旗多様体のコホモロジー環

$\mathcal{Q}$ が開集合 $U$ の上で $U\times\mathbb{C}^r$ と自明化されると、$\mathbb{P}(\mathcal{Q})|_U\cong U\times\mathbb{CP}^{r-1}$ である（射影束 の命題「局所自明性と構造射の性質」）。よって $\pi$ はファイバー $\mathbb{CP}^{r-1}$ のファイバー束である。点 $x$ のファイバー $\mathbb{P}(\mathcal{Q}_x)$ を線形同型 $\mathcal{Q}_x\cong\mathbb{C}^r$ で $\mathbb{CP}^{r-1}$ と同一視すると、$\mathcal{S}$ の制限はトートロジー直線束 $\mathcal{O}(-1)$ である。第 1 Chern 類は引き戻しと可換なので、$u$ の制限は $c_1(\mathcal{O}(-1))=-h$ である（複素射影空間 の命題「超平面類の性質」の 2）。複素射影空間 の定理「複素射影空間のコホモロジー環」により $(-h)^a$（$0\le a\le r-1$）は $H^*(\mathbb{CP}^{r-1};\mathbb{Z})$ の $\mathbb{Z}$ 基底である。ファイバーの整数係数コホモロジーは各次数で有限生成自由なので、整数係数の Leray–Hirsch の定理（Hat02 Theorem 4D.1、p. 432）が当てはまり、主張を得る。$\square$

$j$ の帰納法で示す。$j=0$ では $H^*(\mathrm{pt})=\mathbb{Z}$ で、基底は空の単項式 $1$ である。$j< n-1$ で主張が成り立つとする。$X_j$ は射影多様体の非特異な閉部分多様体としてコンパクトな複素多様体であり（旗多様体 の命題「旗多様体は射影多様体である」と系「次元・非特異性・既約性」の証明）、$p_j\colon X_{j+1}\cong\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)\to X_j$ で $\mathcal{Q}_j$ の階数は $n-j$、トートロジー部分直線束は $\mathcal{L}_{j+1}$ にあたるので、fcr-lem-projective-bundle で $u=x_{j+1}$、$r=n-j$ とすると、$H^*(X_{j+1})$ は $p_j^*b\smile x_{j+1}^a$（$b$ は $H^*(X_j)$ の基底、$0\le a\le n-j-1$）を基底にもつ。$p_j^*x_i=x_i$（$i\le j$）なので、これは $x_1^{a_1}\cdots x_{j+1}^{a_{j+1}}$（$a_i\le n-i$）の全体である。
$j=n-1$ のとき基底の個数は $\prod_{i=1}^{n-1}(n-i+1)=n!$ であり、次数 $2m$ の基底の個数は $\sum_ia_i=m$ となる列の個数なので、Poincaré 多項式は $\prod_{i=1}^{n-1}(1+t^2+\cdots+t^{2(n-i)})$、すなわち主張の積（$i=1$ の因子は $1$）である。基底が $x_1,\dots,x_{n-1}$ の単項式なので、これらは環を生成する。$\square$

係数 $\mathbb{Z}$ を省く。$V$ に標準の Hermite 内積を入れる。
直交分解．点 $V_\bullet$ について $W_i:=V_i\cap V_{i-1}^\perp$ とおくと、$W_i$ は $1$ 次元で $V=W_1\oplus\cdots\oplus W_n$ は直交分解であり、射影 $V_i\to V_i/V_{i-1}$ は $W_i$ の上で同型である。局所的には $V_i$ を張る正則な枠 $v_1,\dots,v_i$（$V_\bullet$ の局所座標の多項式で書ける。旗多様体 の定理「射影束の塔としての旗多様体」の証明）がとれ、これに Gram–Schmidt の直交化を施した $f_1,\dots,f_n$ は $C^\infty$ で、$W_i=\mathbb{C}f_i$ である。よって $W_i$ は $\operatorname{Fl}_n\times V$ の $C^\infty$ 部分直線束で、$W_i\to\mathcal{L}_i$ は $C^\infty$ 直線束の同型である。$V_i$ への直交射影を $P_i$、$W_i$ への直交射影を $R_i:=P_i-P_{i-1}$ と書くと、$\sum_iR_i=\mathrm{id}_V$ である。
補助の空間．$Y:=\operatorname{Fl}_n\times\mathbb{P}(V)$ とし、射影を $p_1,p_2$、$\zeta:=p_2^*h$（$h$ は $\mathbb{P}(V)=\mathbb{CP}^{n-1}$ の超平面類）とおく。正則直線束
$$ \mathcal{M}_i:=p_1^*\mathcal{L}_i\otimes p_2^*\mathcal{O}(1)=\mathcal{H}om\bigl(p_2^*\mathcal{O}(-1),\,p_1^*\mathcal{L}_i\bigr) $$
について、第 1 Chern 類の加法性と引き戻しとの両立（第1Chern類 の命題「テンソル積に関する加法性」「引き戻しとの両立」）により $c_1(\mathcal{M}_i)=p_1^*x_i+\zeta$ である。
消えない切断．点 $(V_\bullet,\ell)\in Y$ で、直線 $\ell$ から $W_i\cong(\mathcal{L}_i)_{V_\bullet}$ への線形写像 $s_i:=R_i|_\ell$ を考える。$C^\infty$ 同型 $W_i\cong\mathcal{L}_i$ を通じて、$s_i$ は $\mathcal{M}_i$ の $C^\infty$ 切断とみなせる（$\ell$ を局所的に張る正則な切断 $\sigma$ について $R_i\sigma$ は $C^\infty$ である）。$\sum_iR_i=\mathrm{id}$ なので、$\ell\ne0$ のどの点でもある $s_i$ は $0$ でない。$U_i:=\{s_i\ne0\}$ は開集合で、$U_1\cup\cdots\cup U_n=Y$ である。$U_i$ の上で $\mathcal{M}_i$ は至るところ $0$ でない $C^\infty$ 切断をもつので $C^\infty$ 直線束として自明であり、第1Chern類 の命題「滑らかな直線束の分類」の 3 により $c_1(\mathcal{M}_i|_{U_i})=0$ である。引き戻しとの両立から $c_1(\mathcal{M}_i)|_{U_i}=0$ なので、対の長完全列 $H^2(Y,U_i)\to H^2(Y)\to H^2(U_i)$ により、$c_1(\mathcal{M}_i)$ は $\gamma_i\in H^2(Y,U_i)$ の像である。
積の消滅．開集合の対についての相対カップ積 $H^k(Y,A)\times H^l(Y,B)\to H^{k+l}(Y,A\cup B)$（Hat02 p. 209）は、$H^*(Y,\cdot)\to H^*(Y)$ と可換である（カップ積 の定理「相対カップ積の基本性質」の 3）。よって $\prod_ic_1(\mathcal{M}_i)$ は
$$ \gamma_1\smile\cdots\smile\gamma_n\in H^{2n}(Y,U_1\cup\cdots\cup U_n)=H^{2n}(Y,Y)=0 $$
の像であり、
$$ 0=\prod_{i=1}^n(p_1^*x_i+\zeta)=\sum_{k=0}^np_1^*e_k(x_1,\dots,x_n)\smile\zeta^{\,n-k} $$
である。
係数の比較．$\zeta^n=p_2^*(h^n)$ で $h^n\in H^{2n}(\mathbb{CP}^{n-1})=0$ だから、$k=0$ の項は $0$ である。積の束 $p_1\colon Y\to\operatorname{Fl}_n$ では $\zeta^a$（$0\le a\le n-1$）が各ファイバーで $H^*(\mathbb{CP}^{n-1})$ の基底に制限されるので、Leray–Hirsch の定理（Hat02 Theorem 4D.1、p. 432）により $H^*(Y)$ は $1,\zeta,\dots,\zeta^{n-1}$ を基底とする自由 $H^*(\operatorname{Fl}_n)$ 加群である。したがって残りの係数 $e_k(x)$（$1\le k\le n$）はすべて $0$ である。$k=1$ から $x_n=-(x_1+\cdots+x_{n-1})$ を得る。$\square$

$R[t]$ で $\prod_{j=1}^n(1-x_jt)=\sum_k(-1)^ke_k(x)t^k=1$ である。$R[\![t]\!]$ で $\prod_{j=1}^i(1-x_jt)^{-1}=\sum_{k\ge0}h_k(x_1,\dots,x_i)\,t^k$（等比級数の積を展開する）なので、両辺に $\prod_{j\le i}(1-x_jt)^{-1}$ を掛けて
$$ \sum_{k\ge0}h_k(x_1,\dots,x_i)\,t^k=\prod_{j=i+1}^n(1-x_jt) $$
を得る。右辺は $t$ について次数 $n-i$ 以下なので、$k\ge n-i+1$ の係数は $0$ である。
$h_{n-i+1}(x_1,\dots,x_i)$ は $x_i$ について $x_i^{n-i+1}+(\text{$x_i$ の次数が低く、係数が $x_1,\dots,x_{i-1}$ の多項式である項})$ の形なので、$R$ で $x_i^{n-i+1}$ はそのような項の和に書き換えられる。単項式 $x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}$ について $a_i>n-i$ となる最大の $i$ をとってこの書き換えを行うと、$a_{i+1},\dots,a_n$ は変わらず $a_i$ だけが減る。列 $(a_n,a_{n-1},\dots,a_1)$ の辞書式順序は整列順序なので、書き換えは有限回で終わり、どの単項式も $a_i\le n-i$（$1\le i\le n$）の単項式の整数係数の和になる。その個数は $\prod_{i=1}^n(n-i+1)=n!$ である。$\square$

fcr-thm-relations により $x_i\mapsto x_i$ は環準同型 $\varphi\colon R\to H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$ を定め、fcr-thm-basis により $x_1,\dots,x_{n-1}$ が像を生成するので $\varphi$ は全射である。fcr-lem-algebra の $n!$ 個の単項式が与える全射 $\psi\colon\mathbb{Z}^{n!}\to R$ と合成すると、$\varphi\circ\psi$ は $\mathbb{Z}^{n!}$ から階数 $n!$ の自由加群 $H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$（fcr-thm-basis）への全射である。有限生成自由加群の間の同じ階数の全射は同型なので（行列式が $\pm1$）、$\varphi\circ\psi$ は同型で、$\psi$ は単射である。$\psi$ は全射でもあるので同型であり、したがって $\varphi$ も同型である。次数を保つことは $x_i$ の次数の定め方による。基底についての主張は fcr-thm-basis による。$\square$