右単位元

$\cdot$ が二項演算であることは、第1成分への射影 $M\times M\to M$、$(x,y)\mapsto x$ が写像であることによる。

1. 任意の $x,y,z\in M$ に対し $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot z=x$ であり、$x\cdot(y\cdot z)=x$ である。両者は一致する。
2. $e\in M$ を任意にとる。任意の $a\in M$ に対して $a\cdot e=a$ が定義から成り立つので、$e$ は右単位元である。$M$ は空でないので、右単位元は少なくとも一つ存在する。
3. $e$ が左単位元であるとすると、任意の $a\in M$ に対して $a=e\cdot a=e$ となる。よって $M=\{e\}$ となり、$M$ が二つ以上の元をもつことに反する。左単位元が存在しないので、単位元も存在しない。
4. $M=\{x\}$ のとき $x\cdot x=x$ であり、左右いずれの条件も満たす。$\square$

$e$ を右単位元とする。任意の $a\in M$ に対し、可換性から $e\cdot a=a\cdot e$ であり、右単位元の定義から $a\cdot e=a$ である。よって $e\cdot a=a\cdot e=a$ が成り立ち、$e$ は左単位元でもある。すなわち $e$ は単位元である。$\square$

$*$ は、成分を入れ替える写像 $M\times M\to M\times M$、$(x,y)\mapsto(y,x)$ と $\cdot$ の合成なので、$M\times M$ から $M$ への写像、すなわち $M$ 上の二項演算である。
同値性は定義の言い換えである。$e$ が $\langle M,\cdot\rangle$ の右単位元であるとは、すべての $a\in M$ で $a\cdot e=a$ が成り立つことであり、$*$ の定義から $e*a=a\cdot e$ であるから、これはすべての $a\in M$ で $e*a=a$ が成り立つこと、すなわち $e$ が $\langle M,*\rangle$ の左単位元であることと同じである。
$\langle M,*\rangle$ の反対演算を $\star$ と書くとき、任意の $x,y\in M$ に対して $x\star y=y*x=x\cdot y$ となる。最後に $\cdot$ が結合的なら、任意の $x,y,z\in M$ に対して
$$ (x*y)*z=z\cdot(y\cdot x)=(z\cdot y)\cdot x=x*(y*z) $$
である。$\square$

1. $f,g\in S$、$[x]=[y]$ とする。$g(x)=g(y)$ だから $(f\circ g)(x)=(f\circ g)(y)$ であり、$f\circ g\in S$ である。写像の合成は結合的なので、$\langle S,\cdot\rangle$ は半群である。
2. すべての $x$ で $e(x)\in[x]$ とする。$f\in S$ は各ブロックの上で定数だから、$[e(x)]=[x]$ から $f(e(x))=f(x)$ が従い、$f\circ e=f$ である。逆に $e$ が右単位元であるとし、ある $x$ で $e(x)\notin[x]$ だったと仮定する。$h\colon X\to X$ を、$[y]=[x]$ なら $h(y):=x$、そうでなければ $h(y):=e(x)$ と定める。$h$ は各ブロックの上で定数なので $h\in S$ である。$e(x)\notin[x]$ だから $h(e(x))=e(x)$、一方 $h(x)=x$ であり、条件 $h\circ e=h$ から $e(x)=x$ となる。これは $e(x)\notin[x]$ に反する。よってすべての $x$ で $e(x)\in[x]$ である。
   右単位元 $e$ はブロックの上で定数だから、ブロック $B$ ごとに値 $e(B)\in B$ を一つ定める。逆に各ブロック $B$ から元 $r_B\in B$ を選べば、$e(x):=r_{[x]}$ は $S$ に属し、$e(x)\in[x]$ を満たす。二つの対応は互いに逆である。有限の場合の個数は、選び方の数を数えたものである。
3. $y\in X$ に対し、値がつねに $y$ の定値写像 $c_y$ は $S$ に属する。$e$ が左単位元なら $e\circ c_y=c_y$ から $e(y)=y$ である。$y$ は任意なので $e=\mathrm{id}_X$ であり、$\mathrm{id}_X\in S$ はすべてのブロックが一点集合であることを意味する。逆にそのときは $S=X^X$ で、$\mathrm{id}_X$ は単位元である。$\square$

$x\in S$ を任意にとる。結合律と右単位元の条件から
$$ a\cdot(e\cdot x)=(a\cdot e)\cdot x=a\cdot x $$
であり、$a$ を左から簡約して $e\cdot x=x$ を得る。$x$ は任意なので $e$ は左単位元でもあり、単位元である。後半の一意性は、単位元が一意であること（単位元の系「単位元の一意性」）と、単位元をもつマグマの右単位元はその単位元に限ること（rem-right-identity-element-two-sided）による。$\square$

反対マグマ $\langle S,*\rangle$（$x*y:=y\cdot x$）を考える。prop-right-identity-element-opposite により、$\langle S,*\rangle$ は結合的であり、$e$ はその左単位元である。また $a'*a=a\cdot a'=e$ だから、各 $a$ は $\langle S,*\rangle$ で $e$ に関する左逆元 $a'$ をもつ。したがって 群の記事の命題「片側公理による群の特徴づけ」を $\langle S,*\rangle$ に当てはめると、$e$ は $\langle S,*\rangle$ の両側の単位元であり、$a*a'=e$ も成り立つ。
これを演算 $\cdot$ で書き直すと、すべての $a$ について $e\cdot a=a*e=a$ かつ $a\cdot e=a$、さらに $a'\cdot a=a*a'=e$ である。よって $e$ は $\langle S,\cdot\rangle$ の単位元、$a'$ は $a$ の両側の逆元であり、$\langle S,\cdot\rangle$ は群である。$\square$