左ファイブレーションと右ファイブレーション

1：頂点の順序の反転 $r\mapsto n-r$ は $\Lambda^n_k$ を $\Lambda^n_{n-k}$ に移し、右ホーンを左ホーンに移すので、持ち上げの問題が $1$ 対 $1$ に対応する（HTT09 Remark 2.0.0.7、p. 55）。2：持ち上げを求めるホーンが少ないほど条件は弱い。3：ホーンと充填条件 の定理「右持ち上げ性質の閉包性」。4：$X\to\Delta^0$ が右ファイブレーションであることは、$X$ が $0< k\le n$ のすべてのホーンについて延長条件を満たすことであり、内部ホーンを含むので $X$ は準圏である。Joyalの定理(準圏がKan複体である条件) の定理「Joyalの定理」の (R3)⇔(R4) により、これは $X$ が Kan 複体であることと同値である。左は (R2)⇔(R4) による。5：$X_s\to\Delta^0$ は $p$ の引き戻しなので、3 と 4 による。$\square$

$N(F)$ はいつも内部ファイブレーションなので（ホーンと充填条件 の例「圏の脈体と関手」）、右ファイブレーションであることは、すべての $n\ge1$ で $\Lambda^n_n\subset\Delta^n$ に対して持ち上がることと同値である。脈体 の補題「脈体への写像は辺と三角形で決まる」により、$\Lambda^n_n\to N(\mathcal C)$ は $\Lambda^n_n$ に含まれる辺ごとの射で、含まれる三角形ごとに合成の関係を満たすものであり、持ち上げは足りない辺と関係を補って関手 $[n]\to\mathcal C$ にし、その $F$ による像を与えられた $[n]\to\mathcal D$ に一致させることである。頂点 $a$ の行き先を $c_a$、辺 $\{a,b\}$ の行き先を $e_{ab}$ と書く。
$n=1$。 $\Lambda^1_1=\{1\}$ なので、問題は頂点 $c_1$ と $\mathcal D$ の射 $g\colon d\to F(c_1)$ で、持ち上げは $F(e_{01})=g$ となる射 $e_{01}\colon c_0\to c_1$ である。これは (F1) である。
$n=2$。 $\Lambda^2_2$ は辺 $e_{02}\colon c_0\to c_2$、$e_{12}\colon c_1\to c_2$ で、$\Delta^2\to N(\mathcal D)$ は $F(e_{12})\circ g=F(e_{02})$ を満たす $g\colon F(c_0)\to F(c_1)$ を与える。持ち上げは $F(e_{01})=g$、$e_{12}\circ e_{01}=e_{02}$ となる $e_{01}$ である。これは (F2) の存在の部分である。
$n=3$。 $\Lambda^3_3$ はすべての辺と、三角形 $\{1,2,3\}$、$\{0,2,3\}$、$\{0,1,3\}$ を含み、足りないのは三角形 $\{0,1,2\}$ の関係 $e_{02}=e_{12}\circ e_{01}$ だけである。$\mathcal D$ の側では $F(e_{02})=F(e_{12})F(e_{01})$ が成り立っている。(F2) の一意性を仮定すると、$k_1=e_{02}$ と $k_2=e_{12}e_{01}$ はどちらも $F(k)=F(e_{02})$ と $e_{23}\circ k=e_{03}$ を満たすので（$e_{23}e_{12}e_{01}=e_{13}e_{01}=e_{03}$）、$f=e_{23}$、$h=e_{03}$ として $k_1=k_2$ であり、持ち上げがある。逆に $\Lambda^3_3$ に対して持ち上がるとし、$f\colon c'\to c$、$h\colon c''\to c$、$k_1,k_2\colon c''\to c'$ が $F(k_1)=F(k_2)$、$fk_1=fk_2=h$ を満たすとする。$c_0=c_1=c''$、$c_2=c'$、$c_3=c$、$e_{01}=\mathrm{id}$、$e_{02}=k_1$、$e_{12}=k_2$、$e_{23}=f$、$e_{13}=fk_2$、$e_{03}=h$ は、$3$ つの三角形の関係を満たす $\Lambda^3_3\to N(\mathcal C)$ であり、その像は $\mathcal D$ では関手 $[3]\to\mathcal D$ に延びる（$F(k_1)=F(k_2)F(\mathrm{id})$）。持ち上げがあるので $k_1=k_2\circ\mathrm{id}=k_2$ となり、(F2) の一意性が従う。
$n\ge4$。 $\Lambda^n_n$ はすべての辺と三角形を含むので、$\Lambda^n_n\to N(\mathcal C)$ はただ 1 通りに $\Delta^n$ へ延び（脈体 の命題「脈体のホーンと境界の充填」の (R2)）、その像は $\mathcal D$ の側の同じ一意性により与えられた単体に一致する。
以上で右ファイブレーションについて示された。左は $F^{\mathrm{op}}$ に使い、prop-lr-basic の 1 で戻せばよい。$\square$

前半は Joyalの定理(準圏がKan複体である条件) の補題「スライスの制限は右ファイブレーション」である（対象のスライス $\mathcal C_{/x}\to\mathcal C$ については スライス圏(∞圏) の命題「射影は右ファイブレーション」）。その要点は、右ホーン $\Lambda^m_k\subset\Delta^m$ に対する持ち上げの問題が、上の対応で
$$ (\Lambda^m_k\star K)\cup(\Delta^m\star K')\subset\Delta^m\star K $$
からの延長の問題に読み替わり、これが内部アノダインであること（内部ホーンと内部アノダイン射 の命題「右アノダイン射と単射の結」）にある。後半は、$(\mathcal C_{p/})^{\mathrm{op}}=(\mathcal C^{\mathrm{op}})_{/p^{\mathrm{op}}}$（結(単体的集合) の命題「結の基本性質」の 3）と prop-lr-basic の 1 による。$\square$

右ファイブレーションの場合を示す。左は prop-lr-basic の 1 で反転すればよい。
$X$ と $S$ は Kan 複体。 $S\to\Delta^0$ は Kan ファイブレーションなので右ファイブレーションであり、合成 $X\to S\to\Delta^0$ も右ファイブレーションである。prop-lr-basic の 4 により $X$ は Kan 複体である。Kan 複体はホモトピー圏が亜群なので（Joyalの定理(準圏がKan複体である条件) の定理「Joyalの定理」の (R4)⇒(R1)）、Kan 複体のすべての辺は同値である。
残るのは、$n\ge1$ について $\Lambda^n_0\subset\Delta^n$ に対する持ち上げである。
$n=1$。 $X$ の頂点 $x$ と $S$ の辺 $e\colon p(x)\to s$ について、$e$ は同値なので、補題「同値を始点の側から持ち上げる」を $P=p$ に使えば、$x$ を始点とし $e$ の上にある辺が得られる。
$n\ge2$。 $u\colon\Lambda^n_0\to X$、$v\colon\Delta^n\to S$ を $pu=v|_{\Lambda^n_0}$ を満たす写像とする。$\Delta^n=\Delta^{\{0,1\}}\star L$、$L:=\Delta^{\{2,\dots,n\}}$ と分けると、結(単体的集合) の定理「境界とホーンの結」の 3 により
$$ \Lambda^n_0=(\{0\}\star L)\cup(\Delta^{\{0,1\}}\star\partial L) $$
である（$n=2$ なら $\partial L=\emptyset$）。$q:=u|_L$、$q':=q|_{\partial L}$ とおき、制限と $p$ との合成が定める写像
$$ \rho\colon X_{/q}\to P:=X_{/q'}\times_{S_{/pq'}}S_{/pq} $$
を考える。スライスの対応により、$a:=u|_{\{0\}\star L}$ は $X_{/q}$ の頂点、$\varphi:=(u|_{\Delta^{\{0,1\}}\star\partial L},\,v)$ は $P$ の辺であり（$2$ つの成分は $p$ で $S_{/pq'}$ に写すと一致する）、$\rho(a)$ は $\varphi$ の始点である。$u$ の延長 $w\colon\Delta^n\to X$ で $pw=v$ となるものは、$a$ を始点とし $\rho(\tilde a)=\varphi$ となる $X_{/q}$ の辺 $\tilde a$ と同じものである。
(i) $\rho$ は右ファイブレーションである。右ホーン $\Lambda^m_k\subset\Delta^m$ に対する $\rho$ の持ち上げの問題は、スライスの対応で
$$ (\Lambda^m_k\star L)\cup(\Delta^m\star\partial L)\subset\Delta^m\star L $$
に対する $p$ の持ち上げの問題になる。結(単体的集合) の定理「境界とホーンの結」の 3 により、これは $\Lambda^{m+n-1}_k\subset\Delta^{m+n-1}$ で、$0< k\le m< m+n-1$ なので内部ホーンである。$p$ は内部ファイブレーションなので持ち上がる。
(ii) $P$ と $X_{/q}$ は Kan 複体である。$S_{/pq}\to S_{/pq'}$ は右ファイブレーションなので（thm-lr-slice）、その引き戻し $P\to X_{/q'}$ も右ファイブレーションであり、$X_{/q'}\to X$（thm-lr-slice）と $X\to\Delta^0$ も右ファイブレーションである。合成 $P\to\Delta^0$ は右ファイブレーションなので $P$ は Kan 複体であり、(i) と合わせて $X_{/q}\to\Delta^0$ も右ファイブレーションで、$X_{/q}$ も Kan 複体である。
(iii) $P$ は Kan 複体なので $\varphi$ は同値である。$\rho$ は準圏の間の右ファイブレーションなので、補題「同値を始点の側から持ち上げる」を $\rho$、頂点 $a$、同値 $\varphi$ に使えば、求める $\tilde a$ が得られる。$\square$