Kanファイブレーション
概要
Kanファイブレーション（Kan fibration）とは、単体的集合の写像 $p\colon X\to Y$ であって、すべてのホーンの包含 $\Lambda^n_k\subset\Delta^n$（$n\ge1$、$0\le k\le n$）に対して右持ち上げ性質をもつもの、つまり $Y$ の単体の上で $X$ のホーンがいつも埋まるものである。$Y$ が 1 点のときがちょうど Kan 複体であり、Kan ファイブレーションは合成・引き戻し・積・レトラクトで閉じ、そのファイバーは Kan 複体になる。亜群の脈体の間の関手が Kan ファイブレーションになるのは射を始点の側から持ち上げられるときであり、Serre ファイブレーションの特異単体的集合は Kan ファイブレーションである。単体的集合のホモトピー論でファイブレーションの役を担う。
単体的集合の写像 $p\colon X\to Y$ が Kan ファイブレーション であるとは、$Y$ の単体の上で、$X$ のホーンがいつも埋まることをいう。Kan複体 は「すべてのホーンが埋まる単体的集合」であり、Kan ファイブレーションはその相対版である。$Y$ が $1$ 点 $\Delta^0$ のときがちょうど Kan 複体にあたる。位相空間で道やホモトピーを持ち上げられる写像（ファイブレーション）の組合せ的な類似であり、Serre ファイブレーションの特異単体的集合は Kan ファイブレーションになる。単体的集合のホモトピー論（Kan–Quillenモデル構造）では、Kan ファイブレーションがファイブレーションの役を担う。
この記事では、定義と単体による言い換え、合成・引き戻し・積・レトラクトで閉じていることとその帰結、亜群の脈体の間の関手が Kan ファイブレーションになる条件、Serre ファイブレーションの特異単体的集合が Kan ファイブレーションであることを証明する。
定義
記号は 単体的集合 と ホーンと充填条件 に従う。$n\ge1$、$0\le k\le n$ に対し $\Lambda^n_k\subset\Delta^n$ は $k$ 番目のホーン、$d_j$ は面写像、$s_j$ は退化写像、$\delta^j\colon[n-1]\to[n]$ は値 $j$ をとらない単射である。
単体的集合の写像 $p\colon X\to Y$ が Kan ファイブレーション（Kan fibration）であるとは、すべての $n\ge1$、$0\le k\le n$ と、$p\circ u=v\circ i$ を満たす写像 $u\colon\Lambda^n_k\to X$、$v\colon\Delta^n\to Y$（$i$ は包含）に対し、
$$
\xymatrix{
\Lambda^n_k \ar[r]^{u} \ar[d]_{i} & X \ar[d]^{p} \\
\Delta^n \ar[r]_{v} \ar@{.>}[ur]^{h} & Y
}
$$
$h\circ i=u$ かつ $p\circ h=v$ を満たす写像 $h\colon\Delta^n\to X$ があることをいう。$h$ は一意でなくてよい。
これは、すべてのホーンの包含に対して右持ち上げ性質をもつという条件である（HTT09 Example 2.0.0.1、p. 53）。内側のホーン（$0< k< n$）だけ、または $0< k\le n$、$0\le k< n$ のホーンだけに対する持ち上げを求めると、内側ファイブレーション・右ファイブレーション・左ファイブレーションになる（ホーンと充填条件 の定義「充填条件とファイブレーション」）。Kan ファイブレーションはこれらのどれでもある。
単体による言い換え
$u$ は面の族 $x_j:=u(\delta^j)\in X_{n-1}$（$j\ne k$）で決まり、$v$ は $n$ 単体 $\tau:=v(\mathrm{id}_{[n]})\in Y_n$ で決まる。$p\circ u=v\circ i$ は $p(x_j)=d_j\tau$（$j\ne k$）と同じであり、持ち上げ $h$ は、$d_j\sigma=x_j$（$j\ne k$）かつ $p(\sigma)=\tau$ を満たす $n$ 単体 $\sigma\in X_n$ と $1$ 対 $1$ に対応する（ホーンと充填条件 の命題「充填と単体の対応」）。つまり、$Y$ の $n$ 単体 $\tau$ と、$\tau$ の $k$ 番目以外の面の上にある整合した面の族が与えられれば、それらを面にもち $\tau$ の上にある $n$ 単体が $X$ にある、というのが Kan ファイブレーションである。
$n=1$ のホーンは $1$ 点である。$\Lambda^1_0=\{0\}$ に対する条件は、「$Y$ の辺 $e$ と、$p(x)=d_1e$（$e$ の始点）を満たす頂点 $x$ に対し、$x$ を始点とし $e$ の上にある辺がある」という辺の持ち上げであり、$\Lambda^1_1=\{1\}$ では終点を指定した辺の持ち上げである。Kan 複体の条件では $n=1$ は自動的に成り立つが、ファイブレーションの条件では $n=1$ が本質的になる（下の反例）。
写像 $p\colon X\to Y$ と頂点 $y\in Y_0$ に対し、$y\colon\Delta^0\to Y$ による引き戻し $X_y:=\Delta^0\times_YX$ を $p$ の $y$ 上の ファイバー という。$X_y$ の $m$ 単体は、$p(x)$ が $y$ の退化（$m$ 単体 $s_0\cdots s_0y$）に等しい $x\in X_m$ である。
すべての $n\ge0$ について、境界の包含 $\partial\Delta^n\subset\Delta^n$（$\partial\Delta^0=\emptyset$）に対して同じ持ち上げができる写像を 自明 Kan ファイブレーション という。自明 Kan ファイブレーションはすべての単射に対して右持ち上げ性質をもつので、Kan ファイブレーションである（Kan–Quillenモデル構造 の系「単射とアノダイン拡大の特徴づけ」）。
基本性質
- 同型写像は Kan ファイブレーションである。
- 合成で閉じる：$p\colon X\to Y$ と $q\colon Y\to Z$ が Kan ファイブレーションなら、$q\circ p$ もそうである。
- 引き戻しで閉じる：$p\colon X\to Y$ が Kan ファイブレーションなら、任意の写像 $g\colon Y'\to Y$ による引き戻し $p'\colon X\times_YY'\to Y'$ もそうである。
- 積で閉じる：Kan ファイブレーションの族 $p_\lambda\colon X_\lambda\to Y_\lambda$（$\lambda\in\Lambda$）の積 $\prod_\lambda p_\lambda$ もそうである。
- レトラクトで閉じる：写像 $a\colon X\to X'$、$r\colon X'\to X$、$b\colon Y\to Y'$、$s\colon Y'\to Y$ が $ra=\mathrm{id}_X$、$sb=\mathrm{id}_Y$、$p'a=bp$、$pr=sp'$ を満たし、$p'$ が Kan ファイブレーションなら、$p$ もそうである。
Kan ファイブレーションの全体は、ホーンの包含の全体 $\mathcal I$ のすべてに対して右持ち上げ性質をもつ写像の全体 $\mathcal I^{\pitchfork}$ である。よって ホーンと充填条件 の定理「右持ち上げ性質の閉包性」から従う（(iv) で無限個の持ち上げを選ぶのに選択公理を使う）。$\square$
- 単体的集合 $X$ が Kan 複体であることと、$X\to\Delta^0$ が Kan ファイブレーションであることは同値である。
- $p\colon X\to Y$ が Kan ファイブレーションで $Y$ が Kan 複体なら、$X$ も Kan 複体である。
- Kan ファイブレーションのファイバー $X_y$ はすべて Kan 複体である。
- $F$ が Kan 複体なら、任意の単体的集合 $Y$ について射影 $F\times Y\to Y$ は Kan ファイブレーションである。
(i) $\Delta^0$ は終対象なので $v$ はただ $1$ つに決まり、条件は「任意の $u\colon\Lambda^n_k\to X$ が $\Delta^n$ へ延びる」ことになる。これは Kan複体 の定義である。(ii) $X\to\Delta^0$ は $p$ と $Y\to\Delta^0$ の合成なので、(i) と thm-kf-closure の (ii) による。(iii) $X_y\to\Delta^0$ は $p$ の引き戻しなので thm-kf-closure の (iii) による。(iv) $F\times Y=F\times_{\Delta^0}Y$ なので、射影は $F\to\Delta^0$ の $Y\to\Delta^0$ による引き戻しであり、thm-kf-closure の (iii) による。$\square$
亜群の脈体の間の Kan ファイブレーション
亜群（すべての射が可逆な小さな圏）の 脈体 は Kan 複体であり、$n\ge2$ のホーンの延長はただ $1$ つである（Kan複体 の定理「脈体が Kan 複体であるための条件」）。このため、亜群の間の関手では、ファイブレーションの条件が $1$ 次元の条件に帰着する。
亜群の間の関手 $F\colon\mathcal G\to\mathcal H$ について、次は同値である。
(R1) $N(F)\colon N(\mathcal G)\to N(\mathcal H)$ は Kan ファイブレーションである。
(R2) 任意の対象 $c\in\mathcal G$ と $\mathcal H$ の射 $g\colon F(c)\to d$ に対し、$F(f)=g$ となる $\mathcal G$ の射 $f\colon c\to c'$ がある。
脈体の頂点は対象、辺は射であり、$N(F)$ は頂点と辺の上で $F$ として働く。
$n\ge2$ のホーンは (ii) なしで持ち上がる。$N(F)\circ u=v\circ i$ とすると、$\mathcal G$ が亜群なので $u$ は延長 $h\colon\Delta^n\to N(\mathcal G)$ をもつ。$N(F)\circ h$ と $v$ はどちらもホーン $N(F)\circ u$ の延長であり、$\mathcal H$ は亜群なので延長は $1$ つしかない。よって $N(F)\circ h=v$ である。
$n=1$ を調べる。$\Lambda^1_0=\{0\}$ に対する持ち上げの問題は「対象 $c$ と射 $g\colon F(c)\to d$」であり、その解は「$c$ を始点として $F(f)=g$ となる射 $f$」なので、この持ち上げができることは (ii) そのものである。$\Lambda^1_1=\{1\}$ に対する問題は「対象 $c'$ と射 $g\colon d\to F(c')$」である。(ii) を仮定し、$g^{-1}\colon F(c')\to d$ に (ii) を使って $F(f')=g^{-1}$ となる $f'\colon c'\to c$ をとれば、$f=f'^{-1}$ が解である。
以上より (ii) なら $n\ge1$ のすべてのホーンが持ち上がり、逆に (i) なら $\Lambda^1_0$ の持ち上げから (ii) が従う。$\square$
(ii) は、関手が「同型を始点側から持ち上げる」という条件であり、亜群の間の関手が同型の持ち上げをもつことを意味する。
群 $G$ を対象 $1$ つの亜群とみなし、その脈体を $BG$ と書く（$n$ 単体は $(g_1,\ldots,g_n)\in G^n$）。群の準同型 $\varphi\colon G\to H$ について、$B\varphi$ が Kan ファイブレーションであることと $\varphi$ が全射であることは同値である。thm-kf-groupoid の (ii) が「任意の $h\in H$ に $\varphi(g)=h$ となる $g$ がある」ことだからである。このとき唯一の頂点の上のファイバーの $n$ 単体は $\varphi(g_1)=\cdots=\varphi(g_n)=1$ となる $(g_1,\ldots,g_n)$ であり、ファイバーは核の脈体 $B(\ker\varphi)$ である。cor-kf-consequences の (iii) のとおり、これは Kan 複体である。
$p\colon\Delta^0\to\Delta^0\sqcup\Delta^0$ を $1$ つ目の成分への包含とする。$v\colon\Delta^n\to\Delta^0\sqcup\Delta^0$ は $n$ 単体 $v(\mathrm{id}_{[n]})$ で決まり、その成分に全体が入る。$n\ge1$ ではホーンは空でないので、$p\circ u=v\circ i$ から $v$ は $1$ つ目の成分に入り、$\Delta^n\to\Delta^0$ の唯一の写像が持ち上げになる。よって $p$ は Kan ファイブレーションだが、$2$ つ目の成分の頂点に届かないので全射でない。$2$ つ目の成分の頂点の上のファイバーは空であり、空な単体的集合も Kan 複体である。
位相空間との関係
位相空間 $E$ の特異単体的集合 $\operatorname{Sing}E$ は、$n$ 単体を連続写像 $\lvert\Delta^n\rvert\to E$ とする単体的集合である（記号は Kan複体 の節「特異単体的集合」に従う。$\lvert\Delta^n\rvert$ は位相的標準単体）。連続写像 $p\colon E\to B$ は単体的写像 $\operatorname{Sing}p\colon\operatorname{Sing}E\to\operatorname{Sing}B$ を定める。
連続写像 $p\colon E\to B$ が Serre ファイブレーション であるとは、すべての円板 $D^m$（$m\ge0$）についてホモトピー持ち上げ性質をもつことをいう。すなわち、ホモトピー $g\colon D^m\times[0,1]\to B$ と $g(-,0)$ の持ち上げ $G_0\colon D^m\to E$（$pG_0=g(-,0)$）に対し、$G(-,0)=G_0$、$pG=g$ となる $G\colon D^m\times[0,1]\to E$ がある。Serre ファイブレーションは、すべての CW 対 $(P,Q)$ について 相対的な ホモトピー持ち上げ性質をもつ：ホモトピー $g\colon P\times[0,1]\to B$ と、$P\times\{0\}\cup Q\times[0,1]$ 上で定義された $g$ の持ち上げは、$P\times[0,1]$ 全体の持ち上げに延びる（Hat02 §4.2、p. 376。この記事では証明しない）。ファイバー束は Serre ファイブレーションである（Hat02 Proposition 4.48、p. 379）。
連続写像 $p\colon E\to B$ が Serre ファイブレーションなら、$\operatorname{Sing}p\colon\operatorname{Sing}E\to\operatorname{Sing}B$ は Kan ファイブレーションである。
$n\ge1$、$0\le k\le n$ とし、持ち上げの問題 $(u,v)$ を連続写像の問題に読み替える。
段 1（読み替え）．$\lvert\Delta^n\rvert$ の部分集合 $H=\{t\in\lvert\Delta^n\rvert\mid\text{ある }j\ne k\text{ で }t_j=0\}$ を考える。$u$ は連続写像の族 $\sigma_j\colon\lvert\Delta^{n-1}\rvert\to E$（$j\ne k$）で $d_i\sigma_j=d_{j-1}\sigma_i$（$i< j$）を満たすものであり、Kan複体 の定理「特異単体的集合は Kan 複体である」の証明の段 1 と同じく、これらは閉集合 $\{t_j=0\}$ ごとに貼り合わさって、$a\circ\lvert\delta^j\rvert=\sigma_j$ となる連続写像 $a\colon H\to E$ を与える。$v$ は連続写像 $b\colon\lvert\Delta^n\rvert\to B$ であり、$\operatorname{Sing}p\circ u=v\circ i$ は $p\circ\sigma_j=b\circ\lvert\delta^j\rvert$、すなわち $p\circ a=b|_H$ と同じである。持ち上げ $h$ は、$\ell|_H=a$ かつ $p\circ\ell=b$ を満たす連続写像 $\ell\colon\lvert\Delta^n\rvert\to E$ と同じものである（$\ell$ の $j$ 番目の面が $\ell\circ\lvert\delta^j\rvert$ なので）。$n=1$ では $H$ は頂点 $e_k$ の $1$ 点である。
段 2（$H$ への変形）．$c(t)=\min_{j\ne k}t_j$ とし、$r(t)_j=t_j-c(t)$（$j\ne k$）、$r(t)_k=t_k+n\,c(t)$ とおくと、$r\colon\lvert\Delta^n\rvert\to H$ は連続なレトラクションである（Kan複体 の同じ証明の段 2）。$\lvert\Delta^n\rvert$ は凸なので、$K(t,s)=(1-s)\,t+s\,r(t)$ は $\lvert\Delta^n\rvert\times[0,1]\to\lvert\Delta^n\rvert$ を定め、$K(t,0)=t$、$K(t,1)=r(t)$、さらに $t\in H$ なら $r(t)=t$ なので $K(t,s)=t$ である。
段 3（持ち上げ）．$g(t,s)=b(K(t,1-s))$ とおくと、$g\colon\lvert\Delta^n\rvert\times[0,1]\to B$ は $g(-,0)=b\circ r$ から $g(-,1)=b$ へのホモトピーで、$H$ の上では $s$ によらず $b$ に等しい。部分的な持ち上げを
$$
\lvert\Delta^n\rvert\times\{0\}\ \text{上で}\ (t,0)\mapsto a(r(t)),\qquad H\times[0,1]\ \text{上で}\ (t,s)\mapsto a(t)
$$
と定める。$t\in H$ では $a(r(t))=a(t)$ なので両者は共通部分で一致し、閉集合の上の貼り合わせで連続である。$p\circ a\circ r=b\circ r=g(-,0)$、$H$ 上で $p\circ a=b=g(-,s)$ なので、これは $g$ の持ち上げである。$H$ は単体複体 $\lvert\Delta^n\rvert$ の部分複体なので $(\lvert\Delta^n\rvert,H)$ は CW 対であり、相対的なホモトピー持ち上げ性質により $G\colon\lvert\Delta^n\rvert\times[0,1]\to E$ で、$pG=g$ かつ部分的な持ち上げを延長するものがある。$\ell:=G(-,1)$ とおくと、$p\circ\ell=g(-,1)=b$、$\ell|_H=a$ である。$\square$
一点への写像 $E\to\{*\}$ は Serre ファイブレーションなので（持ち上げとして定値のホモトピー $G(x,s)=G_0(x)$ をとればよい）、この定理から $\operatorname{Sing}E$ が Kan 複体であることが再び得られる（cor-kf-consequences の (i)）。被覆写像（Hat02 Proposition 1.30、p. 60）とファイバー束（Hat02 Proposition 4.48、p. 379）はホモトピー持ち上げ性質をもつので、それらの特異単体的集合も Kan ファイブレーションである。
逆向きに、Kan ファイブレーション $p\colon X\to Y$ の 幾何学的実現 $\lvert p\rvert$ は Serre ファイブレーションであり、頂点 $y$ の上の $\lvert p\rvert$ のファイバーは $\lvert X_y\rvert$ である（Quillen の定理。証明は Kan–Quillenモデル構造 の定理「Quillen の定理」）。これと Hat02 Theorem 4.41（p. 376）を合わせると、$\lvert Y\rvert$ が弧状連結で $x\in X_y$ のとき、ホモトピー群 の長完全列
$$
\cdots\to\pi_n(\lvert X_y\rvert,x)\to\pi_n(\lvert X\rvert,x)\to\pi_n(\lvert Y\rvert,y)\to\pi_{n-1}(\lvert X_y\rvert,x)\to\cdots\to\pi_0(\lvert X\rvert,x)\to0
$$
が得られる。また、Kan ファイブレーションが弱同値（実現が弱ホモトピー同値）であることと、自明 Kan ファイブレーションであることは同値である（Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」の 1）。どちらもこの記事では証明しない。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $n=1$ のホーンの持ち上げ | $B\iota\colon B\{1\}\to B(\mathbb Z/2)$ | Kan ファイブレーションである（$n\ge2$ のホーンはすべて持ち上がる） |
| 外側のホーンの持ち上げ | $\Delta^1\to\Delta^0$ | Kan ファイブレーションである（内側ファイブレーションではある） |
| cor-kf-consequences の (ii) の「$Y$ が Kan 複体」 | 恒等写像 $\Delta^1\to\Delta^1$ | 始域 $X$ が Kan 複体である |
| thm-kf-sing の「$p$ が Serre ファイブレーション」 | 包含 $\{0\}\to[0,1]$ | $\operatorname{Sing}p$ が Kan ファイブレーションである |
自明な群から $\mathbb Z/2$ への包含 $\iota$ について、$B\{1\}=\Delta^0$ であり、$B\iota$ は唯一の頂点を選ぶ写像である。thm-kf-groupoid の証明の前半により、$n\ge2$ のホーンはすべて持ち上がる。しかし $\iota$ は全射でないので、ex-kf-group により $B\iota$ は Kan ファイブレーションでない。具体的には、$\mathbb Z/2$ の生成元にあたる辺は、$\Lambda^1_0\subset\Delta^1$ に沿って持ち上がらない。$\Delta^0$ も $B(\mathbb Z/2)$ も Kan 複体なので、「始域と終域がともに Kan 複体なら Kan ファイブレーション」という含意も成り立たない。
$\Delta^1$ は圏 $[1]=\{0\to1\}$ の脈体なので準圏であり、$\Delta^1\to\Delta^0$ は内側ファイブレーションである（ホーンと充填条件 の例「圏の脈体と関手」）。しかし外側のホーン $\Lambda^2_0\to\Delta^1$ を、辺 $\{0,1\}$ を $0\to1$ に、辺 $\{0,2\}$ を退化した辺 $s_0(0)$ に送るものとして与えると、延長には $1$ から $0$ への辺が要るが、$\Delta^1$ にはない。よって $\Delta^1\to\Delta^0$ は Kan ファイブレーションでない（cor-kf-consequences の (i) により、$\Delta^1$ が Kan 複体でないことと同じである）。
3 行目：恒等写像は同型なので thm-kf-closure の (i) により Kan ファイブレーションだが、$\Delta^1$ は上の例のとおり Kan 複体でない。底が Kan 複体でなければ、全空間についての結論は出ない。
4 行目：包含 $p\colon\{0\}\to[0,1]$ は Serre ファイブレーションでない（$0$ から $1$ への道は $\{0\}$ の中に持ち上がらない）。$\operatorname{Sing}\{0\}=\Delta^0$ であり、$\Lambda^1_0\subset\Delta^1$ に対する持ち上げの問題として、頂点 $0$ と $0$ から $1$ への道 $\gamma$ を与えると、$\Delta^0$ の唯一の辺は定値の道に写るので $\gamma$ の持ち上げはない。
関連項目
- 前提: ホーンと充填条件, Kan複体
- 比較: 右アノダイン射, ファイバー束
- 直後に読む: Joyalの定理(準圏がKan複体である条件)
- 発展: Kan–Quillenモデル構造, 幾何学的実現, ホモトピー群
参考文献
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