右吸収元
概要
右吸収元（right absorbing element）とは、マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $z$ であって、すべての $a\in M$ に対して $a\cdot z=z$ を満たすもののことで、右零元ともいう。左からの作用には何も要求しないので吸収元と違って一意とは限らず、$x\cdot y:=y$ という結合的な演算ではすべての元が右吸収元になり、冪集合に $A\cdot B:=B\setminus A$ を入れると空集合が唯一の右吸収元だが左吸収元はない。可換なマグマでは右吸収元は吸収元であり、左吸収元と右吸収元がともにあれば両者は一致する。半群では右吸収元の全体は（空でなければ）最小の両側イデアルをなし、その上の演算は $x\cdot y=y$ である。
定義
集合 $M$ と二項演算 $\cdot\colon M\times M\to M$ の組 $\langle M,\cdot\rangle$ をマグマ（magma）という。結合律 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ も可換律 $a\cdot b=b\cdot a$ も仮定しない。結合律を満たすマグマを半群（semigroup）という。本記事では、マグマの中で「右からかけられた相手を自分自身に変えてしまう元」を扱う。
マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $z$ が、$M$ のすべての元 $a$ に対して
$$
a\cdot z=z
$$
を満たすとき、$z$ を $\langle M,\cdot\rangle$ の右吸収元（right absorbing element）または右零元（right zero）という。
条件は $M$ のすべての元 $a$ についての要求であり、$a=z$ の場合も含む。とくに右吸収元 $z$ はつねに $z\cdot z=z$ を満たす。左右を入れ替えた条件「すべての $a\in M$ に対して $z\cdot a=z$」を満たす元は左吸収元とよばれ、両方の条件を満たす元が吸収元である。
右吸収元の条件は、「$a\mapsto a\cdot z$」という写像、すなわち $z$ による右移動（Bou89 Ch. I, §2, no. 2, Definition 4, p. 14）が、値がつねに $z$ の定値写像であることと同じである。右単位元が右移動を恒等写像にする元であったのと対照的に、右吸収元は右移動を一点に潰す元である。
右吸収元という名前に反して、右吸収元は一意とは限らない（rem-right-absorbing-element-counterexample）。また、右吸収元が存在しても左吸収元が存在するとは限らない（ex-right-absorbing-element-difference、prop-right-absorbing-element-right-projection）。この二点が、両側の条件を課す吸収元との違いである。
直感
右吸収元は「右からぶつけられた相手を飲み込んで自分に変えてしまう元」である。吸収元と違って左からの作用については何も要求しないので、左右の条件が独立に効く一般のマグマでは、右吸収元だけがある、右吸収元がいくつもある、という状況が実際に起こる。集合の差をとる演算で、引かれる側に空集合を置けば結果はつねに空集合になるのに、引く側に空集合を置くと相手がそのまま残ることが、左右を分けて考える必要があることを端的に示している。
半群では、右吸収元は「一度そこへ落ちると、右から何をかけても右吸収元の集まりから出られない」元の集まりをなす。これは後の thm-right-absorbing-element-ideal で、右吸収元の全体が半群の最小のイデアルになるという形で述べる。
例と反例
吸収元をもつマグマでは、その吸収元は定義の右側の条件だけを取り出せば右吸収元である。$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ の $0$ と、集合 $X$ の冪集合 $\mathcal{P}(X)$ に共通部分 $\cap$ を入れたマグマの $\emptyset$ がその例であり、それぞれ $a\times0=0$、$A\cap\emptyset=\emptyset$ が成り立つ。また、任意の二元が比較できる全順序集合（全順序）$L$ が最小元 $m$ をもつとき、$a\cdot b:=\min(a,b)$ で定めたマグマでは、すべての $a\in L$ で $m\le a$ だから $a\cdot m=\min(a,m)=m$ であり、$m$ は右吸収元である。$0$ と $\emptyset$ が両側の吸収元であること、およびそのときの一意性は吸収元の記事が扱う。$\min(m,a)=m$ でもあるから $m$ は左吸収元でもある。三つの例はいずれも左吸収元をもつので、これらのマグマでは右吸収元もこの一つだけである（rem-right-absorbing-element-two-sided）。
$X$ を空でない集合とし、冪集合 $\mathcal{P}(X)$ に「第2成分から第1成分を引く」演算 $A\cdot B:=B\setminus A$ を入れたマグマを考える。$\emptyset$ は右吸収元である（任意の $A\subset X$ に対し $A\cdot\emptyset=\emptyset\setminus A=\emptyset$）。しかも右吸収元はこれだけである。実際、$Z$ が右吸収元ならば $A=X$ の場合から $Z=X\cdot Z=Z\setminus X=\emptyset$ を得る。一方、左吸収元は存在しない。$W$ が左吸収元ならば、$A=\emptyset$ の場合から $W=W\cdot\emptyset=\emptyset\setminus W=\emptyset$ でなければならないが、$A=X$ の場合は $W\cdot X=X\setminus\emptyset=X$ であり、$X\neq\emptyset$ だから $W\cdot X\neq W$ となって矛盾する。したがって、右吸収元が（しかもただ一つ）存在することは、左吸収元が存在することを導かない。この演算は結合的でも可換でもない。$x\in X$ を一つとると、$(\{x\}\cdot\emptyset)\cdot\{x\}=\emptyset\cdot\{x\}=\{x\}$ に対して $\{x\}\cdot(\emptyset\cdot\{x\})=\{x\}\cdot\{x\}=\emptyset$ であり、$\{x\}\cdot\emptyset=\emptyset$ に対して $\emptyset\cdot\{x\}=\{x\}$ である。
相異なる二元からなる集合 $M=\{a,b\}$ に、右の元をそのまま返す演算 $x\cdot y:=y$ を入れる。演算表は次のとおりで、$x$ の行と $y$ の列の交わりに $x\cdot y$ を書いている。
| $\cdot$ | $a$ | $b$ |
|---|---|---|
| $a$ | $a$ | $b$ |
| $b$ | $a$ | $b$ |
このマグマは性質 $P$「右吸収元をもつ」を満たすが、性質 $Q$「右吸収元はただ一つである」を満たさない。実際、$a\cdot a=a$ と $b\cdot a=a$ から $a$ は右吸収元であり、$a\cdot b=b$ と $b\cdot b=b$ から $b$ も右吸収元である。よって含意 $P\Rightarrow Q$ は成り立たない。さらにこのマグマは性質 $R$「左吸収元をもつ」も満たさないので、含意 $P\Rightarrow R$ も成り立たない。$a\cdot b=b\neq a=b\cdot a$ なので可換でもない。
この演算は結合的である（prop-right-absorbing-element-right-projection）。したがって、結合律を仮定しても右吸収元の一意性は回復しない。同じ現象は $M$ が二元以上であればつねに起こる。
$n\ge1$ とし、零でない列ベクトル $u\in\mathbb{R}^n$ を固定する。${}^tv\,u=1$ を満たす列ベクトル $v\in\mathbb{R}^n$ について $n$ 次正方行列 $u\,{}^tv$ をとり、それらの全体を $R_u$ とする。$R_u$ の二元 $u\,{}^tv$、$u\,{}^tw$ の積は、行列の積の結合性と ${}^tv\,u=1$（$1\times1$ 行列）から
$$
(u\,{}^tv)(u\,{}^tw)=u\,({}^tv\,u)\,{}^tw=u\,{}^tw
$$
となる。よって $R_u$ は積で閉じた半群であり、その演算は $x\cdot y=y$、すなわち $R_u$ のすべての元が右吸収元である。$u\,{}^tv=u\,{}^tv'$ なら、左から ${}^tu$ を掛けて ${}^tu\,u\neq0$ で割ると ${}^tv={}^tv'$ となるので、元の個数は条件 ${}^tv\,u=1$ を満たす $v$ の個数に等しい。$n\ge2$ ならそのような $v$ は無限にあるので、$R_u$ は右吸収元が無限にある半群である。
$n=2$、$u={}^t(1,0)$ とすると $R_u$ は $\begin{pmatrix}1&b\\0&0\end{pmatrix}$（$b\in\mathbb{R}$）の全体である。これらは左単位元の記事の例「左単位元が無限にある行列のマグマ」の左単位元 $E_b$ にほかならず、そこでは大きな半群の左単位元だった行列が、互いの間では右吸収元としてふるまう。これは同じ記事の命題「左単位元全体のなす部分マグマ」が述べる演算 $x\cdot y=y$ の具体例である。
性質
$M$ を空でない集合とし、$x\cdot y:=y$ によって $M$ 上の二項演算を定める。このとき次が成り立つ。
- $\langle M,\cdot\rangle$ は結合的である。
- $M$ のすべての元が $\langle M,\cdot\rangle$ の右吸収元である。
- $M$ が二つ以上の元をもつならば、$\langle M,\cdot\rangle$ に左吸収元は存在せず、したがって吸収元も存在しない。
- $M$ が一つの元 $x$ だけからなるならば、$x$ は吸収元である。
$\cdot$ が二項演算であることは、第2成分への射影 $M\times M\to M$、$(x,y)\mapsto y$ が写像であることによる。
- 任意の $x,y,z\in M$ に対し $(x\cdot y)\cdot z=z$ であり、$x\cdot(y\cdot z)=y\cdot z=z$ である。両者は一致する。
- $z\in M$ を任意にとる。任意の $a\in M$ に対して $a\cdot z=z$ が定義から成り立つので、$z$ は右吸収元である。$M$ は空でないので、右吸収元は少なくとも一つ存在する。
- $w$ が左吸収元であるとすると、任意の $a\in M$ に対して $w=w\cdot a=a$ となる。よって $M=\{w\}$ となり、$M$ が二つ以上の元をもつことに反する。左吸収元が存在しないので、吸収元も存在しない。
- $M=\{x\}$ のとき $x\cdot x=x$ であり、左右いずれの条件も満たす。$\square$
すべての元が右吸収元である半群、すなわち演算が $x\cdot y=y$ である半群を右零半群（right zero semigroup）という。ex-right-absorbing-element-matrix の $R_u$ は右零半群である。
可換なマグマ $\langle M,\cdot\rangle$（すべての $a,b\in M$ で $a\cdot b=b\cdot a$）の右吸収元は、吸収元である。
$z$ を右吸収元とする。任意の $a\in M$ に対し、可換性から $z\cdot a=a\cdot z$ であり、右吸収元の定義から $a\cdot z=z$ である。よって $z\cdot a=a\cdot z=z$ が成り立ち、$z$ は左吸収元でもある。すなわち $z$ は吸収元である。$\square$
rem-right-absorbing-element-two-sided と合わせると、可換なマグマの右吸収元は、存在すればただ一つである。$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ の $0$ がその例である。逆に、rem-right-absorbing-element-counterexample のマグマは可換でないので、この命題とは矛盾しない。
$z$ が $\langle M,\cdot\rangle$ の右吸収元であるとは、すべての $a\in M$ で $a\cdot z=z$ が成り立つことであり、$*$ の定義から $z*a=a\cdot z$ であるから、これはすべての $a\in M$ で $z*a=z$ が成り立つこと、すなわち $z$ が $\langle M,*\rangle$ の左吸収元であることと同じである。$\square$
以下、半群 $\langle S,\cdot\rangle$ の部分集合 $I$ について、$S\cdot I:=\{s\cdot i\mid s\in S,\ i\in I\}$、$I\cdot S:=\{i\cdot s\mid i\in I,\ s\in S\}$ と書く。空でない $I$ が $I\cdot S\subset I$ を満たすとき右イデアル、$S\cdot I\subset I$ を満たすとき左イデアル、両方を満たすとき両側イデアルという。元 $z$ が右吸収元であることは、$S\cdot\{z\}=\{z\}$、すなわち一点集合 $\{z\}$ が左イデアルであることと同じである。
半群 $\langle S,\cdot\rangle$ の右吸収元全体を $Z_R$ とし、$Z_R\neq\emptyset$ と仮定する。このとき次が成り立つ。
- $Z_R$ は $S$ の両側イデアルである。すなわち、$z\in Z_R$、$s\in S$ ならば $s\cdot z\in Z_R$ かつ $z\cdot s\in Z_R$ である。
- $Z_R$ は $S$ のすべての右イデアルに含まれる。したがって $Z_R$ は $S$ の最小の右イデアルであり、最小の両側イデアルでもある。
- $Z_R$ の上での演算は $x\cdot y=y$ であり、$Z_R$ は右零半群である。
- $z\in Z_R$、$s\in S$ とする。右吸収元の定義から $s\cdot z=z\in Z_R$ である。次に $z\cdot s$ を考える。任意の $a\in S$ に対して、結合律と $a\cdot z=z$ から
$$ a\cdot(z\cdot s)=(a\cdot z)\cdot s=z\cdot s $$
であり、$z\cdot s$ も右吸収元である。 - $I$ を $S$ の右イデアルとし、$i\in I$ を一つとる。$z\in Z_R$ に対し、右吸収元の条件を $a:=i$ に当てはめると $z=i\cdot z\in I\cdot S\subset I$ である。よって $Z_R\subset I$ である。1 により $Z_R$ 自身が右イデアルかつ両側イデアルであり、両側イデアルは右イデアルなので、$Z_R$ は右イデアルのなかでも両側イデアルのなかでも最小である。
- $x,y\in Z_R$ なら、$y$ が右吸収元であることから $x\cdot y=y$ である。$\square$
thm-right-absorbing-element-ideal の 1 の後半 $z\cdot s\in Z_R$ は結合律を使う。結合律がないと成り立たない：ex-right-absorbing-element-difference のマグマでは右吸収元は $\emptyset$ だけだが、空でない $B$ について $\emptyset\cdot B=B\setminus\emptyset=B$ は右吸収元でない。また 2 から、半群が右吸収元をもつなら、両側イデアルの最小のものがただ一つ存在する。たとえば $\langle\mathbb{R},\times\rangle$ では $Z_R=\{0\}$ が最小の両側イデアルである。
$f\colon\langle M,\cdot\rangle\to\langle N,\ast\rangle$ をマグマの準同型（すべての $x,y\in M$ で $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$）とし、$f$ は全射であるとする。$z$ が $M$ の右吸収元ならば、$f(z)$ は $N$ の右吸収元である。
$b\in N$ を任意にとる。$f$ は全射なので $b=f(a)$ となる $a\in M$ がある。すると $b\ast f(z)=f(a)\ast f(z)=f(a\cdot z)=f(z)$ である。$b$ は任意なので $f(z)$ は右吸収元である。$\square$
全射の仮定は外せない。包含写像 $\{1\}\to\mathbb{Z}$ は乗法について準同型であり、$1$ は一元の半群 $\langle\{1\},\times\rangle$ の右吸収元だが、$\langle\mathbb{Z},\times\rangle$ では $2\times1=2\neq1$ なので右吸収元でない。
次の二つの主張は吸収元の記事で証明されている。
- マグマが左吸収元 $z_L$ と右吸収元 $z_R$ をともにもつならば $z_L=z_R$ であり、この元は吸収元として一意である（命題「左吸収元と右吸収元の一致」）。したがって、左吸収元をもつマグマの右吸収元は高々1つ（存在すればただ1つ）に定まる。同じ主張から、右吸収元が二つ以上あるマグマには左吸収元が存在しないことも従う。prop-right-absorbing-element-right-projection の 2 と 3、ex-right-absorbing-element-matrix は、その状況が実際に起こることを示す例である。
- 元 $z$ が右吸収元であり、かつ右単位元（すべての $a\in M$ に対して $a\cdot z=a$ を満たす元）でもあるならば、$M=\{z\}$ である（命題「吸収元かつ単位元ならば一点マグマ」）。したがって二元以上のマグマでは、右吸収元が右単位元を兼ねることはない。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 可換性 | $x\cdot y:=y$（二元以上） | 右吸収元は吸収元である（prop-right-absorbing-element-commutative） |
| 左吸収元の存在 | $x\cdot y:=y$（二元以上）、$R_u$（$n\ge2$） | 右吸収元はただ一つである |
| 結合律 | 差集合の演算 $A\cdot B:=B\setminus A$ | 右吸収元の全体は両側イデアル（thm-right-absorbing-element-ideal） |
| 準同型の全射性 | 包含 $\{1\}\to\mathbb{Z}$（乗法） | 右吸収元の像は右吸収元（prop-right-absorbing-element-surjective） |
補足：左右の対称性
prop-right-absorbing-element-opposite は、マグマの元が右吸収元であることと、その元が反対マグマの左吸収元であることとが同値であると述べている。反対演算をとる操作を二回行うともとの演算に戻る（右単位元の命題「反対演算による左右の入れ替え」）ので、この同値は右吸収元と左吸収元のあいだの一対一の対応を与える。演算だけを使って書かれた左吸収元についての主張は、この対応で右吸収元についての主張に移る。たとえば thm-right-absorbing-element-ideal を反対半群に当てはめれば、半群の左吸収元の全体は（空でなければ）最小の左イデアルであり、最小の両側イデアルでもある。
端の場合について。$M=\emptyset$（元をもたないマグマ）には右吸収元が存在しない。元がないからである。$M$ が一つの元だけからなるときは、その元が吸収元であり、とくに右吸収元である。
吸収元そのものの性質、吸収元と単位元の関係、環の加法単位元が乗法の吸収元になることは吸収元の記事で扱う。本記事の証明はいずれも有限個の元についての等式の計算と、実数の乗法・行列の積・全順序集合の最小元・共通部分と差集合の基本性質だけからなる。
関連項目
参考文献
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