Grothendieck構成

1：単位律は $(\beta,f)\circ(\mathrm{id},\mathrm{id})=(\beta,\Phi(\mathrm{id})(f))=(\beta,f)$ と $(\mathrm{id},\mathrm{id})\circ(\beta,f)=(\beta,\Phi(\beta)(\mathrm{id}_x)\circ f)=(\beta,f)$ である。結合律は、3 つの射 $(\beta,f)$、$(\beta',f')$、$(\beta'',f'')$ の 2 通りの合成の第 2 成分が $\Phi(\beta'')\Phi(\beta')(f)\circ\Phi(\beta'')(f')\circ f''$ と $\Phi(\beta'\beta'')(f)\circ\Phi(\beta'')(f')\circ f''$ になり、$\Phi(\beta'\beta'')=\Phi(\beta'')\Phi(\beta')$ により一致することから従う。$\pi_\Phi$ が関手であることは合成の第 1 成分の式そのものである。

2：$\mathrm{id}_b$ の上の射は $(\mathrm{id}_b,f)$（$f\colon x'\to\Phi(\mathrm{id}_b)(x)=x$）であり、$(\mathrm{id}_b,f)\circ(\mathrm{id}_b,f')=(\mathrm{id}_b,f\circ f')$ である。

3：$\kappa_\Phi(\beta,x)\circ(\mathrm{id}_{b'},f)=(\beta,\Phi(\mathrm{id}_{b'})(\mathrm{id})\circ f)=(\beta,f)$ である。逆に $\kappa_\Phi(\beta,x)\circ(\mathrm{id}_{b'},g)$ の第 2 成分は $g$ なので、$g=f$ に限られる。

4：Cartesian であることは Cartesianファイブレーション の例「関手の Grothendieck 構成」の証明で示されている（対象 $(c,w)$ と $\gamma\colon c\to b'$ について、$\gamma$ の上の射 $(\gamma,f')$ に $\kappa_\Phi(\beta,x)$ を合成すると $(\beta\gamma,f')$ になり、これは $\beta\gamma$ の上の射全体との全単射である）。$\kappa_\Phi(\mathrm{id}_b,x)=(\mathrm{id}_b,\mathrm{id}_x)$ は恒等射である。$\kappa_\Phi(\beta,x)\circ\kappa_\Phi(\gamma,\Phi(\beta)(x))=(\beta\gamma,\Phi(\gamma)(\mathrm{id})\circ\mathrm{id})=(\beta\gamma,\mathrm{id})$ であり、始点は $(b'',\Phi(\gamma)\Phi(\beta)(x))=(b'',\Phi(\beta\gamma)(x))$ なので、これは $\kappa_\Phi(\beta\gamma,x)$ である。$\square$

定義できること。 $P(e\circ\kappa(\beta,y))=\mathrm{id}_b\circ\beta=\beta=P(\kappa(\beta,z))\circ\mathrm{id}_{b'}$ なので、$\kappa(\beta,z)$ が Cartesian であることを $\gamma=\mathrm{id}_{b'}$ に使うと、条件を満たす射がただ 1 つある。

$\Phi_P(\beta)$ は関手。 $e=\mathrm{id}_y$ には $\mathrm{id}_{\beta^*y}$ が条件を満たす。$e\colon y\to z$、$e'\colon z\to w$ について $\kappa(\beta,w)\circ\Phi_P(\beta)(e')\circ\Phi_P(\beta)(e)=e'\circ\kappa(\beta,z)\circ\Phi_P(\beta)(e)=e'\circ e\circ\kappa(\beta,y)$ なので、一意性から $\Phi_P(\beta)(e'\circ e)=\Phi_P(\beta)(e')\circ\Phi_P(\beta)(e)$ である。

恒等射。 $\kappa(\mathrm{id}_b,y)=\mathrm{id}_y$ から $\mathrm{id}_b^*y=y$ であり、$e$ 自身が条件を満たすので $\Phi_P(\mathrm{id}_b)(e)=e$ である。

合成。 $\gamma\colon b''\to b'$ をとる。対象については分裂の等式から $(\beta\gamma)^*y=\gamma^*\beta^*y$ である。$g:=\Phi_P(\gamma)(\Phi_P(\beta)(e))$ は $\mathrm{id}_{b''}$ の上にあり $\kappa(\beta\gamma,z)\circ g=\kappa(\beta,z)\circ\kappa(\gamma,\beta^*z)\circ g=\kappa(\beta,z)\circ\Phi_P(\beta)(e)\circ\kappa(\gamma,\beta^*y)=e\circ\kappa(\beta,y)\circ\kappa(\gamma,\beta^*y)=e\circ\kappa(\beta\gamma,y)$ を満たすので、一意性から $g=\Phi_P(\beta\gamma)(e)$ である。よって $\Phi_P(\beta\gamma)=\Phi_P(\gamma)\circ\Phi_P(\beta)$ である。$\square$

1. $f\colon x'\to\Phi(\beta)(x)$ に対し、$\alpha$ の自然性 $\alpha_{b'}\circ\Phi(\beta)=\Phi'(\beta)\circ\alpha_b$ から $\alpha_{b'}(f)\colon\alpha_{b'}(x')\to\Phi'(\beta)(\alpha_b(x))$ なので、$(\beta,\alpha_{b'}(f))$ は $\int\Phi'$ の射である。合成は、同じ自然性を射に使って $\textstyle\int\alpha\bigl((\beta,f)\circ(\beta',f')\bigr)=\bigl(\beta\beta',\ \alpha_{b''}(\Phi(\beta')(f))\circ\alpha_{b''}(f')\bigr)=\bigl(\beta\beta',\ \Phi'(\beta')(\alpha_{b'}(f))\circ\alpha_{b''}(f')\bigr)$ となり、これは $\int\alpha(\beta,f)\circ\int\alpha(\beta',f')$ である。恒等射も保つ。$\pi_{\Phi'}\circ\int\alpha=\pi_\Phi$ であり、$\int\alpha(\kappa_\Phi(\beta,x))=(\beta,\mathrm{id})=\kappa_{\Phi'}(\beta,\alpha_b(x))$ である。$\int$ が恒等変換と自然変換の合成を保つことは定義から分かる。

2. 忠実であること：$\int\alpha$ はファイバー上で $\alpha_b$ そのもの（lem-gc-basic の 2）なので、$\int\alpha$ から $\alpha$ が決まる。充満であること：分裂ファイブレーションの射 $G\colon\int\Phi\to\int\Phi'$ をとる。$G$ は $\mathcal B$ 上の関手なのでファイバーをファイバーに送り、関手 $\alpha_b\colon\Phi(b)\to\Phi'(b)$ を $G(b,x)=(b,\alpha_b(x))$、$G(\mathrm{id}_b,f)=(\mathrm{id}_b,\alpha_b(f))$ で定める。$G(\kappa_\Phi(\beta,x))=\kappa_{\Phi'}(\beta,\alpha_b(x))$ の始点を比べると $\alpha_{b'}(\Phi(\beta)(x))=\Phi'(\beta)(\alpha_b(x))$ である。$\Phi(b)$ の射 $e\colon x\to y$ について、$\int\Phi$ の中で $(\mathrm{id}_b,e)\circ\kappa_\Phi(\beta,x)=(\beta,\Phi(\beta)(e))=\kappa_\Phi(\beta,y)\circ(\mathrm{id}_{b'},\Phi(\beta)(e))$ が成り立つ。両辺に $G$ を当てて同じ計算を $\int\Phi'$ で行うと、左辺は $(\beta,\Phi'(\beta)(\alpha_b(e)))$、右辺は $(\beta,\alpha_{b'}(\Phi(\beta)(e)))$ になるので、$\alpha_{b'}\circ\Phi(\beta)=\Phi'(\beta)\circ\alpha_b$ が射についても成り立つ。よって $\alpha$ は自然変換であり、すべての射の分解 $(\beta,f)=\kappa_\Phi(\beta,x)\circ(\mathrm{id}_{b'},f)$ を $G$ と $\int\alpha$ がともに $\kappa_{\Phi'}(\beta,\alpha_b(x))\circ(\mathrm{id}_{b'},\alpha_{b'}(f))$ に送るので $G=\int\alpha$ である。

3. $(\beta,f)\colon(b',y')\to(b,y)$ の $f$ は $\mathcal E_{b'}$ の射 $y'\to\beta^*y$ なので、$\kappa(\beta,y)\circ f\colon y'\to y$ は定義される。$H(\mathrm{id}_b,\mathrm{id}_y)=\kappa(\mathrm{id}_b,y)=\mathrm{id}_y$ である。$(\beta,f)$ と $(\beta',f')\colon(b'',y'')\to(b',y')$ について、分裂の等式と lem-gc-from-split の定義式 $\kappa(\beta',\beta^*y)\circ\Phi_P(\beta')(f)=f\circ\kappa(\beta',y')$ から $H\bigl((\beta,f)\circ(\beta',f')\bigr)=\kappa(\beta\beta',y)\circ\Phi_P(\beta')(f)\circ f'=\kappa(\beta,y)\circ\kappa(\beta',\beta^*y)\circ\Phi_P(\beta')(f)\circ f'=\kappa(\beta,y)\circ f\circ\kappa(\beta',y')\circ f'$ となり、$H$ は関手である。対象 $y$ は $b=P(y)$ を決めるので $H$ は対象について全単射である。射については、$P(g)=\beta$ となる射 $g\colon y'\to y$ が $\kappa(\beta,y)$ の Cartesian 性（$\gamma=\mathrm{id}_{b'}$）により $g=\kappa(\beta,y)\circ f$（$f$ はファイバーの射）とただ 1 通りに書けるので、$\operatorname{Hom}((b',y'),(b,y))=\coprod_{\beta}\operatorname{Hom}_{\mathcal E_{b'}}(y',\beta^*y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(y',y)$ は全単射である。$P\circ H=\pi_{\Phi_P}$ と $H(\kappa_{\Phi_P}(\beta,y))=H(\beta,\mathrm{id})=\kappa(\beta,y)$ は定義から分かる。逆関手も持ち上げを保つので、$H$ は $\mathbf{SFib}(\mathcal B)$ の同型である。

まとめ。 2 と 3 から、$\int$ は充満忠実で、すべての対象が像の対象と同型なので、圏同値である。$\square$

1：prf-gc-from-split の「定義できること」「$\Phi_P(\beta)$ は関手」は、$\kappa(\beta,\cdot)$ が Cartesian であることしか使っていない。

2：$c:=\kappa(\beta,y)\circ\kappa(\gamma,\beta^*y)$ は Cartesian な射の合成なので Cartesian であり（Cartesianファイブレーション の命題「Cartesian な射の基本性質」の 1）、$P(c)=\beta\gamma$ である。$\kappa(\beta\gamma,y)$ の Cartesian 性を $\gamma$ の代わりに $\mathrm{id}_{b''}$ で使うと、$\kappa(\beta\gamma,y)\circ\theta_y=c$ となる $\mathrm{id}_{b''}$ の上の射 $\theta_y$ がただ 1 つある。同じく $c$ の Cartesian 性から $c\circ\theta'_y=\kappa(\beta\gamma,y)$ となる $\theta'_y$ がある。$\kappa(\beta\gamma,y)\circ\theta_y\circ\theta'_y=\kappa(\beta\gamma,y)=\kappa(\beta\gamma,y)\circ\mathrm{id}$ と一意性から $\theta_y\theta'_y=\mathrm{id}$、同様に $\theta'_y\theta_y=\mathrm{id}$ である。自然性：$e\colon y\to z$ について、$\Phi_P(\beta\gamma)(e)\circ\theta_y$ と $\theta_z\circ\Phi_P(\gamma)(\Phi_P(\beta)(e))$ はどちらも $\mathrm{id}_{b''}$ の上にあり、左から $\kappa(\beta\gamma,z)$ を合成するとどちらも $e\circ\kappa(\beta,y)\circ\kappa(\gamma,\beta^*y)$ になる（$\Phi_P$ の定義式を 2 回使う）。一意性から両者は等しい。

3：分裂していれば $c=\kappa(\beta\gamma,y)$ なので恒等射が条件を満たし、一意性から $\theta_y=\mathrm{id}$ である。逆にすべての $\theta_y$ が恒等射なら、$\gamma^*\beta^*y=(\beta\gamma)^*y$ かつ $\kappa(\beta\gamma,y)=c$ である。$\square$

引き戻しの四角形 $(u,\beta)\colon p'\to p$ をとる。対象 $q\colon z\to c$ と $\gamma\colon c\to b'$、$\beta\gamma$ の上の射 $(w,\beta\gamma)\colon q\to p$（$p\circ w=\beta\gamma q$）について、$\gamma$ の上の射 $(v,\gamma)\colon q\to p'$ で $(u,\beta)\circ(v,\gamma)=(w,\beta\gamma)$ となるものは、$p'v=\gamma q$ かつ $uv=w$ を満たす $v\colon z\to x'$ のことであり、引き戻しの普遍性によりただ 1 つある。よって $(u,\beta)$ は Cartesian で、引き戻しが存在するので cod はファイバー付き圏である。逆に $(u,\beta)$ が Cartesian なら、同じ $\beta$ と $p$ についての引き戻しの四角形 $(u_0,\beta)\colon p_0\to p$ も Cartesian なので、prf-gc-comparison の 2 と同じ議論で、$\mathrm{id}_{b'}$ の上の同型 $(t,\mathrm{id})\colon p'\to p_0$ で $(u_0,\beta)\circ(t,\mathrm{id})=(u,\beta)$ となるものがある。同型な四角形も引き戻しの四角形なので、$(u,\beta)$ は引き戻しの四角形である。ファイバーの射は $(u,\mathrm{id}_b)$（$p\circ u=p'$）なので、ファイバーは $\mathcal B/b$ である。$\square$