角の解消

要点：極座標で書くと $s$ は $(r,\theta)\mapsto(r^2,2\theta)$ であり、角度を $2$ 倍して四分円 $0\le\theta\le\pi/2$ を半平面 $0\le2\theta\le\pi$ の上へ開く。逆写像は角度を半分にする平方根で、原点の外では滑らかである。

段 1（座標近傍）．$\mathcal{A}_1$ を、境界付き多様体 $M\setminus L$（(i) の構造）の座標近傍の全体とする。$L$ の局所座標 $(V,\psi)$（$\psi$ は $V$ から $\mathbb{R}^{n-2}$ の開集合への同相写像）ごとに、
$$ \kappa_\psi:=(\psi\times\mathrm{id}_{H_1})\circ\widetilde\Phi^{-1}\colon\Phi(V\times Q_1)\to\psi(V)\times H_1\subset\mathbb{R}^{n-2}\times\mathbb{H}^2=\mathbb{H}^n $$
とおき、その全体を $\mathcal{A}_2$ とする。$\Phi$ は $L\times Q_1$ から開集合 $U$ への同相写像で $V\times Q_1$ は開集合なので、$\Phi(V\times Q_1)$ は $M$ の開集合である。lem-str-open の 1 により $s^{-1}\colon H_1\to Q_1$ は同相写像なので、$\kappa_\psi$ は $\mathbb{H}^n$ の開集合 $\psi(V)\times H_1$ の上への同相写像である。$L$ の点は $\mathcal{A}_2$ の、それ以外の点は $\mathcal{A}_1$ の定義域に入るので、$\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2$ の定義域は $M$ を覆う。
段 2（座標変換）．$\mathcal{A}_2$ どうしの座標変換は $(\psi'\circ\psi^{-1})\times\mathrm{id}_{H_1}$ なので $C^\infty$ 級である。$(O,\chi)\in\mathcal{A}_1$ と $\kappa_\psi$ の定義域の共通部分は $U\setminus L=\Phi(L\times(Q_1\setminus\{0\}))$ に含まれ、その上で
$$ \chi\circ\kappa_\psi^{-1}=\bigl(\chi\circ\Phi\circ(\psi^{-1}\times\mathrm{id}_{Q_1})\bigr)\circ(\mathrm{id}\times s^{-1}),\qquad\kappa_\psi\circ\chi^{-1}=(\mathrm{id}\times s)\circ\bigl((\psi\times\mathrm{id}_{Q_1})\circ\Phi^{-1}\circ\chi^{-1}\bigr) $$
である。$M\setminus L$ の境界付き多様体の構造は、角付きの座標近傍の成分を並べ替えた（線形同型を合成した）ものを座標近傍として定まる（命題「角のない角付き多様体」の 2 の証明）ので、写像が一方の構造について $C^\infty$ 級であることと他方について $C^\infty$ 級であることは同値である。$\Phi$ は角付き多様体の微分同相写像なので、大きな括弧の中の写像はどちらも $C^\infty$ 級である。$s^{-1}$ は $H_1\setminus\{0\}$ の上で $C^\infty$ 級、$s$ は至るところ $C^\infty$ 級なので（lem-str-open の 2）、2 つの座標変換はともに $C^\infty$ 級である。よって $\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2$ は $C^\infty$ 級アトラスである。Hausdorff 性と第 2 可算性は $M$ の位相の性質なので、$M$ はこのアトラスを含む極大アトラスによって滑らかな境界付き多様体になる。
段 3（2 条件と一意性）．(i) は $\mathcal{A}_1$ がアトラスに含まれることから従う。(ii) は、$\widetilde\Phi$ を $L\times H_1$ の座標近傍 $\psi\times\mathrm{id}$ と $\kappa_\psi$ で書くと恒等写像になることから従う。逆に (i)(ii) をみたす構造では、$\mathcal{A}_1$ の元と、微分同相写像 $\widetilde\Phi^{-1}$ と $L\times H_1$ の座標近傍 $\psi\times\mathrm{id}$ の合成 $\kappa_\psi$ は、すべて座標近傍である。極大アトラスは $M$ を覆う部分アトラスで決まるので、その構造は段 1 の構造に一致する。
段 4（境界と恒等写像）．$M\setminus L$ の点については、境界の点であることと深さが $1$ であることは同値である（命題「角のない角付き多様体」の 2）。$p\in L$ では $\kappa_\psi(p)=(\psi(p),0,0)\in\partial\mathbb{H}^n$ なので $p$ は境界の点である。よって $\partial M^\Phi=\partial_1M\cup\partial_2M=\partial M$ である。恒等写像 $M\to M^\Phi$ を座標で書くと、$M\setminus L$ の上では成分の並べ替え、$L$ の近くでは $\kappa_\psi\circ\Phi\circ(\psi^{-1}\times\mathrm{id})=\mathrm{id}\times s$ なので、滑らかである。$p\in L$ の近くで逆写像が滑らかなら、$\mathrm{id}\times s$ の逆写像が $(\psi(p),0,0)$ の近くで $C^\infty$ 級になり、$u\mapsto(\psi(p),u)$ に制限すれば $s$ の逆写像が原点の近くで $C^\infty$ 級になって lem-str-open の 3 に反する。$\square$

角付き多様体 の命題「角のない角付き多様体」の 1 により $M$、$N$ は深さ $1$ 以下の角付き多様体とみなせ、深さ $1$ の点は境界の点である。同記事の命題「積」により $M\times N$ は角付き多様体で $\operatorname{depth}(x,y)=\operatorname{depth}(x)+\operatorname{depth}(y)\le2$ なので、深さ $3$ 以上の点はなく、$\partial_2(M\times N)=L$ である。$c_M$、$c_N$ は境界付き多様体の微分同相写像であり、境界付き多様体の座標近傍は角付きの座標近傍の成分を並べ替えたものと両立するので、$c_M\times c_N$ は角付き多様体 $\partial M\times[0,1)\times\partial N\times[0,1)$ から開集合 $V_M\times V_N$ への微分同相写像である。成分の順序を入れ替えて $L\times[0,1)^2$ からの写像とみて、開集合 $L\times Q_1$ に制限したものが $\Phi$ なので、$\Phi$ は $M\times N$ の開集合 $U:=\Phi(L\times Q_1)$ への微分同相写像である。$\Phi(p,q,0,0)=(c_M(p,0),c_N(q,0))=(p,q)$ なので $U\supset L$ であり、$(U,\Phi)$ は角のカラーである。
thm-str-main により $(M\times N)^\Phi$ は境界付き多様体で、境界は深さ $1$ 以上の点の全体である。$\operatorname{depth}(x,y)\ge1$ は $x\in\partial M$ または $y\in\partial N$ と同値なので、境界は $(\partial M\times N)\cup(M\times\partial N)$、内部はその補集合 $\operatorname{Int}M\times\operatorname{Int}N$ である。$\square$

段 1（$L$ の近くの座標）．thm-str-main の $\widetilde\Phi$ を境界 $L\times(H_1\cap\partial\mathbb{H}^2)=L\times(-1,1)$ に制限した $\beta(p,q,v):=\widetilde\Phi(p,q,v,0)$ は、$\partial(M\times N)^\Phi$ の $L$ の近傍への微分同相写像である（命題「内部と境界の多様体構造」の座標近傍の作り方）。lem-str-open の 1 により $s^{-1}(v,0)$ は $v\ge0$ なら $(\sqrt v,0)$、$v\le0$ なら $(0,\sqrt{-v})$ なので、
$$ \beta(p,q,v)=\begin{cases}\bigl(c_M(p,\sqrt v),\ q\bigr)&v\ge0,\\ \bigl(p,\ c_N(q,\sqrt{-v})\bigr)&v\le0\end{cases},\qquad\text{すなわち}\qquad\Theta^{-1}\circ\beta(p,q,v)=\bigl(p,q,\ \operatorname{sgn}(v)\sqrt{\lvert v\rvert}\bigr) $$
である。
段 2（伸縮の関数）．滑らかな関数 $\lambda\colon[0,1)\to[0,1]$ で、$[0,1/4]$ で $0$、$[1/2,1)$ で $1$、$\lambda'\ge0$ となるものをとり（隆起関数 の例「滑らかな階段関数」の $g$ で $\lambda(t):=g(4t-1)$ とおけばよい。$0< t<1$ で $g(t)=1/\bigl(1+e^{1/t-1/(1-t)}\bigr)$ であり、指数 $1/t-1/(1-t)$ は減少するので $g'\ge0$）、
$$ k(t):=\bigl(1-\lambda(t)\bigr)t^2+\lambda(t)\,t $$
とおく。$k$ は $[0,1/4]$ で $t^2$、$[1/2,1)$ で $t$ に等しい。$0< t<1$ では $k'(t)=2(1-\lambda)t+\lambda+\lambda'(t-t^2)>0$ である（第 1 項と第 2 項の和は正、第 3 項は $0$ 以上）。よって $k$ は $[0,1)$ から $[0,1)$ の上への同相写像で、$(0,1)$ の上では微分同相写像である。
段 3（写像 $H$）．$H\colon P\cup R\to P\cup R$ を、$P$ の点 $(p',c_N(q,u))$（$p'\in\partial M$、$q\in\partial N$、$0\le u<1$）を $(p',c_N(q,k(u)))$ に、$R$ の点 $(c_M(p,t),q')$（$q'\in\partial N$）を $(c_M(p,k(t)),q')$ に写し、それ以外の点を動かさない写像と定める。2 つの式の両方が当てはまる点は $t=u=0$ の点、すなわち $L$ の点で、そこでは $k(0)=0$ から $H$ は恒等写像なので、$H$ は矛盾なく定まる。$k$ が全単射なので $H$ は全単射である。
段 4（$L$ の近く）．段 1 により、$\lvert v\rvert<1/16$ では
$$ \Theta^{-1}\circ H\circ\beta(p,q,v)=\bigl(p,q,\ \operatorname{sgn}(v)\,k(\sqrt{\lvert v\rvert})\bigr)=(p,q,v) $$
である（$\sqrt{\lvert v\rvert}<1/4$ で $k(\sqrt{\lvert v\rvert})=\lvert v\rvert$）。したがって $L$ の近傍 $\beta(L\times(-1/16,1/16))$ の上で、$H$ は $\partial(M\times N)^\Phi$ の座標 $\beta$ と $P\cup_LR$ の座標 $\Theta$ で書くと恒等写像であり、微分同相写像である。
段 5（$L$ の外）．$L$ の外では 2 つの構造はどちらも積の構造であり、$H$ はカラーの方向を $k$ で伸縮する写像なので微分同相写像である。これと段 4 から、$H$ は $\partial(M\times N)^\Phi$ から $P\cup_LR$ への微分同相写像である。