六演算

仮定より、自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)$（$X,Y$ について自然）と $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G'Y)$ が存在する。これらを合成すると、各 $Y$ について自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G'Y) $$
（$X$ について自然）が得られる。すなわち、反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ から $\mathbf{Set}$ への関手として $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,GY)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,G'Y)$ である。米田の補題（の全充満性）により、この自然同型は一意な同型 $\varphi_Y\colon GY\xrightarrow{\cong}G'Y$ から引き起こされたものである。もとの随伴同型の $Y$ に関する自然性から、$\varphi_Y$ 自身も $Y$ の射と両立する（$Y$ に関して自然である）ことが従う。ゆえに自然変換 $\varphi\colon G\Rightarrow G'$ は自然同型である。$\blacksquare$

$j$ が開埋め込みのとき、$j_!$（！拡張）は $j^*$（制限）の左随伴である（BBD82 1.4.2.1、p. 44。$(j_!,j^*,Rj_*)$ は順に随伴な 3 つの関手をなす）：$\operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(j_!F,G)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(U)}(F,j^*G)$。一方def-exceptional-operationsにより $j^!$ は $j_!$ の右随伴として定義される：$\operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(j_!F,G)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(U)}(F,j^!G)$。ゆえに $j^*$ と $j^!$ はいずれも $j_!$ の右随伴であり、lem-adjoint-uniquenessによりこれらは自然同型 $j^!\cong j^*$ である。$\blacksquare$

$j_!\mathbb Q_U$ は零拡張なので、$U$ の外の点 $0$ での茎は $0$ である。
次に $\mathcal H^q\bigl((Rj_*\mathbb Q_U)_0\bigr)=(R^qj_*\mathbb Q_U)_0$ を計算する。高次順像の記事の定理「開集合上のコホモロジーとの関係」により
$$ (R^qj_*\mathbb Q_U)_0\cong\varinjlim_{V\ni0}H^q(V\cap U;\mathbb Q) $$
である（$V$ は $0$ の開近傍を動く）。円板 $D_\varepsilon=\{|z|<\varepsilon\}$ の族は $0$ の近傍の基本系をなすので、帰納極限は $\varepsilon\to0$ についてとればよい。$D_\varepsilon\cap U=D_\varepsilon\setminus\{0\}$ は多様体なので、層コホモロジーの記事の定理「de Rham の定理と特異コホモロジーとの比較」の 2 により $H^q(D_\varepsilon\setminus\{0\};\mathbb Q)$ は特異コホモロジーに一致し、この同型は制限写像と可換である。
$D_\varepsilon\setminus\{0\}$ は円周 $S^1$ とホモトピー同値である：$r(z)=\varepsilon z/(2|z|)$ は半径 $\varepsilon/2$ の円周への写像で、$h_t(z)=(1-t)z+t\,r(z)$ は $D_\varepsilon\setminus\{0\}$ の中の（$h_t(z)$ は $z$ の正の実数倍なので $0$ にならず、絶対値は $|z|$ と $\varepsilon/2$ の間にある）ホモトピーで恒等写像と $r$ を結ぶ。よって $H^q(D_\varepsilon\setminus\{0\};\mathbb Q)\cong H^q(S^1;\mathbb Q)$ は $q=0,1$ で $\mathbb Q$、ほかで $0$ である。さらに $\varepsilon'<\varepsilon$ のとき包含 $D_{\varepsilon'}\setminus\{0\}\hookrightarrow D_\varepsilon\setminus\{0\}$ はホモトピー同値である（半径 $\varepsilon'/2$ の円周への上と同じ形の写像 $r'$ が、両方の空間で恒等写像とホモトピックになる）。したがって帰納系の遷移写像はすべて同型であり、帰納極限は各 $D_\varepsilon\setminus\{0\}$ のコホモロジーに等しい。
最後に $q=0$ の写像を見る。$\mathbb Q=(\mathbb Q_{\mathbb C})_0\to(j_*\mathbb Q_U)_0=\varinjlim_\varepsilon H^0(D_\varepsilon\setminus\{0\};\mathbb Q)$ は定数関数の制限である。$D_\varepsilon\setminus\{0\}$ は連結なので、その上の局所定数関数は定数だけであり、定数 $1$ の制限は生成元に移る。よってこの写像は同型である。$\square$

$i^*\mathbb Q_{\mathbb C}$ は原点での茎なので $\mathbb Q$ である。
$F=\mathbb Q_{\mathbb C}$ にprop-six-operations-recollement の 2 つ目の三角形を使うと、$j^*\mathbb Q_{\mathbb C}=\mathbb Q_U$ なので完全三角形
$$ i_*i^!\mathbb Q_{\mathbb C}\longrightarrow\mathbb Q_{\mathbb C}\longrightarrow Rj_*\mathbb Q_U\xrightarrow{+1} $$
がある。原点の茎をとる関手は完全なので完全三角形を完全三角形に送り、$(i_*G)_0=G$ だから、$D^b_c(\{0\})$ の完全三角形 $i^!\mathbb Q_{\mathbb C}\to\mathbb Q\to(Rj_*\mathbb Q_U)_0\xrightarrow{+1}$ を得る。そのコホモロジーの長完全列
$$ \cdots\to\mathcal H^{k-1}(\mathbb Q)\to\mathcal H^{k-1}\bigl((Rj_*\mathbb Q_U)_0\bigr)\to\mathcal H^k(i^!\mathbb Q_{\mathbb C})\to\mathcal H^k(\mathbb Q)\xrightarrow{\ \alpha_k\ }\mathcal H^k\bigl((Rj_*\mathbb Q_U)_0\bigr)\to\cdots $$
で、$\mathcal H^k(\mathbb Q)$ は $k=0$ のときだけ $\mathbb Q$ である。prop-six-operations-punctured-stalk により $\alpha_0$ は同型で、$\mathcal H^q\bigl((Rj_*\mathbb Q_U)_0\bigr)$ は $q=0,1$ のときだけ $\mathbb Q$ である。これを代入すると

• $k\le0$：$\mathcal H^{k-1}\bigl((Rj_*\mathbb Q_U)_0\bigr)=0$ で、$\alpha_k$ は単射（$k=0$ では同型、$k<0$ では $0\to0$）なので $\mathcal H^k(i^!\mathbb Q_{\mathbb C})=0$。
• $k=1$：$\alpha_0$ が全射で $\mathcal H^1(\mathbb Q)=0$ なので $\mathcal H^1(i^!\mathbb Q_{\mathbb C})=0$。
• $k=2$：$\mathcal H^1(\mathbb Q)=\mathcal H^2(\mathbb Q)=0$ なので $\mathcal H^2(i^!\mathbb Q_{\mathbb C})\cong\mathcal H^1\bigl((Rj_*\mathbb Q_U)_0\bigr)=\mathbb Q$。
• $k\ge3$：両隣が $0$ なので $\mathcal H^k(i^!\mathbb Q_{\mathbb C})=0$。
  体上の複体はコホモロジーのずらしの直和に同型なので（分解定理の記事の命題「体上の複体の分解」）、$i^!\mathbb Q_{\mathbb C}\cong\mathbb Q[-2]$ である。$\square$