Liouvilleの定理

$X$ が閉リーマン面であって、$Y$ が連結なリーマン面であって、$f \colon X \to Y$ なる正則写像があるとする。このとき開写像定理より $Y$ はコンパクトでなければならない。

ここで、$f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ なる定値でない正則写像で、有界なものがあったとする。このとき、$\mathbb{P}^1 \to \mathbb{C}$ なる正則写像へリーマンの拡張定理によって $f$ を拡張可能である。しかし、$\mathbb{C}$ はコンパクトではないため、これは矛盾である。よって、この議論から次の主張が成り立つ。