大域次元

射影全射 $P\to M$ の核を $K$ とする。次の射影項 $P_1\to K$ の核は $P_2$ の像だから、射影分解にHomを施すと
$$\operatorname{Ext}^1_R(M,N)=\operatorname{Hom}_R(K,N)/\{h|_K:h:P\to N\}$$
と計算できる。コサイクルは $P_1$ の核を零にする写像、従って $K$ からの写像であり、境界は $P$ からの制限である。
全ての $N$ で商が零なら、$N=K$ と置いて恒等写像を延長する $h:P\to K$ が存在する。$K\subset P$ は分裂し、商 $M$ は射影加群の直和因子なので射影的となる。逆に $M$ が射影なら長さ零の分解で全ての高次Extが零になる。$\square$

1なら全ての $M$ を長さ $d$ 以下の射影分解で計算できるので、$i>d$ のHom複体には項がなく3を得る。3から2は明らかである。
2を仮定し、$M$ の射影分解で $K_0=M$、$0\to K_{j+1}\to P_j\to K_j\to0$ と置く。$K_d$ の分解は元の分解を次数 $d$ で切り直したものなので、核と像を文字通り比較すると
$$\operatorname{Ext}^{d+1}_R(M,N)\cong\operatorname{Ext}^1_R(K_d,N)$$
となる。$d=0$ なら恒等同定である。全係数 $N$ で零だから前補題により $K_d$ は射影となる。分解を任意に取ったので4が従う。4なら、射影 $K_d$ を左端に置いて切った列が長さ $d$ の射影分解となるので1を得る。$\square$

入射性から延長条件は定義そのものである。逆に延長条件を仮定する。任意の部分加群 $L\subset N$ からの写像を、包含で順序づけた全延長の中で最大にする。鎖の和集合では写像が整合するのでZornの補題を使える。最大延長域を $L'$ とし、$x\in N\setminus L'$ があると仮定する。
$I=\{a\in R:ax\in L'\}$ は左イデアルである。写像 $a\mapsto f(ax)$ を $I\to E$ とし、その延長 $h:R\to E$ を取る。$y=h(1)$ と置くと $h(a)=ay$ である。$L'+Rx$ 上で
$$f'(l+ax)=f(l)+ay$$
と定める。二つの表示の差では $(a-a')x\in L'$ なので、延長条件により $f((a-a')x)=(a-a')y$ となり、式はよく定義される。加法と左作用も式から保たれる。これは真に大きな延長であり最大性に矛盾する。従って全ての $N$ へ延長でき、$E$ は入射的である。$\square$

$0\to I\to R\to R/I\to0$ の射影表示から、一次Extの商の式で
$$\operatorname{Ext}^1_R(R/I,E)=\operatorname{Hom}_R(I,E)/\{h|_I:h:R\to E\}$$
となる。商が零というのは全ての $I\to E$ が $R$ へ延長することなので、前補題で入射性と同値になる。$\square$

右辺は全加群のうちの上限だから左辺以下である。逆を示すには、右辺が有限整数 $d$ 以下の場合を考えればよい。任意の左加群 $N$ の入射分解を取り、$C_0=N$、$0\to C_j\to J^j\to C_{j+1}\to0$ とする。入射分解は任意環で存在し、例えば Ext関手 の十分な入射対象の構成を使える。
ここで必要な次数移動を確認する。射影分解 $P_\bullet\to M$ に対し、射影性から $\operatorname{Hom}(P_i,-)$ は短完全列を保つ。従って $C_j\to J^j\to C_{j+1}$ からHom複体の短完全列が得られる。接続写像は商のサイクルを持ち上げ、その微分を核複体に戻す写像である。代表変更は境界だけを変え、接続が零なら核の境界を引いてサイクル持上げを作れるので長完全列となる。$J^j$ の入射性から $\operatorname{Hom}(P_\bullet,J^j)$ は正次数で完全である。元の増大射影分解を、核の短完全列ごとにHomで完全にするためである。従って正次数の長完全列から
$$\operatorname{Ext}^1_R(M,C_d)\cong\operatorname{Ext}^{d+1}_R(M,N)$$
を得る。
$M=R/I$ とすると仮定から右辺が全 $I$ で零になる。前補題により $C_d$ は入射的である。ゆえに全ての $M$ で左辺が零となり、全ての $M,N$ で $\operatorname{Ext}^{d+1}_R(M,N)=0$ を得る。全加群消滅判定から左大域次元は $d$ 以下となる。$d=0$ でも $C_0=N$ として同じ議論が成立する。$\square$

最初の同値は射影次元零の定義から従う。全ての加群が射影的なら、任意の短完全列の商加群が射影的なので、商への全射は切断を持ち分裂する。逆に全短完全列が分裂するとき、任意の $M$ への自由全射 $F\to M$ に付随する列が分裂する。$M$ は自由加群の直和因子だから射影的である。$\square$

上限が一なら $0\to U\to P\to M\to0$ について、任意係数 $N$ のHom長完全列から $\operatorname{Ext}^1(U,N)\cong\operatorname{Ext}^2(M,N)=0$ となる。$P$ の高次Extが零なので同型を得る。一次Ext判定で $U$ は射影的である。
逆に部分加群条件を仮定すると、任意の加群への自由全射の核 $U$ が射影となる。従って $0\to U\to F\to M\to0$ は長さ一以下の射影分解である。$\square$

任意階数の自由加群の部分加群が自由であることを証明する。基底を整列して $e_\alpha$ とし、$F_\alpha$ を添字 $\beta<\alpha$ の基底の張る部分加群、$H_\alpha=H\cap F_\alpha$ とする。$H_{\alpha+1}\to A$ の第 $\alpha$ 座標の像はイデアル $I_\alpha$、核は $H_\alpha$ である。$I_\alpha$ は零か、非零 $a_\alpha$ による $a_\alpha A$ である。整域なので後者は $A$ と同型であり、生成元の持上げ $h_\alpha$ を選べば
$$H_{\alpha+1}=H_\alpha\oplus A h_\alpha$$
となる。直和性は、$b h_\alpha\in H_\alpha$ なら第 $\alpha$ 座標で $b a_\alpha=0$、従って $b=0$ となることによる。像が零なら増加しない。
極限順序数では $H_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}H_\alpha$ である。各自由加群の元は有限台なので、その添字はある $\alpha<\lambda$ より小さくなる。従って帰納的に選んだ $h_\alpha$ は $H$ 全体の基底をなす。線形関係は有限個なので一つの段へ入り、その段の直和性から全係数が零となる。この構成では基底の整列と生成元の選択に選択公理を使うが、自由加群の階数の有限性は使わない。
任意の加群 $M$ への自由全射 $F\to M$ の核は今証明したように自由であるから、全ての $M$ の射影次元は一以下となる。$A$ が体でないなら非零非単元 $a\in A$ を選べる。$0\to A\xrightarrow{a}A\to A/(a)\to0$ から係数 $A$ のHomを計算すると $\operatorname{Ext}^1_A(A/(a),A)=A/(a)\ne0$。従って大域次元は零でなく一である。$\square$

$e_i$ を各成分の単位に対応する中心冪等元とすると、$\sum_i e_i=1$、$e_i e_j=0$（$i\ne j$）なので任意の $R$ 加群は $M=\bigoplus_i e_iM$ と分解する。各成分は $R_i$ 加群であり、この操作は成分ごとに核・像を保つので完全である。
射影 $R$ 加群の各成分は射影 $R_i$ 加群である。全射の持上げ問題を $R_i$ の加群の圏で取り、他成分零の $R$ 加群として扱えばよい。逆に各成分が射影なら、全射に沿う持上げを成分ごとに作って有限直和すれば射影 $R$ 加群となる。従って射影分解も成分ごとに分解・組立てでき、$\operatorname{pd}_RM=\max_i\operatorname{pd}_{R_i}(e_iM)$ を得る。全ての $M$ の上限を取れば主張になる。右版は反対環にも同じ分解を適用する。$\square$

任意の $S^{-1}A$ 加群 $N$ を $A$ 加群とみなす。$S$ の全元が $N$ 上可逆なので、$S^{-1}N\to N$、$n/s\mapsto s^{-1}n$ は同型である。$A$ 上で長さ $d$ の射影分解を取れるなら、それを局所化する。局所化は完全で、射影項は自由直和因子の分裂を局所化して射影のままになるから、$S^{-1}A$ 上の長さ $d$ の分解を得る。全ての $N$ にこれを適用すれば上界が従う。局所化が零環になる場合も約束により左辺零である。$\square$

正則パラメータの根拠。 正則性は $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=d$ を意味する。基底を持ち上げた $x_1,\ldots,x_d$ は Nakayama により $\mathfrak m$ を生成する。この列が正則列となるまでに必要な次元の根拠を明示する。Noether局所環では、極大イデアルを根基に持つイデアルの生成元数を、そのようなイデアル全体にわたって最小化した値は次元に等しい。この事実は Hilbert–Samuel 関数の次数と次元の一致により証明される。$R/(x_1,\ldots,x_j)$ の極大イデアルは $d-j$ 元で生成されるので次元は $d-j$ 以下。一方、商のパラメータを戻して $x_1,\ldots,x_j$ を加えると $R$ のパラメータになるので次元は $d-j$ 以上である。商の埋め込み次元も $d-j$ だから、この商も正則局所環である。
正則局所環が整域になる根拠も大域次元を用いない。自然な全射 $k[X_1,\ldots,X_e]\to\operatorname{gr}_{\mathfrak m}R$ を考える。正則性のもとでは $e=\dim R$。$e=0$ なら Nakayama により $R=k$ であり、以下では $e\ge1$ とする。核に次数 $s>0$ の非零斉次多項式があれば、その一元商の次数 $n$ の次元は
$$\binom{n+e-1}{e-1}-\binom{n-s+e-1}{e-1}$$
となるので、累積長さの増大は次数高々 $e-1$ となり、Hilbert–Samuel 次数 $e$ に矛盾する。$e=1$ は十分高次の斉次部分が零になって同じ矛盾となる。従って随伴次数環は多項式環である。Krull分離 $\bigcap_n\mathfrak m^n=0$ により非零元は非零の初期項を持ち、二つの初期項の積は多項式環で非零なので、元の積も非零となる。Krull分離自体は Artin–Rees と Nakayama による定理であり、ここではその現証明と Hilbert–Samuel 次元定理を基礎にしている。正則局所環の記事の商・随伴次数・整域の各証明と同じ経路で、UFDや有限大域次元から逆に正則性を得る定理は使っていない。
従って各商 $R/(x_1,\ldots,x_{i-1})$ は整域で、次の $x_i$ はその最小生成系の非零元だから非零因子である。最終商は $k\ne0$ であり、列は正則である。$d=0$ は最初から $R=k$ となる。
Koszul分解と下界。 この列の Koszul 複体は $K_j=\bigwedge^jR^d$、微分は
$$ \partial(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_j})= \sum_{a=1}^j(-1)^{a-1}x_{i_a}e_{i_1}\wedge\cdots\widehat e_{i_a}\cdots\wedge e_{i_j}. $$
二つの削除順の符号が逆なので $\partial^2=0$。一元を加えた複体は旧複体のその元倍のconeである。coneの長完全列から、旧正次数ホモロジーが零なら新 $H_1$ は旧 $H_0$ 上の掛算の核、新 $H_0$ は余核となる。正則列なのでこの核は零であり、帰納して $K_\bullet\to k$ は長さ $d$ の有限自由分解となる。$\operatorname{Hom}_R(K_\bullet,k)$ は全微分が零で最高項は $k$ だから
$$\operatorname{Ext}^d_R(k,k)=k\ne0.$$
従って $\operatorname{pd}_Rk=d$。空列では $K_0=R=k$ だけなので $d=0$ の下界も同じ式である。
有限生成加群の上界。 有限生成 $M$ の剰余基底を持ち上げて有限自由全射 $F_0\to M$ を作る。核は $\mathfrak mF_0$ に入り、Noether性により有限生成である。核の剰余基底を持ち上げる操作を反復すれば、各項が有限自由で全微分の係数が $\mathfrak m$ に入る分解 $F_\bullet$ を得る。従って
$$H_i(F_\bullet\otimes_R k)=F_i\otimes_R k.$$
ここで必要なTorの二変数比較を確認する。第一象限二重複体 $F_i\otimes_RK_j$ に全微分 $\partial_F\otimes1+(-1)^i1\otimes\partial_K$ を入れる。各固定自由項とのテンソルは増大分解の完全性を保つ。増大写像による二つの比較
$$F_\bullet\otimes_Rk\longleftarrow\operatorname{Tot}(F_\bullet\otimes_RK_\bullet)\longrightarrow M\otimes_RK_\bullet$$
はホモロジー同型である。具体的には各増大写像の核を、増大分解の完全な列で計算する。全次数の有限対角上で、サイクルの外側の非零成分を列の完全性で持ち上げて境界を引くと、その成分が消える。順に隣の成分へ移る操作は有限回で終わり、核のサイクルは境界となる。同じ操作で対象のサイクルの持上げを作れるので比較は全射かつ単射である。これは Tor 関手の記事の二重自由分解による平衡性の元計算である。
右側は $i>d$ で零なので $F_i\otimes_Rk=0$。有限自由項の階数が零となり $F_i=0$、ゆえに $\operatorname{pd}_RM\le d$。この段ではまだ有限生成加群だけを扱っている。
全加群への移行。 任意の加群 $N$ の入射分解を取り、$C_0=N$、$0\to C_j\to J^j\to C_{j+1}\to0$ とする。十分な入射対象の存在と、射影分解のHom複体における長完全列は Ext 関手の記事で構成される。入射項の正次数Extが零なので次数移動により、全イデアル $I$ に対して
$$\operatorname{Ext}^1_R(R/I,C_d)=\operatorname{Ext}^{d+1}_R(R/I,N)=0.$$
右側が零になるのは、$R/I$ が有限生成で前段を適用できるためである。
$0\to I\to R\to R/I\to0$ により全 $I\to C_d$ が $R\to C_d$ へ延長する。Baer判定の元計算は次の通りである。任意 $U\subset V$ の写像をZornで最大延長し、その定義域を $U'$ とする。$v\notin U'$ があれば $I=\{a:av\in U'\}$ と写像 $a\mapsto f(av)$ を作る。その延長を $a\mapsto ac$ と書くと、$u+av\mapsto f(u)+ac$ は $U'+Rv$ 上の写像である。表示の差では $a\in I$ が現れるためよく定義され、最大性に矛盾する。従って $C_d$ は入射的である。
これにより全 $L,N$ で $\operatorname{Ext}^{d+1}_R(L,N)=0$。任意 $L$ の自由分解を $d$ 段切った $d$ 回目のsyzygy $Z_d$ は、次数移動で全 $N$ に対し $\operatorname{Ext}^1_R(Z_d,N)=0$ を満たす。自由全射 $P\to Z_d$ の核を係数 $N$ に使うとその拡大が分裂し、$Z_d$ は射影となる。ゆえに無限生成も含め全 $L$ で $\operatorname{pd}_RL\le d$。$d=0$ は $Z_0=L$、$C_0=N$ と読む。剰余体の下界と合わせて結論を得る。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ の場合は自明なので、以下では $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。$N=0$ の場合は $\mathcal N=0$ であり、$c=0$ とすれば結論は自明である。以下では $N\ne0$ とする。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

$s=0$ なら環は体であり次元零である。$s\ge1$ なら上の長さ上界を $I=\mathfrak m$ に適用する。長さ $s+1$ の素鎖があれば下界は正定数倍の $n^{s+1}$、上界は次数 $s$ の多項式となり矛盾する。従って次元は $s$ 以下である。

最小分解の終端。
有限加群 $M$ の $M/\mathfrak mM$ の基底を持ち上げると有限自由全射を得る。その核は極大イデアル倍に入り、Noether性で有限である。反復して全微分の係数が $\mathfrak m$ に入る最小自由分解 $F$ を得る。係数 $k$ とのテンソル後は微分零だから $\operatorname{Tor}_i(M,k)=F_i\otimes k$。比較写像は射影性により次数順に持ち上げ、二比較の差は同じ次数順に $dh+hd$ として解くのでTorは分解によらない。有限射影次元なら高次Torは零、有限自由項の剰余が零なら項は零であり、最小分解は有限長で終わる。
$\operatorname{pd}_A k=r<\infty$ とする。$\mathfrak m\ne0$ なら $r\ne0$：$k$ が有限射影なら有限自由で、剰余階数一から $k\simeq A$、零化イデアルが零となる。従って $r\ge1$、$F_r\ne0$ の最高微分は単射である。もし $\mathfrak ma=0$ となる $a\ne0$ があれば $aF_r$ は最高微分の核となり矛盾する。従って $\mathfrak m\notin\operatorname{Ass}A$。深さ零の場合の矛盾はこのsocle計算であり、未証明の深さ公式を代用しない。
非零因子と最小生成元の両立。
有限Assと零因子の合併表示を使う。各最大零化イデアルが素であるのは、$abv=0,bv\ne0$ なら $\operatorname{Ann}(v)\subset\operatorname{Ann}(bv)$、極大性から等号となり $a\in\operatorname{Ann}(v)$ だからである。Noether性でこの操作と素巡回商の反復を有限素フィルトレーションにでき、Ass有限と零因子検出を得る。
$s=\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2>0$ とする。有限Assの包含冗長な素を除く。全て真に $\mathfrak m$ に含まれ、$\mathfrak m^2$ もどの素に含まれない（含まれれば素性から $\mathfrak m$ が含まれる）。$y\in\mathfrak m\setminus\mathfrak m^2$ を取る。$y$ を含む各素 $\mathfrak p_i$ に対し、他の各素から $\mathfrak p_i$ の外の元と $\mathfrak m^2\setminus\mathfrak p_i$ の元の積 $b_i$ を作る。$b_i$ は他の素と $\mathfrak m^2$ に入り、自身の素を避ける。すると $x=y+\sum b_i$ は全Assと $\mathfrak m^2$ を避ける。剰余体の無限性は不要である。$x$ は非零因子で最小生成系の一員となる。
商へ移すのは極大イデアルの分解。
$B=A/xA$ とし $\mathfrak m=(x,x_2,\ldots,x_s)$、$\mathfrak b=(x_2,\ldots,x_s)$ と置く。有限長最小分解の次数零を除いて $\mathfrak m$ の有限自由分解を得る。$0\to A\xrightarrow{x}A\to B\to0$ と $x$ の $\mathfrak m$ 上の単射性から $\operatorname{Tor}_i^A(\mathfrak m,B)=0$（$i>0$）。二重自由分解の有限対角消去でこのTorを計算しても同じなので、分解を $B$ とテンソルすると $\mathfrak m/x\mathfrak m$ の有限自由分解になる。
$\mathfrak b\cap xA\subset x\mathfrak m$ を示す。$xa=\sum_{i\ge2}a_ix_i$ で $a$ が単元なら、剰余余接空間で $x$ の像が他の基底の線型結合となり矛盾する。従って $a\in\mathfrak m$。この包含により
$$\mathfrak m/xA=\mathfrak b/(\mathfrak b\cap xA)\longrightarrow\mathfrak m/x\mathfrak m$$
が定まり、自然全射との合成は恒等となる。従って $\mathfrak m/xA$ は直和因子で有限射影次元を持つ。直和因子への有限pd移送は全係数Extの直和分解と次数移動で確認できる：高次Ext消滅から末尾syzygyの一次Extが全て零、自由全射に対する拡大を分裂させれば射影となる。最後に $0\to\mathfrak m/xA\to B\to k\to0$ に分解を接続すれば $\operatorname{pd}_B k<\infty$。
ここでは $\operatorname{pd}_B k=\operatorname{pd}_A k-1$ という別公式を仮定していない。必要なのは有限性の移送だけである。任意の正則元について商の有限pdが保たれることは使わない。$x\notin\mathfrak m^2$ が直和因子に必須である。
埋め込み次元帰納と次元。
$s=0$ は有限Nakayamaで $\mathfrak m=0$、体である。前の三段により $s>0$ では $B$ の埋め込み次元は $s-1$、その剰余体の射影次元は有限となる。帰納法で $B$ は正則、$\dim B=s-1$。
$B$ は正則で $\dim B=s-1$ なので、長さ $s-1$ の素鎖を取れる。その鎖を $A$ に戻し、初項の下に $A$ の極小素を置く。極小素はAssに含まれ、非零因子 $x$ を避けるので追加包含は真であり $\dim A\ge s$。一方 $\mathfrak m$ は $s$ 元生成で、$\mathfrak m$ 自身がこのイデアル上の極小素だから上の生成数上界より $\dim A=\operatorname{ht}\mathfrak m\le s$。従って $\dim A=s$、正則性を得る。
有限Assと極小素の補完。
任意の非零有限加群で非零元の零化イデアルの極大元を取ると前の積の計算で素となり、素巡回部分加群を得る。商で繰り返すと部分加群の真上昇列となり、Noether性により有限段で終了する。これで有限素フィルトレーションを得る。
$0\to U\to M\to V\to0$ で $\mathfrak p=\operatorname{Ann}(w)$ が素なら、$Aw\cap U=0$ の場合は商の像の零化イデアルが $\mathfrak p$。交叉が非零なら $aw\ne0$ が交叉に入り、$a\notin\mathfrak p$ だから $\operatorname{Ann}(aw)=\mathfrak p$。従って $\operatorname{Ass}M\subset\operatorname{Ass}U\cup\operatorname{Ass}V$。素巡回加群 $A/\mathfrak p$ の非零元の零化イデアルは $\mathfrak p$ なので、フィルトレーションからAss有限となる。
元 $a$ が零因子なら $0\ne W=\{w:aw=0\}$ が有限加群であり、Wの最大零化イデアルは同じ積の論証で素で、$a$ を含むAssMの一元を得る。逆方向はAssの定義から即座に従う。従って零因子集合はAssの合併である。
極小素 $\mathfrak p$ がAssAに入ることも補う。$A_{\mathfrak p}$ は極大素しか持たないNoether局所環で、その極大イデアルは有限生成冪零である。実際各生成元は唯一の素に入るため冪零で、有限個の指数を足せば極大イデアルの冪が零となる。最後の非零冪の元（体なら1）がsocle元となる。その代表 $w/s$ の零化イデアルは局所で $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$。$\mathfrak p$ の有限生成元を全て $w$ 上零にする共通分母 $u\notin\mathfrak p$ を選べば $v=uw$ は局所で非零、$\mathfrak pv=0$。$cv=0$ なら局所で $c/1$ は極大イデアルに入るので $c\in\mathfrak p$。よって $\operatorname{Ann}_A(v)=\mathfrak p$。
十分な入射対象の構成。 加法群 $\mathbb Q/\mathbb Z$ は可除である。零イデアルからの写像は零写像に延長する。非零の整数イデアルは $n\ge1$ の $n\mathbb Z$ であり、そこからの写像は生成元の像を $n$ で割れば $\mathbb Z$ 全体へ延長できる。したがって上のBaer元計算により $\mathbb Q/\mathbb Z$ は整数上入射である。非零元 $m$ が生成する巡回部分群から非零写像を作れる。有限位数 $n$ なら $m\mapsto1/n+\mathbb Z$、無限位数なら例えば $m\mapsto1/2+\mathbb Z$ とする。入射性により全加法群へ延長でき、各非零元を検出する。
$J=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(A,\mathbb Q/\mathbb Z)$ に $(a\phi)(b)=\phi(ba)$ というA作用を入れる。評価1と $f\mapsto[m\mapsto(a\mapsto f(am))]$ は互いに逆であり
$$\operatorname{Hom}_A(M,J)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(M,\mathbb Q/\mathbb Z)$$
となる。右辺は単射に対する延長を許すのでJはA上入射である。全加法写像 $f:M\to\mathbb Q/\mathbb Z$ を添字とする積へ、$m\mapsto(a\mapsto f(am))_f$ と送ると、上の検出性から単射である。入射加群の任意積は各座標で延長して入射となる。従って任意Mは入射加群に埋め込め、その余核について反復すれば入射分解を得る。これで全加群上界に用いる入射分解の存在も示された。
全加群の量化。 $r=\operatorname{pd}_A k<\infty$ から有限Mへの上界を得るには、前の正則順方向証明の二重自由分解の有限対角消去を、kの長さrの分解とMの最小分解に適用する。これで $\operatorname{Tor}_i(M,k)=0$（i>r）、最小自由項が消えて $\operatorname{pd}M\le r$。特に全イデアルIのA/Iにこの上界が成り立つ。本記事の巡回判定の入射分解とBaerの元計算により、無限生成も含む全加群の上界がrとなる。直和因子への有限pd移送は、本記事の全係数Ext消滅判定とExtの有限直和分解により行う。各加群の自由分解の有限直和は直和加群の自由分解となり、Homを施すと有限直和に分かれるため、このExtの分解が成立する。
正則から有限pdと値の一致は前の正則順方向で証明した。有限gldimなら定義から剰余体pdは有限であり、上の逆証明で正則となる。これで全同値と数値の一致を得る。

任意の $R_{\mathfrak p}$ 加群をR加群と見なし有限長射影分解を取る。局所化は完全で、射影項は自由の直和因子なので局所化後も射影である。従って局所化の大域次元は元の有限値以下であり、局所剰余体のpdも有限となる。前の逆判定を適用すればよい。零環はこの命題から除き、冒頭の別規約を保持する。

$A$ の極大イデアルは有限生成なので、上の生成数上界から $d=\dim A<\infty$。正則局所環の順方向により $\operatorname{gldim}A=d$ である。
任意の $A_{\mathfrak p}$ 加群 $M$ を $A$ 加群とみなし、長さ $d$ 以下の射影分解を取る。局所化の完全性を元で確かめる。完全列の二写像を $f,g$ とし、$b/s$ が局所化した $g$ の核に入れば、ある $t\notin\mathfrak p$ で $tg(b)=0$。従って $tb\in\ker g=\operatorname{im}f$ なので $tb=f(a)$ と書け、
$$\frac b s=f\left(\frac a{ts}\right).$$
逆包含は合成零から従う。単射保存も、局所化後零なら一分母を掛けて元の核へ戻す同じ計算で得られ、全射保存は代表の持上げによる。これで分解の完全性は保たれる。
射影加群は自由の直和因子である。分裂の二写像を局所化すれば合成恒等は保存され、自由加群の局所化は同じ基底の自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群となる。従って射影項は局所化後も射影である。$M$ は既に $A_{\mathfrak p}$ 加群なので、自然写像 $M\to M_{\mathfrak p}$ は同型。逆写像は $m/s\mapsto s^{-1}m$ であり、分母の釣合いが well-defined 性を保証する。
局所化が非零Noether局所環である根拠も確認する。$1=0$ が $A_{\mathfrak p}$ で成立すれば、ある $s\notin\mathfrak p$ に対し $s\cdot1=0$、すなわち $s=0\in\mathfrak p$ となり矛盾する。局所化のイデアル $J$ は $J=(J\cap A)A_{\mathfrak p}$ である。実際 $a/s\in J$ なら分母が単元なので $a/1\in J$、逆に収縮の元を分母で割っても $J$ に留まる。収縮はNoether環 $A$ の有限生成イデアルだから、同じ有限生成元が $J$ を生成し、局所化もNoetherとなる。$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ の商は整域 $A/\mathfrak p$ の非零元を反転した体なので、このイデアルは真である。$a/s$ が $a\notin\mathfrak p$ を満たせば逆元は $s/a$、$a\in\mathfrak p$ なら真イデアル $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ に属して非単元となる。従って非単元はちょうどこのイデアルに集まり、唯一の極大イデアルである。
従って局所化後の列は $M$ 自身の長さ $d$ 以下の射影分解である。任意の $M$ を量化したから $\operatorname{gldim}A_{\mathfrak p}\le d$。$A_{\mathfrak p}$ は非零Noether局所環であり、その剰余体の射影次元も有限となる。前の逆判定で正則性を得る。正則性の局所化を逆判定の証明に使用しておらず、ここは完成した順・逆判定の後の帰結なので循環しない。

素点条件から極大点条件は極大イデアルが素であることによる。逆に素 $\mathfrak p$ を固定する。$R/\mathfrak p$ の真イデアルの鎖の和集合は $1$ を含まないので、Zornの補題で極大イデアルを選べる。逆像は $\mathfrak p$ を含む $R$ の極大イデアル $\mathfrak m$ である。
$\mathfrak q=\mathfrak pR_{\mathfrak m}$ は素である。商は整域 $R/\mathfrak p$ の局所化であり、反転集合 $R\setminus\mathfrak m$ が $\mathfrak p$ を避けるため非零である。この整域からその局所化への写像は単射なので、$R\to R_{\mathfrak m}/\mathfrak q$ の核はちょうど $\mathfrak p$ であり、$\mathfrak q$ の収縮も $\mathfrak p$ と確認できる。二重局所化について
$$(R_{\mathfrak m})_{\mathfrak pR_{\mathfrak m}}\simeq R_{\mathfrak p}$$
を写像で確かめる。$R\to R_{\mathfrak p}$ は $R\setminus\mathfrak m$ を既に反転し、$R_{\mathfrak m}$ の $\mathfrak q$ 外の元 $a/s$ は $a\notin\mathfrak p$ だから $R_{\mathfrak p}$ で単元となる。これが左辺から右辺への写像を与える。逆に $R$ から左辺への写像は $R\setminus\mathfrak p$ の元 $a$ を $a/1$ として $\mathfrak q$ 外で反転するため、右辺から左辺への写像を与える。両合成は $R$ の元とその反転元の生成系で恒等となる。
仮定により $R_{\mathfrak m}$ は正則局所環である。前の局所化定理を適用すれば $R_{\mathfrak p}$ も正則となる。必要な有限次元は各局所環 $R_{\mathfrak m}$ の生成数上界だけから得ており、極大イデアル全体で共通の次元上限を取っていない。零環には素も極大も存在しないが、数値的な大域次元とKrull次元の別規約は冒頭のまま保つ。

局所射影から大域射影へ。 有限表示加群 $K$ の全局所化 $K_{\mathfrak p}$ が射影なら $K$ は射影である。有限自由全射 $\pi:F\to K$ を選ぶ。有限表示性から
$$\operatorname{Hom}_R(K,F)_{\mathfrak p}\cong\operatorname{Hom}_{R_{\mathfrak p}}(K_{\mathfrak p},F_{\mathfrak p}).$$
この同型を分母で確認する。有限生成元の局所像の分母をまとめて払うと自由生成元上の写像を得る。有限個の関係の像は局所化後に零なので、それらを一斉に殺す素イデアル外の追加分母を掛ければ $K$ 上の写像になる。零写像の判定も有限生成元の像を殺す分母の積で行える。
局所sectionを $t/a$（$a\notin\mathfrak p$）と書く。$\pi t-a\operatorname{id}_K$ は局所で零だから、有限生成元に対し共通の $b\notin\mathfrak p$ を選び
$$\pi(bt)=ab\operatorname{id}_K$$
とできる。こうして各素の外の $c_{\mathfrak p}=ab$ と $u_{\mathfrak p}:K\to F$ に対し $\pi u_{\mathfrak p}=c_{\mathfrak p}\operatorname{id}_K$。全ての $c_{\mathfrak p}$ の生成イデアルは真イデアルではない。真ならZornにより極大イデアルに含まれ、その素に対応する $c_{\mathfrak p}$ が外にあることに矛盾する。従って有限個の $c_i,r_i$ で $\sum_i r_ic_i=1$ とでき、$u=\sum_i r_iu_i$ は $\pi u=\operatorname{id}_K$ を満たす。$K$ は有限自由の直和因子である。
有限次元の上界。 $d=\dim R<\infty$ とする。任意のイデアル $I$ に対し $K_0=R/I$ とし、Noether性により有限自由全射を繰り返して
$$0\longrightarrow K_{i+1}\longrightarrow F_i\longrightarrow K_i\longrightarrow0\qquad(0\le i< d)$$
を作る。全 $K_i$ は有限生成かつ有限表示である。各素 $\mathfrak p$ で $\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}\mathfrak p\le d$。前の局所定理により $\operatorname{pd}_{R_{\mathfrak p}}(R/I)_{\mathfrak p}\le d$ なので、次元移動で全局所加群 $N$ に対し
$$\operatorname{Ext}^1_{R_{\mathfrak p}}((K_d)_{\mathfrak p},N)=0.$$
自由全射への拡大を分裂させると $(K_d)_{\mathfrak p}$ は射影。前段から $K_d$ は大域射影で、$\operatorname{pd}_R(R/I)\le d$ を得る。$d=0$ では分解を作らず $K_0=R/I$ に局所射影判定を直接適用する。$I=R$ の零加群も自明である。
全イデアル $I$ を量化する本記事の巡回判定から $\operatorname{gldim}R\le d$。有限生成加群だけの上界を無限生成に無条件に移したのではなく、入射性の全イデアル判定で全加群へ戻している。
下界と無限次元。 任意の $R_{\mathfrak p}$ 加群 $L$ を $R$ 加群とみなし、その射影分解を局所化する。局所化は完全であり、射影は自由の直和因子だから局所化後も射影となる。従って
$$\operatorname{gldim}R\ge\operatorname{gldim}R_{\mathfrak p}=\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}\mathfrak p.$$
全素の高さの上限は $\dim R$ である。各有限素鎖は終点の高さ以下で、逆に高さはそのような鎖の長さの上限だからである。有限次元ではこれと上界で等式を得る。$\dim R=\infty$ なら任意の整数を超える素鎖があり、同じ下界から大域次元も無限大になる。無限次元の場合に有限長の上界帰納を使用していない。
ここでは正則性の定義を全素局所化で固定した。前の cor-gd-regular-maximal-prime により、この定義は全極大局所化での正則性とも同値である。有限大域次元から正則性を得る逆方向は、前の thm-gd-regular-local-converse とその系で証明した。

まず任意の単位環 $R$ と中心変数の多項式環 $S=R[X]$ を考える。加群は単位的左加群とし、有限生成性を仮定しない。以下の次数添字は鎖複体の規約で、微分は次数を1下げる。
誘導加群の短完全列。 $S=R[X]$ とし、任意の左 $S$ 加群 $M$ を $R$ 加群にもみなす。$P=S\otimes_R M$ 上で
$$\delta(X^i\otimes m)=X^{i+1}\otimes m-X^i\otimes Xm,\qquad \varepsilon(X^i\otimes m)=X^im$$
と定める。両写像は $S$ 線形で、$\varepsilon$ は全射、$\varepsilon\delta=0$ である。右 $R$ 加群として $S=\bigoplus_{i\ge0}X^iR$ なので、$P$ の元は有限和 $\sum_{i=0}^N X^i\otimes m_i$ と一意に書ける。最高非零係数が $m_N$ なら、その $\delta$ 像の第 $N+1$ 係数は $m_N$ であり、$\delta$ は単射である。
$i\ge1$ について望遠和を計算すると
$$X^i\otimes m-1\otimes X^im =\delta\left(\sum_{j=0}^{i-1}X^j\otimes X^{i-1-j}m\right).$$
従って $\varepsilon(\sum X^i\otimes m_i)=0$ なら、その元は $\operatorname{im}\delta$ を法として $1\otimes\sum X^im_i=0$ となる。よって
$$0\longrightarrow P\xrightarrow{\delta}P\xrightarrow{\varepsilon}M\longrightarrow0$$
は完全である。
多項式環への上界。 $\operatorname{l.gldim}R\le d<\infty$ とする。任意の $S$ 加群 $M$ の制限 $R$ 加群は長さ $d$ 以下の射影分解をもつ。右 $R$ 自由加群 $S$ とのテンソルは完全であり、射影 $R$ 加群の自由加群への分裂はテンソル後も分裂する。従って誘導加群 $P$ は長さ $d$ 以下の $S$ 射影分解をもつ。自由加群の階数は有限である必要はない。
短完全列の二つの $P$ に射影分解 $U_\bullet,V_\bullet$ を選ぶ。$\delta$ を持ち上げる鎖写像 $f:U_\bullet\to V_\bullet$ は次数帰納で作れる。次数0は全射への射影性による持ち上げである。次数 $i$ では、既に選んだ写像と微分の合成が $V_{i-1}$ の微分の核に入る。完全性でこの核は次の微分の像であり、$U_i$ の射影性で持ち上げれば鎖条件を満たす。
複体 $C_\bullet$ を
$$C_i=V_i\oplus U_{i-1},\qquad d_C(v,u)=(d_Vv+f(u),-d_Uu)$$
とする。ただし負次数の項は零である。鎖条件から $d_C^2=0$。複体の短完全列 $0\to V_\bullet\to C_\bullet\to W_\bullet\to0$ の商は $W_i=U_{i-1}$、微分は $-d_U$ である。ホモロジー長完全列の連結写像は、cycleを持ち上げて微分し、その像を $V$ のcycleとして取れば定義できる。ここでは $f$ の誘導写像、すなわち $\delta$ に一致する。$U,V$ の正次数ホモロジーは零であり、$\delta$ は単射なので、$C$ の正次数ホモロジーも零、$H_0(C)=M$ となる。項は射影で次数 $d+1$ より上は零だから、$\operatorname{pd}_S M\le d+1$。
これは全ての $M$ について成り立ち、$\operatorname{l.gldim}R[X]\le d+1$ を与える。中心変数について $(R[X])^{\mathrm{op}}=R^{\mathrm{op}}[X]$ なので右版も同じ証明で得られる。体 $k$ 上の任意の加群は、Zornの補題で基底を選べば自由である。従って $\operatorname{gldim}k=0$ から帰納して
$$\operatorname{gldim}k[X_1,\ldots,X_n]\le n$$
を得る。
Koszul複体による下界。 $A=k[X_1,\ldots,X_n]$ の列 $X_1,\ldots,X_n$ は正則である。実際、逐次商は残った変数の多項式環であり、次の変数の乗法は単射、最終商は非零の体 $k$ である。
$K_i=\bigwedge^i A^n$ とし、標準基底 $e_1,\ldots,e_n$ について
$$d(e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_i}) =\sum_{\ell=1}^i(-1)^{\ell-1}X_{j_\ell} e_{j_1}\wedge\cdots\wedge\widehat{e_{j_\ell}}\wedge\cdots\wedge e_{j_i}$$
と定める。帽子はその因子を除くことを意味する。二つの因子を除く項は逆符号で対になり、$d^2=0$ である。
列に $X_s$ を加えた複体は、それまでのKoszul複体上の $X_s$ 倍写像のconeとなる。具体的には、外積を $e_s$ を含まない項と含む項に分け、後者の符号を次数に合わせて選べば、上の $C_i=V_i\oplus U_{i-1}$ の微分と一致する。coneの長完全列から、以前の正次数ホモロジーが零なら、新たな $H_1$ は以前の $H_0$ 上の $X_s$ 倍の核、$H_0$ はその余核である。正則性から核は零である。帰納して $K_\bullet$ は $k$ の長さ $n$ の自由分解となる。$n=0$ のときは空列であり、複体は $A=k$ の次数0項だけをもつ。
$\operatorname{Hom}_A(K_\bullet,k)$ の微分は全て零である。各 $X_i$ が $k$ 上零作用するからである。従って
$$\operatorname{Ext}_A^n(k,k) =\operatorname{Hom}_A\left(\bigwedge^n A^n,k\right)=k\ne0.$$
$n=0$ ではこれは $\operatorname{Hom}_k(k,k)=k$ である。ゆえに $\operatorname{pd}_A k\ge n$。
この計算が分解の選択に依らないことも確認できる。二つの射影分解の比較写像は上の次数帰納で作れる。同じ増大写像を持ち上げた二写像 $f,g$ の差は、次数0で境界に持ち上げて $h_0$ を取り、以後 $f_i-g_i-h_{i-1}d$ を境界に持ち上げて $h_i$ を取れば、$f-g=dh+hd$ となる。双対するとHom複体のホモトピーとなり、コホモロジーは同じになる。従って長さ $n-1$ 以下の分解が存在すれば $n$ 次Extが零となり、上の計算に反する。
上界と下界を合わせて $\operatorname{gldim}A=\operatorname{pd}_A k=n$。可換環では左右の加群を交換できるので、左右大域次元は一致する。全加群の上界を有限生成加群だけの議論で置き換えてはいない。
$\square$