有限群スキーム

$\chi^m=1$ は $T$ の開被覆の上で確かめればよいので、$T=\operatorname{Spec}R$ で、$G_T=\operatorname{Spec}A$ の $A$ が階数 $m$ の自由 $R$ 加群である場合に示せば足りる。$\chi$ に対応する群的元を $u\in A$ とし、$u^m=1$ を示す。
$C:=A\otimes_RA$ を、第 2 因子 $a\mapsto1\otimes a$ によって $A$ 代数とみる。$C$ は $A/R$ の $R\to A$ に沿う底変換なので、階数 $m$ の自由 $A$ 加群である。$c\in C$ に対し、$c$ 倍写像（$A$ 線形写像）の行列式を $N(c)\in A$ とおく。$N$ は乗法的で、底変換と可換なので $a'\in A$ について $N(a'\otimes1)=N_{A/R}(a')\cdot1$（$N_{A/R}(a')\in R$ は $A$ の上の $a'$ 倍写像の行列式）であり、$a\in A$ について $N(1\otimes a)=a^m$ である。
$\theta\colon C\to C$ を $\theta(a'\otimes a):=\Delta(a')(1\otimes a)$ で定める。これは射 $\varphi\colon G_T\times_TG_T\to G_T\times_TG_T$、$(x,y)\mapsto(xy,y)$ が誘導する環準同型であり（$a'\otimes a$ は関数 $(x,y)\mapsto a'(x)a(y)$ で、$\varphi$ で引き戻すと $a'(xy)a(y)$ になる）、$\varphi$ は逆 $(x,y)\mapsto(xy^{-1},y)$ をもつので $\theta$ は環の自己同型である。$\theta(1\otimes a)=1\otimes a$ だから $\theta$ は $A$ 代数の自己同型であり、$c$ 倍写像と $\theta(c)$ 倍写像は $\theta$ で共役な $A$ 線形写像なので、$N(\theta(c))=N(c)$ である。
$c=u\otimes1$ とすると、$u$ が群的元であることから $\theta(u\otimes1)=\Delta(u)=u\otimes u=(u\otimes1)(1\otimes u)$ である。両辺の $N$ をとって
$$ N_{A/R}(u)\cdot1=N(u\otimes1)=N(u\otimes1)\,N(1\otimes u)=N_{A/R}(u)\,u^m. $$
$u$ は単元なので $N_{A/R}(u)$ は $R$ の単元であり、$u^m=1$ を得る。指標の積は群的元の積に対応するので $\chi^m=1$ である。$\square$

$G$ の Cartier 双対 $G^D$ は位数 $m$ の可換な有限局所自由群スキームである（Cartier双対 の記事の定義「Cartier 双対」の直後の段落）。同記事の命題「指標群としての Cartier 双対」を $G^D$ に適用すると、$T$ について自然な群の同型 $(G^D)^D(T)\cong\operatorname{Hom}_{T\text{-gr}}(G^D_T,\mathbb{G}_{m,T})$ がある。同記事の定理「二重双対」により $G\cong(G^D)^D$ なので、$g\in G(T)$ に $G^D_T$ の指標 $\chi_g$ が対応し、$g\mapsto\chi_g$ は群の同型である。lem-fgs-character-order を $G^D$ に適用すると $\chi_{g^m}=\chi_g^m=1$ であり、$g^m=e$ である。$\square$

$K$ を標数 $0$ の体、$H=\operatorname{Spec}B$ を $K$ 上の有限群スキームとし、まず単位元 $e$ での局所環 $B_e$ が $K$ に一致することを示す。$\mathfrak{m}:=\ker(\varepsilon\colon B\to K)$ とおく（$e$ に対応する極大イデアル）。
不変な導分。 $K$ 線形写像 $\lambda\colon\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\to K$ をとり、$\tilde\lambda(b):=\lambda\bigl((b-\varepsilon(b))\bmod\mathfrak{m}^2\bigr)$ とおく。$bb'-\varepsilon(b)\varepsilon(b')=(b-\varepsilon(b))(b'-\varepsilon(b'))+\varepsilon(b)(b'-\varepsilon(b'))+\varepsilon(b')(b-\varepsilon(b))$ で第 1 項は $\mathfrak{m}^2$ に入るので、$\tilde\lambda(bb')=\varepsilon(b)\tilde\lambda(b')+\varepsilon(b')\tilde\lambda(b)$ である。$D:=(\mathrm{id}\otimes\tilde\lambda)\circ\Delta\colon B\to B\otimes_KK=B$ とおく。$\Delta(b)=\sum b_1\otimes b_2$、$\Delta(b')=\sum b'_1\otimes b'_2$ と書くと
$$ D(bb')=\sum b_1b'_1\bigl(\varepsilon(b_2)\tilde\lambda(b'_2)+\varepsilon(b'_2)\tilde\lambda(b_2)\bigr)=b\,D(b')+b'\,D(b) $$
である（余単位の公理 $\sum b_1\varepsilon(b_2)=b$ を使った）。よって $D$ は $B$ の $K$ 導分であり、余単位の公理 $(\varepsilon\otimes\mathrm{id})\circ\Delta=\mathrm{id}$ から $\varepsilon\circ D=\tilde\lambda$ である。
局所環は体。 $B_e:=B_{\mathfrak{m}}$ は Artin 局所環で、極大イデアル $\mathfrak{n}:=\mathfrak{m}B_e$ は冪零である。$\mathfrak{n}\ne0$ と仮定する。$\mathfrak{n}$ は冪零だから $\mathfrak{n}\ne\mathfrak{n}^2$ であり（$\mathfrak{n}=\mathfrak{n}^2$ なら $\mathfrak{n}=\mathfrak{n}^N=0$）、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\cong\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$（Zariski接空間 の記事の補題「極大イデアルでの局所化」）なので、$\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ で $0$ でない像をもつ $x\in\mathfrak{m}$ と、$\lambda(\bar x)=1$ となる $\lambda$ がとれる。上の $D$ は $B_e$ の導分に一意に延び、$\varepsilon$ も $B_e\to K$ に延びて $\varepsilon(D(x))=\tilde\lambda(x)=1$ であるから、$D(x)\notin\mathfrak{n}$、すなわち $D(x)$ は $B_e$ の単元である。$x$ は $B_e$ で冪零なので $x^r=0$ となる最小の $r\ge1$ をとる。$x\notin\mathfrak{n}^2$ より $x\ne0$ なので $r\ge2$ であり、
$$ 0=D(x^r)=r\,x^{r-1}D(x). $$
$r$ は $K$ の中で $0$ でなく（標数 $0$）、$D(x)$ は単元なので $x^{r-1}=0$ となり、$r$ の最小性に反する。よって $\mathfrak{n}=0$ であり、$B_e=K$ である。
平行移動。 $K=\bar k$、$H=G_{\bar k}=\operatorname{Spec}(A\otimes_k\bar k)$ に上を適用する。$A\otimes_k\bar k$ は有限次元なので Artin 環で、その局所環の直積に分解し、各点の剰余体は $\bar k$ の有限次拡大すなわち $\bar k$ である。したがって各点は $g\in G(\bar k)$ であり、左平行移動 $x\mapsto gx$ はスキームの自己同型で $e$ を $g$ に写すから、$g$ での局所環は $e$ での局所環 $\bar k$ に同型である。よって $A\otimes_k\bar k$ は $\bar k$ の直積で、その個数は $\dim_{\bar k}(A\otimes_k\bar k)=|G|$ である。$\square$