五項補題

$x\in A_3$ が $a_3(x)=0$ を満たすとして、$x=0$ を示す。
可換性 $g_3\circ a_3=a_4\circ f_3$ より $a_4(f_3(x))=g_3(a_3(x))=0$ であり、$a_4$ がモノ射であるから $f_3(x)=0$。上段の $A_3$ での完全性 $\ker f_3=\operatorname{im}f_2$ より、ある $y\in A_2$ で $x=f_2(y)$ となる。
このとき可換性 $g_2\circ a_2=a_3\circ f_2$ より $g_2(a_2(y))=a_3(f_2(y))=a_3(x)=0$。下段の $B_2$ での完全性 $\ker g_2=\operatorname{im}g_1$ より、ある $z\in B_1$ で $a_2(y)=g_1(z)$ となる。$a_1$ はエピ射であるから、ある $w\in A_1$ で $a_1(w)=z$ となる。
可換性 $g_1\circ a_1=a_2\circ f_1$ より
$$ a_2(f_1(w))=g_1(a_1(w))=g_1(z)=a_2(y) $$
であり、$a_2$ がモノ射であるから $f_1(w)=y$。ゆえに $x=f_2(y)=f_2(f_1(w))=0$（上段の $A_2$ での完全性から $f_2\circ f_1=0$）。以上より $\ker a_3=0$ であり、$a_3$ はモノ射である。$\square$

$z\in B_3$ を任意にとり、$z\in\operatorname{im}a_3$ を示す。
$a_4$ はエピ射であるから、ある $w\in A_4$ で $a_4(w)=g_3(z)$ となる。可換性 $g_4\circ a_4=a_5\circ f_4$ と下段の完全性から従う $g_4\circ g_3=0$ により
$$ a_5(f_4(w))=g_4(a_4(w))=g_4(g_3(z))=0 $$
であり、$a_5$ がモノ射であるから $f_4(w)=0$。上段の $A_4$ での完全性 $\ker f_4=\operatorname{im}f_3$ より、ある $y\in A_3$ で $w=f_3(y)$ となる。
可換性 $g_3\circ a_3=a_4\circ f_3$ より $g_3(a_3(y))=a_4(f_3(y))=a_4(w)=g_3(z)$、すなわち $z-a_3(y)\in\ker g_3$。下段の $B_3$ での完全性 $\ker g_3=\operatorname{im}g_2$ より、ある $v\in B_2$ で $z-a_3(y)=g_2(v)$ となる。$a_2$ はエピ射であるから、ある $u\in A_2$ で $a_2(u)=v$ となり、可換性 $g_2\circ a_2=a_3\circ f_2$ より $g_2(v)=g_2(a_2(u))=a_3(f_2(u))$。ゆえに
$$ z=a_3(y)+a_3(f_2(u))=a_3\bigl(y+f_2(u)\bigr) $$
であり、$a_3$ はエピ射である。$\square$

同型射はモノ射かつエピ射であるから、thm-five-lemma-four-mono により $a_3$ はモノ射、thm-five-lemma-four-epi により $a_3$ はエピ射である。
残るのは、アーベル圏ではモノ射かつエピ射である射が同型射であることである。加群の圏では全単射準同型の逆写像が準同型になることから明らかである。一般のアーベル圏では次のように示す。$f\colon A\to B$ をモノ射かつエピ射とする。$f$ はエピ射だから余核は $B\to0$ であり、その核は $\mathrm{id}_B\colon B\to B$ である。アーベル圏の公理（正規性：任意のモノ射は自身の余核の核である）により、$f$ は $\ker(\operatorname{coker}f)=\mathrm{id}_B$ と同型な $B$ 上の部分対象である。すなわち同型射 $\varphi\colon A\to B$ で $\mathrm{id}_B\circ\varphi=f$ となるものがあり、$f=\varphi$ は同型射である。$\square$

両端に零対象を足した 5 項の図式
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] \ar[d] & A' \ar[r]^{i} \ar[d]_{\alpha} & A \ar[r]^{p} \ar[d]_{\beta} & A'' \ar[r] \ar[d]_{\gamma} & 0 \ar[d]\\ 0 \ar[r] & B' \ar[r]_{j} & B \ar[r]_{q} & B'' \ar[r] & 0 } $$
を考える。行は $A',A,A''$（$B',B,B''$）で完全であり、零対象の間の射 $0\to0$ はモノ射かつエピ射である。$\alpha,\gamma$ がモノ射なら、thm-five-lemma-four-mono を $a_1=(0\to0)$（エピ射）、$a_2=\alpha$、$a_4=\gamma$ に当てて $\beta$ はモノ射。$\alpha,\gamma$ がエピ射なら、thm-five-lemma-four-epi を $a_5=(0\to0)$（モノ射）、$a_2=\alpha$、$a_4=\gamma$ に当てて $\beta$ はエピ射。両方を合わせ、thm-five-lemma の証明の後半により $\beta$ は同型射である。$\square$

加法関手は有限直和を保つ：包含 $\iota_k\colon R\to R^n$ と射影 $\pi_k\colon R^n\to R$ の関係式 $\sum_k\iota_k\pi_k=\mathrm{id}$、$\pi_k\iota_l=\delta_{kl}\mathrm{id}$ は $F$ でも $G$ でも保たれる。$\eta$ の自然性 $\eta_{R^n}\circ F(\iota_k)=G(\iota_k)\circ\eta_R$ から、$F(R^n)\cong F(R)^n$、$G(R^n)\cong G(R)^n$ のもとで $\eta_{R^n}$ は $\eta_R$ の $n$ 個の直和になり、同型である。$R^m$ についても同様である。
与えられた完全列に $F,G$ を施すと、右完全性により行が完全な可換図式
$$ \xymatrix{ F(R^m) \ar[r] \ar[d]_{\eta_{R^m}} & F(R^n) \ar[r] \ar[d]_{\eta_{R^n}} & F(M) \ar[r] \ar[d]_{\eta_M} & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[d]\\ G(R^m) \ar[r] & G(R^n) \ar[r] & G(M) \ar[r] & 0 \ar[r] & 0 } $$
を得る（可換性は $\eta$ の自然性）。$a_1=\eta_{R^m}$、$a_2=\eta_{R^n}$ は同型、$a_4,a_5$ は $0\to0$ で同型だから、thm-five-lemma により $\eta_M$ は同型である。$\square$

ホモロジーの記事の定理「複体の短完全列から得られる長完全列」により、上下の行にホモロジーの長完全列がある。$\alpha,\beta,\gamma$ が誘導する写像を縦に並べた図式
$$ \xymatrix{ H_n(A) \ar[r] \ar[d]_{\alpha_*} & H_n(B) \ar[r] \ar[d]_{\beta_*} & H_n(C) \ar[r]^{\partial} \ar[d]_{\gamma_*} & H_{n-1}(A) \ar[r] \ar[d]_{\alpha_*} & H_{n-1}(B) \ar[d]_{\beta_*}\\ H_n(A') \ar[r] & H_n(B') \ar[r] & H_n(C') \ar[r]_{\partial'} & H_{n-1}(A') \ar[r] & H_{n-1}(B') } $$
は可換である。接続準同型を含まない正方形はホモロジーの関手性から、接続準同型を含む正方形は $\partial'\circ\gamma_*=\alpha_*\circ\partial$ から可換である。