Krullの交叉定理

同義語：Krull intersection theoremKrullの交差定理

概要

前提知識: Noether環, 加群, イデアル, Jacobson根基, 完備化

すべての精度で零に見える元

イデアル $I$ の冪で環や加群を近似すると、$I^nM$ に属する元は精度 $n$ の商では零に見える。すべての精度で零に見える元が本当に零であるとは限らない。その違いを測るのが $\bigcap_nI^nM$ である。この交叉が零なら、有限精度の観測で元を一意に区別できる。その性質を $I$ 進分離性という。
Krullの交叉定理はNoether環上の有限生成加群について、この見えない部分を制御する。一般のイデアルに対して交叉が必ず零になるとは述べない。まず交叉 $N$ が $IN=N$ を満たし、ある $a\in I$ について $(1-a)N=0$ になることを示す。ここからJacobson根基や整域という追加条件によって零を導く。この順序で理解すると、定理の一般形と局所環でよく使う分離性の形を混同しない。
本記事では、Artin–Reesの補題と有限生成加群の行列式論法を証明とともに述べる。交叉は無限個の部分加群から作るが、Noether条件のおかげで交叉自身は有限生成になる。有限性を確認してから行列式論法を適用する点が重要である。無限生成加群に同じ操作を適用しても結論は保証されない。

一般形と二つの消滅条件

環は単位元をもつ可換環とする。冪の番号に零を含めても $I^0M=M$ なので交叉は変わらない。零環と零加群も許す。定理は AM69 Chapter 10, Theorem 10.17 と Corollaries 10.18–10.20 に対応する。

Krullの交叉定理

$A$ をNoether環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ を任意のイデアルとし、
$$N=\bigcap_{n\ge0}I^nM$$
と置く。このとき以下が成り立つ。

$IN=N$ であり、ある $a\in I$ について $(1-a)N=0$ となる。
$I\subset\operatorname{Jac}(A)$ なら $N=0$ である。
$A$ が整域で $I\ne A$ なら、$M=A$ に対して $\bigcap_nI^n=0$ である。

証明は以下の補題の後に与える。第3項は任意の有限生成加群についてではなく、環自身についての主張である。第1項には $I$ が真のイデアルであるという仮定も、Jacobson根基に含まれるという仮定もない。

第2項には局所Noether環の真のイデアルが含まれる。局所環のJacobson根基は唯一の極大イデアルであり、すべての真のイデアルはそこに含まれるからである。第3項は大域的な整域でも使える。ただし整域上の加群には零因子による作用があり得るので、環の非零元による消去をそのまま加群へ適用することはできない。

Artin–Reesの補題

まず証明で使う有限性を準備する。Noether環上の有限生成加群の部分加群は有限生成である。この事実は有限自由加群の階数に関する帰納法で示せる。階数一では部分加群はイデアルだからNoether条件そのものである。階数 $s$ では第一座標への像が有限生成イデアルとなり、核は階数 $s-1$ の自由加群の部分加群となる。像の生成元の持上げと核の生成元を合わせればよい。一般の有限生成加群については有限自由加群からの全射の逆像に適用する。

多項式環の有限性

Noether環 $R$ に対して、有限変数多項式環 $R[T_1,\ldots,T_s]$ はNoether環である。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ なら空集合で生成されるので有限生成である。以下 $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。選んだ多項式は少なくとも一つあるので、$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

Artin–Reesの必要な形

$R$ をNoether環、$M$ を有限生成 $R$ 加群、$N\subset M$ を部分加群、$\mathfrak a$ をイデアルとする。ある整数 $c\ge0$ が存在し、すべての $n\ge c$ について
$$N\cap\mathfrak a^nM=\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$$
が成り立つ。特に左辺は $\mathfrak a^{n-c}N$ に含まれる。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。 $N=0$ なら $c=0$ として結論は直ちに成立する。以下 $N\ne0$ とし、これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が誘導位相と完備化の比較を可能にする。

この補題で $I$ の生成元はNoether性から有限個選べる。部分加群を全次数分集めたRees加群も有限生成であるため、最大生成次数を一つの定数として取れる。以下ではこの定数を交叉 $N$ に適用する。交叉の定義が無限であることは、交叉が部分加群として有限生成であることを妨げない。

行列式による有限Nakayama

有限生成加群の行列式補題

有限生成 $A$ 加群 $Q$ が $Q=IQ$ を満たすなら、ある $a\in I$ について $(1-a)Q=0$ となる。特に $I\subset\operatorname{Jac}(A)$ なら $Q=0$ である。

$Q$ の生成元を $q_1,\ldots,q_s$ とする。各 $q_i$ は $\sum_jb_{ij}q_j$、$b_{ij}\in I$ と書ける。行列 $E-B$ を生成元の列へ掛けると零になる。余因子行列を掛ければ $\det(E-B)$ はすべての $q_i$ を零化する。この行列式は $I$ を法として $1$ なので $1-a$、$a\in I$ の形である。$I$ がJacobson根基に含まれれば $1-a$ は単元だから $Q=0$ である。$s=0$ はすでに零加群の場合である。

この補題は基底を仮定していない。選んだ元は単に加群の生成元であり、それらの間には関係があってよい。行列等式は生成元の列に対して成立し、余因子行列の恒等式は可換環上の行列に対して成立する。そのため自由加群でない場合にも使用できる。

交叉定理の証明

$N$ は有限生成加群 $M$ の部分加群だから有限生成である。Artin–Reesを $N\subset M$ に適用し、その定数を $c$ とする。$N$ はすべての $I^nM$ に含まれるので
$$N=N\cap I^{c+1}M=I(N\cap I^cM)=IN.$$
行列式補題から $a\in I$ で $(1-a)N=0$ となるものが存在する。これで第1項を得る。
$I$ がJacobson根基に含まれれば $1-a$ は単元なので $N=0$。これが第2項である。$A$ が整域、$I\ne A$、$M=A$ の場合は $a\in I$ より $1-a\ne0$ である。整域の非零元は非零因子だから、$(1-a)N=0$ を消去して $N=0$ を得る。これが第3項である。
$I=0$ なら $I^nM=0$ が $n\ge1$ で成り立つので $N=0$。$I=A$ なら $N=M$、$IN=N$ で、$a=1$ を選べば $(1-a)N=0$ となる。従って一般形は単位イデアルにも正しく適用できる。零加群ではすべての交叉は零である。

位相の分離性と完備化の核

$I$ 進位相は、零の基本近傍を $I^nM$ とする加群の位相である。二つの元の差がある $I^nM$ に属さなければ、精度 $n$ で区別できる。すべての元をこのように区別できることと、交叉が零であることは同値になる。

分離性と自然写像の単射

任意の環 $A$、イデアル $I$、加群 $M$ について、自然な写像
$$M\longrightarrow\varprojlim_nM/I^nM$$
の核は $\bigcap_nI^nM$ である。従ってNoether環上の有限生成加群で $I\subset\operatorname{Jac}(A)$ なら、この自然写像は単射である。

元 $m\in M$ の像が極限で零であることは、すべての商 $M/I^nM$ で像が零であることと同値である。これは $m\in I^nM$ がすべての $n$ で成り立つという条件であり、交叉に属することを意味する。核の計算自体には有限性は不要である。Noether性と有限生成性、Jacobson条件を加えた後で交叉定理を使えば、その核が零となる。

単射と全射は別の性質である。交叉定理は自然写像が全射であるとは述べない。例えば $k[t]_{(t)}$ は $(t)$ 進分離だが、完備化には一般の形式級数があり、元の局所環に属さないものがある。分離性は有限精度の情報が元を区別する条件であり、すべての両立情報が元として存在する完備性とは異なる。

有限加群の部分加群は閉じる

Jacobson条件の下での閉性

$A$ がNoether、$M$ が有限生成、$I\subset\operatorname{Jac}(A)$ なら、任意の部分加群 $L\subset M$ は $I$ 進位相で閉じている。具体的には
$$\bigcap_{n\ge0}(L+I^nM)=L.$$

商 $M/L$ は有限生成である。交叉定理をこの商へ適用すると $\bigcap_nI^n(M/L)=0$ となる。商写像による逆像を取れば表示した等式を得る。
閉包の式も直接確認できる。元 $m$ が $L$ の閉包にあることは、任意の基本近傍 $m+I^nM$ が $L$ と交わることである。これは $m\in L+I^nM$ に等しい。全次数で共通部分を取れば閉包は左辺になるので、等式は閉性を意味する。

この結論は、局所Noether環の有限生成加群について特に便利である。有限生成イデアルの中で近似解を構成したとき、その極限が同じイデアルへ戻るには閉性を使える。ただし元の環が非Noetherである場合や、加群が無限生成である場合に、同じ閉性を無条件に使うことはできない。

整域の場合の範囲

整域で真のイデアルなら環自身の交叉は零になる。加群についても、有限生成かつねじれのない加群なら同じ証明を拡張できる。行列式補題が与える非零元 $1-a$ の作用が単射だからである。ねじれのないという条件がなければ、この消去は成立しない。
具体例として $A=k[t]$、$I=(t)$、$M=A/(t-1)$ を取る。ここで $k$ は体である。$A$ はNoether整域で $I$ は真のイデアルだが、$M$ 上では $t$ は $1$ として作用する。従って $I^nM=M$ がすべての $n$ で成り立ち、交叉は非零の $M$ である。一般形では $a=t$ として $(1-t)M=0$ となるから、定理に反していない。
この例は、真のイデアルと有限生成加群という条件だけでは第2項を代用できないことも示す。$I$ は $A$ のJacobson根基に含まれていない。局所環にすればどんな有限加群にも使えるという結論と、大域的整域の環自身についての結論を区別して適用する必要がある。

真のイデアルだけでは不十分な積環

体 $k$ に対し $A=k\times k$、$I=k\times0$、$M=A$ とする。$A$ はNoether環であり、$I$ は真のイデアルである。しかし $I^2=I$ なので
$$\bigcap_{n\ge1}I^n=I\ne0.$$
この反例は零因子を含む環の大域的な場合である。$\operatorname{Jac}(A)=0$ だからJacobson条件は満たされず、整域でもない。
一般形の零化元を具体的に取ることもできる。$a=(1,0)\in I$ とすると $1-a=(0,1)$ であり、$(1-a)I=0$ となる。交叉定理はこの例でも正確に見えない成分を記述している。イデアルの冪が最初から安定する場合、その安定部分が交叉へ残るのである。
局所化すれば二つの極大イデアルで違う振舞いが見える。$I$ を含む極大イデアルに局所化すると $I$ は零になり、含まない極大イデアルに局所化すると $I$ は単位イデアルになる。このことも、真のイデアルという大域的条件だけでは全局所点で分離性を保証しない理由を示す。

Noether条件を外した整域の反例

体 $k$ と $K=k((t))$ を取り、
$$A=k\llbracket t\rrbracket+uK\llbracket u\rrbracket\subset K\llbracket u\rrbracket$$
とする。定数項だけを $k\llbracket t\rrbracket$ に制限した整域である。定数項が $k\llbracket t\rrbracket$ の単元なら逆元も $A$ に属する。一方、非単元の定数項をもつ元は $t$ で割っても $A$ に属する。従って $A$ は極大イデアル $\mathfrak m=tA$ をもつ局所環である。
すべての $n$ に対して
$$t^nA=t^nk\llbracket t\rrbracket+uK\llbracket u\rrbracket$$
である。定数項がすべての $t^n$ で割れるなら零なので
$$\bigcap_nt^nA=uK\llbracket u\rrbracket\ne0.$$
$I=(t)$ は真のイデアルであり、Jacobson根基であり、環は整域、$M=A$ は一元生成である。それでもNoether条件を外すと分離性は失われる。
Noetherでないことは $(u/t^n)$ の厳密な上昇列から直接分かる。$u/t^n$ は $A$ に属し、$(u/t^n)\subset(u/t^{n+1})$ である。逆包含があれば整域内の消去から $1/t\in A$ が従うが、その定数項は許されない。従って上昇列は停止しない。
この環には $0\subsetneq uK\llbracket u\rrbracket\subsetneq\mathfrak m$ という素鎖がある。$t$ を反転すれば $K\llbracket u\rrbracket$ となり、$t$ を含む素は $A/tA=k$ から極大イデアルだけなので、実際に次元は二である。極大イデアルが一元生成であることは、Noether性や分離性を代用しない。

有限生成加群を外した反例

素数 $p$ を固定し、$A=\mathbb Z_{(p)}$ とする。これは $p$ と互いに素な整数を反転した局所Noether整域で、極大イデアルは $I=pA$ である。非零元は $p$ の非負整数冪と単元の積であり、任意の非零イデアルで最小の $p$ 指数を選べばその元がイデアルを生成する。従ってNoether性も直接確かめられる。加群
$$M=\mathbb Q/\mathbb Z_{(p)}$$
を取る。この加群は $p$ に関するPrüfer群の局所的な表示である。任意の有理数の剰余類は、$p$ の冪の分母をもつ剰余類で表せる。分母の $p$ と互いに素な部分は $A$ の単元だからである。
任意の $q+A\in M$ に対して $q/p+A$ を取れば、その $p$ 倍は $q+A$ である。従って $pM=M$、さらに $p^nM=M$ がすべての $n$ で成り立つ。交叉は $M$ 自身であり、$1/p+A$ が非零なので交叉は零でない。環のNoether性と局所Jacobson条件を残しても、加群の有限生成がなければ交叉は消えない。
$M$ が有限生成でないことも具体的に確認できる。有限個の元には共通の分母 $p^c$ が選べるので、それらが生成する部分加群は $p^c$ で零化される。しかし $1/p^{c+1}+A$ は $p^c$ で零にならない。従ってその有限個の元で $M$ 全体を生成することはできない。
この例は $N=IN$ から $N=0$ を導く行列式補題の有限性の必要性を示す。$N=M$ には $pN=N$ が成り立つが、無限生成なので有限行列を作れない。局所環でのNakayamaを無限生成加群に適用するという誤りは、まさにこの例で否定される。

零端点と単位イデアル

$I=0$ の場合、正の冪は零なので、任意の加群について交叉は零である。この場合にはNoether性も有限生成性も不要である。$M=0$ の場合も同様である。零環上の単位的加群は零加群なので、定理は自動的に満たされる。
$I=A$ の場合には $I^nM=M$ であり、交叉は $M$ となる。非零加群では分離性を主張できない。しかし一般形の $IN=N$ と $(1-a)N=0$ は $a=1$ で成立する。従って単位イデアルを定理全体から排除する必要はなく、零化の系の仮定だけに注意すればよい。
真のイデアルとJacobson根基に含まれるイデアルは一般には違う。局所環では同じ範囲になるが、大域環では前の積環や多項式加群の例で差が現れる。定理を記憶するとき、単に「真のイデアルの冪の交叉は零」と省略すると、大域的な零因子環やねじれ加群で誤った結論を得る。

閉性を使うときの実務

有限生成加群の部分加群が閉じるという系は、元の環と加群で確認する必要がある。例えば有限生成イデアルの元に近似する列があるとして、その各項が同じ有限生成イデアルに属し、差が高い冪へ入るなら、極限の所属を閉性から判定できる。ただし極限が元の加群に存在するかは完備性の問題であり、交叉定理だけでは存在を作れない。
また、次数ごとに異なる部分加群や異なる有限生成容器を使っている場合、一つの固定した有限加群についての閉性を全族へ移すことはできない。Artin–Reesの定数も固定データに対する定数である。交叉の零化と、別々の核の一様な消滅は同じ主張ではない。
一般形の証明は、有限性のため交叉 $N$ にArtin–Reesを適用できることと、$N$ に行列式補題を適用できることを組み合わせたものである。一方、例での非Noether環では交叉が非有限になり、Prüfer加群では加群自体が非有限になる。どちらでも同じ有限行列の段が失われる。仮定がどの証明段を保証しているかを押さえることが、分離性の正しい適用につながる。