四元数射影空間

コンパクト性は $S^{4n+3}$ の連続像であることから、Hausdorff 性は 無限次元射影空間 の定理「位相と胞体の構造」の 2 の証明（関数 $x_i\bar x_j$ で点を分ける）から従う。$(x_j\lambda)(x_i\lambda)^{-1}=x_j\lambda\lambda^{-1}x_i^{-1}=x_jx_i^{-1}$ なので $\psi_i$ は矛盾なく定まり、$\{x\mid x_i\ne0\}$ 上の連続写像から誘導されるので連続である。$U_i$ は開集合である（その逆像は開）。逆写像は $w\mapsto[w_0:\dots:1:\dots:w_n]$（第 $i$ 成分が $1$）で、連続である。座標変換 $\psi_k\circ\psi_i^{-1}$ は、$w_k\ne0$ となる点で $w\mapsto(w_jw_k^{-1})_{j\ne k}$（$w_i:=1$）であり、成分は $\mathbb{R}^4$ の座標の多項式を $|w_k|^2$ で割ったもの（$w_k^{-1}=\bar w_k/|w_k|^2$）なので $C^\infty$ 級である。
$n=1$ のとき、$\mathbb{HP}^1=U_0\sqcup\{[0:1]\}$ で $U_0\cong\mathbb{H}\cong\mathbb{R}^4$ である。$\mathbb{HP}^1$ はコンパクト Hausdorff で $U_0$ は開かつ稠密なので、$\mathbb{HP}^1$ は $\mathbb{R}^4$ の一点コンパクト化であり、$S^4$ と同相である（n次元球面 の命題「Euclid 空間の一点コンパクト化」）。

無限次元射影空間 の定理「位相と胞体の構造」の 3 で $\mathbb{F}=\mathbb{H}$ とすればよい。特性写像は $D^{4n}\ni w\mapsto[w_0:\dots:w_{n-1}:\sqrt{1-|w|^2}\,]$ であり、第 $n$ 成分が $0$ でない点は、右から単位四元数を掛けて第 $n$ 成分を正の実数にする代表がただ 1 つに決まることから、開いた胞体と一対一に対応する。

胞体鎖複体（胞体ホモロジー）は次数 $4k$（$0\le k\le n$）で $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である。隣り合う次数の一方は必ず $0$ なので境界写像はすべて $0$ で、ホモロジーは鎖複体そのものになる（胞体ホモロジー の定理「胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型」）。ホモロジーが自由なので、普遍係数定理により $H^k\cong\operatorname{Hom}(H_k,\mathbb{Z})$ である。Euler 標数は偶数次元の胞体の個数 $n+1$ である。

係数 $\mathbb{Z}$ を省略する。まず $\mathbb{HP}^n$ は向き付け可能である。実際 qps-prop-manifold により $4n$ 次元閉多様体で、連結な $S^{4n+3}$ の像なので連結であり、qps-cor-homology により $H_{4n}(\mathbb{HP}^n)\cong\mathbb{Z}\ne0$ であり、向き付け可能でない連結閉多様体の最上次の整係数ホモロジーは $0$ だからである（Hat02 Theorem 3.26, p. 236）。基本類を $[\mathbb{HP}^n]$ とする。
$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では $\mathbb{HP}^1\cong S^4$ で、$u^2\in H^8=0$ なので主張は成り立つ。$n\ge2$ とし、包含 $i\colon\mathbb{HP}^{n-1}\hookrightarrow\mathbb{HP}^n$ を考える。$\mathbb{HP}^{n-1}$ は $\mathbb{HP}^n$ の $(4n-1)$ 骨格なので $j\le4n-1$ で $H^j(\mathbb{HP}^n,\mathbb{HP}^{n-1})=0$ であり（Hat02 p. 203、Theorem 3.5 の証明）、対の長完全列から $i^*\colon H^j(\mathbb{HP}^n)\to H^j(\mathbb{HP}^{n-1})$ は $j\le4n-2$ で同型である。$4\le4n-2$ なので $i^*u$ は $H^4(\mathbb{HP}^{n-1})$ の生成元であり、$i^*$ は環準同型だから、帰納法の仮定により $k\le n-1$ について $i^*(u^k)=(i^*u)^k$ は $H^{4k}(\mathbb{HP}^{n-1})$ を生成する。$4k\le4n-4$ なので、$u^k$ は $H^{4k}(\mathbb{HP}^n)$ を生成する。
残る $k=n$ を示す。$H^*(\mathbb{HP}^n)$ は捩れをもたないので、Poincaré双対 の命題「整係数のカップ積の対」により、$\langle a,b\rangle:=(a\smile b)([\mathbb{HP}^n])$ で定まる対 $H^4\times H^{4n-4}\to\mathbb{Z}$ はユニモジュラーである。両辺は $u$ と $u^{n-1}$ で生成される階数 $1$ の自由加群なので、$u^n([\mathbb{HP}^n])=\langle u,u^{n-1}\rangle=\pm1$ である。普遍係数定理と $H_{4n}=\mathbb{Z}[\mathbb{HP}^n]$ により $\theta\mapsto\theta([\mathbb{HP}^n])$ は同型 $H^{4n}\to\mathbb{Z}$ なので、$u^n$ は $H^{4n}$ の生成元である。$u^{n+1}\in H^{4n+4}=0$ である。よって $u\mapsto u$ で定まる環準同型 $\mathbb{Z}[u]/(u^{n+1})\to H^*(\mathbb{HP}^n)$ は各次数で同型である。

要点：$\pi$ は胞体を胞体へ写し、$4r$ 次元の開いた胞体どうしを全単射に対応させる。そのため $4r$ 次元の胞体をつぶした球面どうしが同相になり、$H^{4r}$ の引き戻しが同型になる。$\mathbb{F}_3$ 係数の主張は、整数係数のコホモロジーが自由なので還元から従う。

qps-thm-ring により、$H^4(\mathbb{HP}^2;\mathbb{Z})$ の生成元 $u$ の平方は $H^8(\mathbb{HP}^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元である。一方 $X=S^4\vee S^8$ では、カップ積 の命題「一点和のカップ積」により、$a\in H^4(X;\mathbb{Z})$ の平方は $S^4$ と $S^8$ への制限の平方の組 $\bigl((a|_{S^4})^2,(a|_{S^8})^2\bigr)$ に対応し、$H^8(S^4)=0$、$H^4(S^8)=0$ なので $0$ である。次数付き環の同型は $H^4$ の生成元を $H^4$ の生成元に写し、平方を保つので、二つの空間のコホモロジー環は同型でなく、ホモトピー同値でもない。
$h$ が定値写像とホモトピックなら、qps-prop-cw により $\mathbb{HP}^2=S^4\cup_he^8$ は、定値写像で $8$ 胞体を貼った $S^4\vee S^8$ とホモトピー同値になる（貼り付け写像をホモトピーで取り替えてもホモトピー型は変わらない。Hat02 Proposition 0.18, p. 16）。これは前半に反する。

$Y$：$S^6$ は有限 CW 複体で $H^*(S^6;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[z]/(z^2)$、$|z|=6$ は各次数で有限生成自由なので、コホモロジー環 の定理「Künneth の定理（環の形）」と $H^*(\mathbb{HP}^\infty;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[u]$ により $H^*(Y;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[u,z]/(z^2)$ である（$S^6\times\mathbb{HP}^\infty$ は $S^6$ がコンパクトなので CW 複体。Hat02 Theorem A.6, p. 524）。加法的な基底は $u^k$（次数 $4k$）と $zu^k$（次数 $4k+6$）で、$4$ 以上の偶数はちょうど一方の形に書けるので、群は主張のとおりである。$H^6$ は $z$ で生成され、$(mz)^2=m^2z^2=0$ である。
$X$：$\mathbb{CP}^1$ は $\mathbb{CP}^\infty$ の部分複体なので、商写像 $p\colon\mathbb{CP}^\infty\to X$ は $j\ge1$ で同型 $H^j(\mathbb{CP}^\infty,\mathbb{CP}^1)\cong H^j(X)$ を与え、$p^*$ はこれと対の長完全列の写像 $H^j(\mathbb{CP}^\infty,\mathbb{CP}^1)\to H^j(\mathbb{CP}^\infty)$ の合成である（Hat02 Proposition 2.22, p. 124 のコホモロジー版）。$j\ge4$ では $H^{j-1}(\mathbb{CP}^1)=H^j(\mathbb{CP}^1)=0$ なのでこの写像は同型であり、$j=1,2,3$ では $H^j(\mathbb{CP}^\infty,\mathbb{CP}^1)=0$ である（$\mathbb{CP}^1$ は $3$ 骨格）。$H^*(\mathbb{CP}^\infty;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c]$（$|c|=2$）なので、群は主張のとおりで、$p^*$ は次数 $4$ 以上で同型な環準同型である。$H^6(X)$ の生成元 $b$ について $p^*b=\pm c^3$ であり、$p^*(b^2)=c^6\ne0$ から $b^2\ne0$ である。実際には $a:=(p^*)^{-1}(c^2)$ とおくと $b^2=a^3$ である。