Zz$ について(\ref{ineq2})より $|f_{B_{2^{-j}d}(x)}-f_{B_{d}(x)}|\le Cd^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}$ で、$|f_{B_{d}(x)}|\le\frac{1}{|B_{d}(x)|}\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|\le Cd^{-n}\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|$ であるから $|f_{B_{2^{-j}d}(x)}|\le C(d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}+d^{-n}\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|)$。$j\to\infty$ とすれば $$f\in L^\infty(\Omega'),|f|_{0;\Omega'}\le C\left(d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}+d^{-n}\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|\right).$$ 一方 $y,z\in\Omega'$、$|y-z|\lt d$ とし $j\in\Zz$ で $2^{-j-1}d\le|y-z|\lt 2^{-j}d$ となるものをとると $w\colon=\frac{y+z}{2}$ について $|y-w|,|z-w|=\frac{1}{2}|y-z|\le 2^{-j-1}d=2^{-j}d-2^{-j-1}d$ であるから $$B_{2^{-j-1}d}(w)\subset B_{2^{-j}d}(y)\cap B_{2^{-j}d}(z).$$ (\ref{ineq})より $$|f_{B_{2^{-j}d}(y)}-f_{B_{2^{-j}d}(z)}|\le\frac{M_{\Omega^{\prime\prime}}}{|B_{2^{-j-1}d}(w)|}((2^{-j}d)^{n+\alpha}+(2^{-j}d)^{n+\alpha})\le C2^{-j(n+\alpha)+n(j+1)}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}=C2^{-j\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}.$$ また(\ref{ineq2})より $$|f_{B_{2^{-j}d}(y)}-f(y)|=\lim_{l\to\infty}|f_{B_{2^{-j}d}(y)}-f_{B_{2^{-l}d}(y)}|\le C2^{-j\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}.$$ 同様に $|f_{B_{2^{-j}d}(z)}-f(z)|\le C2^{-j\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}$。$2^{-j}d\le 2|y-z|$ とあわせて $$|f(y)-f(z)|\le |f(y)-f_{B_{2^{-j}d}(y)}|+|f_{B_{2^{-j}d}(y)}-f_{B_{2^{-j}d}(z)}|+|f_{B_{2^{-j}d}(z)}-f(z)|\le C2^{-j\alpha}d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}\le CM_{\Omega^{\prime\prime}}|y-z|^\alpha.$$ $x\in\Omega',y,z\in B_{\frac{1}{2}d}(x)\cap\Omega'$ とすると $|y-z|\le d$ となるので $|f(y)-f(z)|\le CM_{\Omega^{\prime\prime}}|y-z|^\alpha$ となり $$|f|_{0,\alpha;B_{\frac{1}{2}d}(x)\cap\Omega'}\le C\left(\left(d^\alpha M_{\Omega^{\prime\prime}}+d^{-n}\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|\right)+M_{\Omega^{\prime\prime}}\right)\le C_d\left(M_{\Omega^{\prime\prime}}+\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|\right).$$ 命題 8 より $$f\in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega'}),|f|_{0,\alpha;\Omega'}\le C_d\left(M_{\Omega^{\prime\prime}}+\int_{\Omega^{\prime\prime}}|f|\right).$$ よって $f\in C^{0,\alpha}(\Omega)$ である。

参考文献

  • David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
  • Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations, Second Edition」
  • Lars Hörmander「The Boundary Problems of Physical Geodesy」
  • Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
  • Qing Han,Fanghua Lin「Elliptic Partial Differential Equations」
脚注
  1. $C^k(\Ombar)$ は $\{u\colon\Omega\to K\ \colon\ \Omega\subset D\ なる開集合\ D\ とv\in C^k(D) が存在して v=u\inn\Omega\}$ なる定義が採用されることもあるので他のテキストを読む際は注意が必要である。
  2. 2.0 2.1 位相空間論13:距離空間の位相(1)の定理 $13.27$。「一様連続」を「有界集合上で一様連続」または「各 $x\in X$ の近傍 $U(x)$ が存在し $A\cap U(x)$ 上で一様連続」に置き換えても証明は有効であることに注意。
  3. $\alpha,r$ のみに依存する定数 $C$ が存在してこの不等式が成り立つという意味。なお、何に依存するか表す添字はしばしば省略されるほか、同じ式中であっても $C$ は必要であれば取り換えられることに注意。
  4. $D\subset\R^n$ を開集合とし、$C\subset D$ を有界な相対閉集合とすると、$\dist(C,\R^n\backslash D)\gt 0$ であれば $C$ はコンパクトである。実際、$x\in D$ については $C$ が相対閉より $\dist(x,C)\gt 0$ で、$x\in\R^n\backslash D$ についても仮定より $\dist(x,C)>0$ となるので各 $x\in \R^n\backslash C$ について $\dist(x,C)\gt 0$ となり $C$ は $\R^n$ でも閉となりコンパクトとなる。
  5. "boundary portion"の直訳. 日本語の文献で確認された用語ではない。
  6. $\R$ 値の場合に証明されているが、$\C$ 値の場合も実部と虚部に分けて適用できる。
  7. "(partial) interior (semi)norm"の直訳. 日本語の文献で確認された用語ではない。
  8. 正確には「 $f^*\in C^{0,\alpha}(\Omega)$ で $f^*=f\ \ae$ となるものが存在する」という意味。一般に 可測関数 $f$ について $f^*\in C(\Omega)$ で $f^*=f\ \ae$ となるものは存在すれば一意なので $f$ と $f^*$ を同一視して $f\in C(\Omega)$ と見做す。