加群の拡大

$0\to A\to A\oplus C\to C\to0$ を標準入射と射影で作ると、$c\mapsto(0,c)$ がセクションを与える。任意の $A,C$ に対して少なくとも一つの拡大は存在する。

加群 $C$ が射影であるとは、任意の全射 $M\to N$ に沿って全ての線形写像 $C\to N$ を持ち上げられることをいう（入射対象・射影対象を参照）。$C$ が射影なら、拡大の $p:E\to C$ に沿って $1_C$ を持ち上げられるため全ての拡大が分裂する（入射対象・射影対象の記事の命題「射影対象・入射対象への（からの）短完全列は分裂する」）。自由加群では、基底の像の逆像を選び線形に延長すれば持上げが作れる。従って自由加群や、基底を持つ体上のベクトル空間を商側とする拡大は分裂する。ここでは選択公理を認めている。

$m\ge1$ とアーベル群 $A$ に対し、
$$ \operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(\mathbb Z/m\mathbb Z,A)\cong A/mA. $$
実際、$0\to m\mathbb Z\to\mathbb Z\to\mathbb Z/m\mathbb Z\to0$ を使うと、$u:m\mathbb Z\to A$ は $u(m)$ で定まり、$\mathbb Z$ 上からの制限は $m$ 倍された元に対応する。
従って $n\ge1$ に対して
$$ \operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(\mathbb Z/m\mathbb Z,\mathbb Z)\cong\mathbb Z/m\mathbb Z,\qquad \operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(\mathbb Z/m\mathbb Z,\mathbb Z/n\mathbb Z)\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)\mathbb Z. $$
特に $m=n=2$ なら二つの類があり、標準直和と先の $\mathbb Z/4\mathbb Z$ の非分裂拡大がそれらを表す。$m,n$ が互いに素なら全ての拡大は分裂する（Ext関手 の記事の命題「巡回群からの Ext」。ここでの計算は thm-module-extension-presentation をこの表示に当てたもの）。

$p$ を素数とする。$\mathbb Z/p\mathbb Z$ の $\mathbb Z/p\mathbb Z$ による拡大の同値類はちょうど $p$ 個あり、分裂する拡大と、$i=1,\ldots,p-1$ について
$$ E^{(i)}:\quad 0\to\mathbb Z/p\mathbb Z\xrightarrow{\ \bar1\mapsto\bar p\ }\mathbb Z/p^2\mathbb Z\xrightarrow{\ \bar1\mapsto\bar i\ }\mathbb Z/p\mathbb Z\to0 $$
で代表される（Wei94 Exercise 3.4.1, p. 76）。中項が同型でも、$p-1$ 個の相異なる類がある。
このことの証明はExt関手の記事の例「位数 $p$ の巡回群の拡大」にある（同記事の代表は $i_u(1)=up$、$\pi(1)=1$ の形で、ここでの $E^{(i)}$ と同じ $p-1$ 個の類を与える）。

$k$ を体、$R=k[x]$ とし、$k$ を $x$ が $0$ として作用する $R$ 加群とみる。$k$ の $k$ による拡大 $0\to k\xrightarrow{i}E\xrightarrow{p}k\to0$ では、$E$ は $2$ 次元の $k$ ベクトル空間で、$e_1:=i(1)$ と、$p(e_2)=1$ を満たす $e_2$ を基底にとると、$x$ の作用は
$$ x\cdot e_1=0,\qquad x\cdot e_2=c\,e_1\qquad(c\in k) $$
の形になる（$x\cdot e_1=i(x\cdot1)=0$、$p(x\cdot e_2)=x\cdot1=0$ から $x\cdot e_2\in i(k)$）。$c$ は $e_2$ の選び方によらない（$e_2$ を $e_2+se_1$ に替えても $x\cdot(e_2+se_1)=ce_1$）。二つの拡大の間の同値 $t$ は $t(e_1)=e_1'$、$t(e_2)=e_2'+se_1'$ の形で、$x$ の作用と交換することから $c=c'$ が必要十分である。したがって同値類は $c\in k$ と一対一に対応する。群としても $\operatorname{Ext}^1_{k[x]}(k,k)\cong k$ であることは、表示 $0\to k[x]\xrightarrow{x\cdot}k[x]\to k\to0$ に thm-module-extension-presentation を当てはめると分かる：$\operatorname{Hom}_{k[x]}(k[x],k)\cong k$ であり、$h\colon k[x]\to k$ に対し $h(x\cdot f)=x\cdot h(f)=0$ なので分母は $0$ である。分裂するのは $c=0$ のときに限る（切断 $\sigma$ は $x\cdot\sigma(1)=\sigma(x\cdot1)=0$ を満たす必要があるが、$\sigma(1)=e_2+se_1$ なら $x\cdot\sigma(1)=ce_1$）。$c\neq0$ の拡大では $x$ は行列 $\begin{pmatrix}0&c\\0&0\end{pmatrix}$ で作用し、基底を $ce_1,e_2$ に取り替えるとジョルダン細胞 $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ になる。