零射

概要

前提知識: 圏, 零対象

定義

零射

圏 $\mathcal C$ の各対象 $X,Y$ に射 $0_{X,Y}:X\to Y$ が指定され、任意の $f:W\to X$ と $g:Y\to Z$ に対して $0_{X,Y}\circ f=0_{W,Y}$、$g\circ0_{X,Y}=0_{X,Z}$ を満たすとき、$0_{X,Y}$ を零射（zero morphism）という。族 $\{0_{X,Y}\}_{X,Y}$ を零射の体系といい、零射の体系をもつ圏を零射をもつ圏という。

二つの等式を吸収条件とよぶ。前から合成しても後から合成しても零射のままである、という意味である。$0_{X,Y}$ は、どの対象の組についても一本ずつ、しかもすべての合成と両立するように選ばれていなければならない。一つの Hom 集合の中に「零らしい」射があるだけでは零射にならない。零射の体系は圏の公理には含まれない追加の構造だが、後で示すように、存在すれば一意である（prop-zero-morphism-uniqueness）。
零射をもつ圏では、加法圏やアーベル圏の理論の出発点になる核・余核が定義できる。零対象を経由する零射と、零射を因子にもつ合成が零射になることは Mac98 I.5（p. 20）と VIII.1（p. 191）にある。

直感

零射は「情報をまったく伝えない射」を、すべての始域と終域について合成と両立するように選んだものである。アーベル群の零準同型のように、何を入れても零を返す写像を圏の言葉で抽象化している。吸収条件は、零を返す写像の前に何を合成しても零を返し、零を返す写像の後に準同型を合成しても零のままである、という性質を写している。
零射は「零元」をもつ構造に限らない。点付き集合や点付き位相空間では、すべてを基点に送る定値写像が同じ役割を果たす。一方、基点をもたない集合の世界では定値写像の値を一つに決める手立てがなく、零射は存在しない。零射の有無は、圏の対象が「標準的な一点」を共通にもつかどうかを反映している。

例

加群・ベクトル空間の圏

アーベル群の圏、環 $R$ 上の加群の圏、ベクトル空間の圏では、すべての元を零元へ送る準同型（零線形写像）が零射である。$f$ が準同型なら $0\circ f$ はすべての元を $0$ に送り、$g\circ0$ はすべての元を $g(0)=0$ に送るので、吸収条件が成り立つ。

点付き集合の圏

基点つき集合 $(X,x_0)$ と基点を保つ写像の圏 $\mathbf{Set}_*$ では、すべての元を終域の基点に送る写像 $0_{X,Y}(x)=y_0$ が零射である。$0_{X,Y}\circ f$ はすべての元を $y_0$ に送り、基点を保つ $g$ について $g\circ0_{X,Y}$ はすべての元を $g(y_0)=z_0$ に送る。群の圏では、すべての元を単位元に送る準同型が零射である。

零対象を経由する射

零対象を持つ圏では、$X\to0\to Y$ の合成によって零射が標準的に定まる（prop-zero-morphism-from-zero-object）。上の二つの例はどちらもこの形である：零加群、一点集合がそれぞれの零対象である。

一対象圏としての環

零でない環 $R$ を、唯一の対象 $*$ を持ち $\operatorname{Hom}(*,*)=R$（合成は環の乗法、恒等射は $1$）とみなす圏として実現すると、$0\in R$ は任意の射との合成が常に $0$ になるので零射である。しかし、この圏の唯一の対象 $*$ は零対象ではない：$R$ は零環でないので $\operatorname{Hom}(*,*)=R$ は恒等射 $1$ 以外の元を持ち、$*$ から $*$ への射が一つに定まらないため、始対象性・終対象性の定義そのものを満たさない。

零でないアーベル群の圏

零でないアーベル群だけを対象とし、準同型すべてを射とする圏 $\mathcal A$ を考える。零準同型は $\mathcal A$ でも零射の体系をなす。一方 $\mathcal A$ に零対象 $Z$ があれば、$\operatorname{Hom}(Z,Z)$ は一元集合なので $\operatorname{id}_Z$ と零準同型が一致し、$Z=\{0\}$ となって仮定に反する。よって $\mathcal A$ は零射をもつが零対象をもたない。

性質

零対象による零射の構成

圏 $\mathcal C$ が零対象 $0$ を持つとする。このとき:
(1) 各対象の組 $(A,B)$ に対し、終対象 $0$ への一意な射 $\pi_A:A\to0$ と始対象 $0$ からの一意な射 $\iota_B:0\to B$ の合成として定まる射 $0_{A,B}:=\iota_B\circ\pi_A:A\to B$ は、$A,B$ のみから一意に定まる。
(2) こうして定まる族 $\{0_{A,B}\}_{A,B}$ は、任意の $f:X\to A$ と $g:B\to Y$ に対して $0_{A,B}\circ f=0_{X,B}$、$g\circ0_{A,B}=0_{A,Y}$ を満たす。すなわち $\{0_{A,B}\}_{A,B}$ は def-zero-morphism の意味での零射の体系を $\mathcal C$ に与える。

$0$ は終対象であるから、任意の対象 $A$ に対して射 $A\to0$ がちょうど一つ存在する。これを $\pi_A$ と書く。同様に $0$ は始対象であるから、任意の対象 $B$ に対して射 $0\to B$ がちょうど一つ存在する。これを $\iota_B$ と書く。
$\pi_A$ は $A$ のみから一意に定まり、$\iota_B$ は $B$ のみから一意に定まるので、その合成 $0_{A,B}:=\iota_B\circ\pi_A:A\to B$ も $A,B$ の組のみから一意に定まる射である（他の対象や射の選び方には依存しない）。$\square$

を示す。$f:X\to A$ とする。合成 $\pi_A\circ f:X\to0$ は $X$ から終対象 $0$ への射であるから、そのような射はただ一つしかなく、それは $\pi_X$ である。ゆえに
$$\pi_A\circ f=\pi_X.$$
したがって
$$0_{A,B}\circ f=(\iota_B\circ\pi_A)\circ f=\iota_B\circ(\pi_A\circ f)=\iota_B\circ\pi_X=0_{X,B}$$
が成り立つ（合成の結合律を用いた）。
同様に $g:B\to Y$ とする。合成 $g\circ\iota_B:0\to Y$ は始対象 $0$ から $Y$ への射であるから、そのような射はただ一つしかなく、それは $\iota_Y$ である。ゆえに
$$g\circ\iota_B=\iota_Y.$$
したがって
$$g\circ0_{A,B}=g\circ(\iota_B\circ\pi_A)=(g\circ\iota_B)\circ\pi_A=\iota_Y\circ\pi_A=0_{A,Y}$$
が成り立つ。以上(1)(2)により、族 $\{0_{A,B}\}_{A,B}$ は各組 $(A,B)$ から一意に定まり、かつ def-zero-morphism の吸収条件を満たす。$\square$

零射の体系の一意性

零射の体系は存在すれば一意である。すなわち $\{0_{X,Y}\}_{X,Y}$、$\{0'_{X,Y}\}_{X,Y}$ がともに $\mathcal C$ 上の零射の体系であれば、すべての対象 $X,Y$ に対して $0_{X,Y}=0'_{X,Y}$ が成り立つ。

$0_{X,X}\colon X\to X$ を（体系 $0$ の）射の一つとみなし、体系 $0'$ の吸収性（$f=0_{X,X}\colon X\to X$ に対する $0'_{X,Y}\circ f=0'_{X,Y}$）を用いると
$$0'_{X,Y}=0'_{X,Y}\circ0_{X,X}.$$
次に $0'_{X,Y}\colon X\to Y$ を（体系 $0'$ の）射の一つとみなし、体系 $0$ の吸収性（$g=0'_{X,Y}\colon X\to Y$ に対する $g\circ0_{X,X}=0_{X,Y}$）を用いると
$$0'_{X,Y}\circ0_{X,X}=0_{X,Y}.$$
両者を合わせて $0'_{X,Y}=0_{X,Y}$ を得る。$\square$

二つの命題をあわせると、零対象をもつ圏では、零射の体系はただ一つで、それはどの零対象を経由して作っても同じである。零対象を取り替えても $\iota_B\circ\pi_A$ が変わらないことを、同型を追いかけずに示せるのが一意性の利点である。

零射をもつ圏の始対象は零対象

零射をもつ圏 $\mathcal C$ で、始対象 $I$ は終対象でもあり、したがって零対象である。双対に、終対象は始対象でもあり、零対象である。

$I$ から $I$ への射は一つしかないので $\operatorname{id}_I=0_{I,I}$ である。任意の対象 $X$ と射 $f\colon X\to I$ に対し、吸収条件から
$$f=\operatorname{id}_I\circ f=0_{I,I}\circ f=0_{X,I}.$$
よって $X$ から $I$ への射は $0_{X,I}$ ただ一つであり、$I$ は終対象である。後半は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で同じ議論をすればよい（prop-zero-morphism-opposite）。$\square$

この命題から、零射をもつ圏が始対象か終対象を一つでももてば、零対象をもつことが分かる。上の例の一対象圏としての環や零でないアーベル群の圏は、始対象も終対象ももたない。

前加法圏の零元は零射

各 Hom 集合 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ がアーベル群で、合成が双線形である圏（前加法圏）では、各 Hom 群の零元 $0_{X,Y}$ は零射の体系をなす。

$f\colon W\to X$ とする。合成が第1引数について加法的なので
$$0_{X,Y}\circ f=(0_{X,Y}+0_{X,Y})\circ f=0_{X,Y}\circ f+0_{X,Y}\circ f.$$
アーベル群 $\operatorname{Hom}(W,Y)$ で両辺から $0_{X,Y}\circ f$ を引くと $0_{X,Y}\circ f=0_{W,Y}$ を得る。$g\circ0_{X,Y}=0_{X,Z}$ も、第2引数についての加法性から同様に従う。$\square$

前加法圏は零対象をもつとは限らないが、この命題により常に零射をもつ。一意性（prop-zero-morphism-uniqueness）から、前加法圏が零対象をもつときは、零対象を経由する射と Hom 群の零元が一致する。

零対象を経由する射

零対象 $0$ をもつ圏で、射 $f\colon A\to B$ が零射であることと、$f$ がある射 $A\to0$ と $0\to B$ の合成に分解することは同値である。

零射 $0_{A,B}=\iota_B\circ\pi_A$ は定義から $0$ を経由する。逆に $f=b\circ a$（$a\colon A\to0$、$b\colon0\to B$）なら、射 $A\to0$ と $0\to B$ はそれぞれ一つしかないので $a=\pi_A$、$b=\iota_B$ であり、$f=0_{A,B}$ である。$\square$

反対圏の零射

零射の体系は反対圏にも零射の体系を与える。

反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ において、$\mathcal C$ の射 $0_{X,Y}\colon X\to Y$ を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射とみなしたもの $0^{\mathrm{op}}_{Y,X}:=0_{X,Y}\colon Y\to X$ を考えると、$\mathcal C$ の吸収条件 $0_{X,Y}\circ f=0_{W,Y}$、$g\circ0_{X,Y}=0_{X,Z}$ は、矢印を反転した $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の合成でそのまま $0^{\mathrm{op}}_{Y,X}$ の吸収条件（$Y\to X$ に対する前後の合成での不変性）を与えるので、$\{0^{\mathrm{op}}_{Y,X}\}_{Y,X}$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における零射の体系である。$\square$

核・余核との関係

零射を持つ圏では、射 $f\colon A\to B$ の核は $f$ と零射 $0_{A,B}$ の等化子として、余核は $f$ と $0_{A,B}$ の余等化子として定義できる。零射そのものの核は恒等射 $\operatorname{id}_A$ である（核の命題「零射と同型射の核」）。具体的な普遍性・性質は核・余核に譲る。

反例

零射の体系は「どの組にも一本ずつ」「前後の両方の合成で吸収する」という二つの要求からなる。どちらが欠けても零射にならない。

外す条件	反例	成り立たなくなること
零対象をもつこと	$\mathbf{Set}$	零射の体系の存在
後からの合成での吸収	空でない集合の圏で、各 $Y$ に点を一つ選んだ定値写像の族	零射の体系であること
零射をもつだけでなく零対象をもつこと	零でない環の一対象圏	「零射があれば零対象がある」

反例とよくある誤解

$\mathbf{Set}$ には零射の体系が存在しない。実際、体系があれば $0_{X,\emptyset}\colon X\to\emptyset$ が要るが、$X\ne\emptyset$ ならそのような写像はない。
$\mathbf{Set}$ は始対象 $\emptyset$ と終対象（一点集合 $\{*\}$）を持つ（満たす性質）が、零射の体系は持たない（満たさない性質）。空集合を経由する射や、一点集合を経由する定値写像を零射の代用にしたくなるが、後者は値の選択が一意でないので標準的な零射を与えない（よくある誤解）。この事実は「圏が始対象と終対象を持てば零射の体系を持つ」という含意を破る：この含意が成り立つのは始対象と終対象が同型な場合（すなわち零対象を持つ場合、prop-zero-morphism-from-zero-object）に限られ、$\mathbf{Set}$ では $\emptyset\not\cong\{*\}$ なのでその前提が満たされない。

反例：片側だけの吸収

空でない集合と写像の圏 $\mathcal N$ で、各集合 $Y$ に点 $p_Y\in Y$ を一つずつ選び、$c_{X,Y}\colon X\to Y$ を値 $p_Y$ の定値写像とする。任意の $f\colon W\to X$ に対し $c_{X,Y}\circ f=c_{W,Y}$ なので、前からの合成での吸収は成り立つ。しかし $g\colon Y\to Z$ について $g\circ c_{X,Y}$ は値 $g(p_Y)$ の定値写像であり、$g(p_Y)\ne p_Z$ なら $c_{X,Z}$ と異なる。
実は $\mathcal N$ にはどんな零射の体系もない。体系 $\{0_{X,Y}\}$ があったとし、一点集合 $1$ について $0_{1,Y}$ の値を $q_Y$ とおく。吸収条件から任意の $g\colon Y\to Z$ に対し $g(q_Y)=q_Z$ である。$Y=Z=\{a,b\}$ として $g$ を $a,b$ の入れ替えとすると $g(q_Y)=q_Y$ となるが、入れ替えには不動点がないので矛盾する。この例は、「各 Hom 集合に定値写像のような射がある」ことが零射の体系の存在を意味しないことを示す。