反自己同型
概要
反自己同型（antiautomorphism）とは、環 $A$ からそれ自身への全単射で、和と $1$ を保ち、積の順序を逆にする写像 $f(ab)=f(b)f(a)$ のことであり、$A$ から反対環 $A^{\mathrm{op}}$ への同型と同じものである。行列の転置、四元数の共役、群の逆元をとる写像、語を後ろから読む写像が代表例である。自己同型と反自己同型を合わせると群になり、$A$ が非可換で反自己同型をもてば自己同型群はその指数 $2$ の部分群になる。自由代数では文字の行き先を決めるだけで反自己同型が作れ、Hoffman 代数の文字を入れ替えて語を逆に読む写像は多重ゼータ値の双対性に現れる。
行列の転置は和を保つが、積の順序を逆にする：${}^t(XY)={}^tY\,{}^tX$。四元数の共役 $\overline{pq}=\bar q\,\bar p$、群の逆元 $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$、文字列を後ろから読む操作も同じ形をしている。このように、全単射で和を保ち積の順序を逆にする写像を 反自己同型 という。反自己同型は、環 $A$ からその 反対環 $A^{\mathrm{op}}$（積の順序を入れ替えた環）への同型と同じものである。
この記事では、まず自己同型と反自己同型を合わせたものが群をなし、$A$ が非可換で反自己同型をもつなら自己同型群がその指数 $2$ の部分群になることを示す。次に、非可換多項式環（自由代数）では文字の行き先を決めるだけで反自己同型が作れることを示し、多重ゼータ値の Hoffman代数 で使われる「$x$ と $y$ を入れ替えて語を逆に読む」写像 $\tau$ や、符号を付けて語を逆に読む写像を、形式的冪級数環まで含めて扱う。最後に、反自己同型をまったくもたない有限次元代数の例を与える。2 乗が恒等写像になる反自己同型は 対合 の記事の「環の対合」にあたる。
定義
環は単位元 $1$ をもつとし、可換とは限らない。$K$ は可換環とする。
環 $A$、$B$ の間の写像 $f\colon A\to B$ が、すべての $a,b\in A$ について
$$
f(a+b)=f(a)+f(b),\qquad f(ab)=f(b)f(a),\qquad f(1)=1
$$
をみたすとき 反準同型（anti-homomorphism）という。全単射な反準同型 $A\to A$ を $A$ の 反自己同型（antiautomorphism）といい、その全体を $\operatorname{Anti}(A)$ と書く。$A$ が $K$ 上の 多元環 のときは、$K$ 線形であることも課す。群 $G$ については、全単射 $f\colon G\to G$ で $f(gh)=f(h)f(g)$ をみたすものを反自己同型という。
環 $A$ の加法群に積 $a*b:=ba$ を入れた環を $A$ の 反対環（opposite ring）といい、$A^{\mathrm{op}}$ と書く。
$A^{\mathrm{op}}$ は結合的で単位元 $1$ をもつ。定義から、反準同型 $A\to B$ は環準同型 $A\to B^{\mathrm{op}}$ と同じものであり、反自己同型は、加法群の上の恒等写像を通して見た環の同型 $A\to A^{\mathrm{op}}$ と同じものである。$A$ が可換なら $A^{\mathrm{op}}=A$ で、反自己同型は自己同型と同じである。
自己同型と合わせた群
$A$ を環とし、$\operatorname{Aut}(A)$ を環の自己同型群とする。
- 反準同型どうしの合成は準同型であり、準同型と反準同型の合成は（どちらの順でも）反準同型である。反自己同型の逆写像は反自己同型である。
- $\operatorname{Aut}^{\pm}(A):=\operatorname{Aut}(A)\cup\operatorname{Anti}(A)$ は、$A$ の全単射の合成について群をなす。
- $\operatorname{Anti}(A)\ne\emptyset$ であることと、$A\cong A^{\mathrm{op}}$ であることは同値である。$\sigma\in\operatorname{Anti}(A)$ なら $\operatorname{Anti}(A)=\sigma\operatorname{Aut}(A)=\operatorname{Aut}(A)\sigma$ である。
- $A$ が可換でないなら $\operatorname{Aut}(A)\cap\operatorname{Anti}(A)=\emptyset$ であり、自己同型に $+1$、反自己同型に $-1$ を対応させる写像 $\operatorname{Aut}^{\pm}(A)\to\{\pm1\}$ は群準同型である。とくに $\operatorname{Anti}(A)\ne\emptyset$ なら、$\operatorname{Aut}(A)$ は $\operatorname{Aut}^{\pm}(A)$ の指数 $2$ の正規部分群である。$A$ が可換なら $\operatorname{Anti}(A)=\operatorname{Aut}(A)$ である。
$K$ 上の多元環と $K$ 線形な写像に限っても、同じことが成り立つ。
1。 $f$、$g$ が反準同型なら $g(f(ab))=g(f(b)f(a))=g(f(a))g(f(b))$ である。$f$ が反準同型、$g$ が準同型なら $g(f(ab))=g(f(b))g(f(a))$、$f(g(ab))=f(g(a)g(b))=f(g(b))f(g(a))$ である。和と $1$ はどれも保つ。$f$ が反自己同型なら、$a=f(a')$、$b=f(b')$ と書いて $f^{-1}(ab)=f^{-1}(f(b'a'))=b'a'=f^{-1}(b)f^{-1}(a)$ である。
2。 恒等写像を含み、1 により合成と逆写像で閉じている。
3。 反自己同型は同型 $A\to A^{\mathrm{op}}$ である。逆に同型 $\psi\colon A\to A^{\mathrm{op}}$ があれば、$\psi$ を集合 $A$ の自己写像とみると、$\psi(ab)=\psi(a)*\psi(b)=\psi(b)\psi(a)$ なので反自己同型である。$\sigma\in\operatorname{Anti}(A)$ と $\tau\in\operatorname{Anti}(A)$ について、1 により $\sigma^{-1}\tau$ と $\tau\sigma^{-1}$ は自己同型なので、$\tau\in\sigma\operatorname{Aut}(A)\cap\operatorname{Aut}(A)\sigma$ である。逆の包含は 1 から明らかである。
4。 $f$ が自己同型かつ反自己同型なら、$f(a)f(b)=f(ab)=f(b)f(a)$ がすべての $a,b$ で成り立ち、$f$ は全射なので $A$ は可換である。よって $A$ が可換でなければ符号が一意に定まり、1 により合成で符号が掛け合わされる。準同型の核が $\operatorname{Aut}(A)$ で、$\operatorname{Anti}(A)\ne\emptyset$ なら全射なので指数は $2$ である。可換なら $A^{\mathrm{op}}=A$ なので 2 つの条件は同じである。$K$ 線形性は合成と逆写像で保たれるので、多元環の場合も同じ証明が通る。$\square$
群では状況が簡単である。逆元をとる写像 $\iota(g)=g^{-1}$ は $\iota(gh)=h^{-1}g^{-1}=\iota(h)\iota(g)$ をみたすので、どの群も反自己同型をもつ。1 と同じ計算により、群 $G$ の反自己同型はちょうど $\iota\circ\alpha$（$\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$）の形の写像である（$f$ が反自己同型なら $\iota\circ f$ は自己同型）。環では、prop-anti-none のように反自己同型が存在しないことがある。
例
- $K$ が可換環なら、行列環 $M_n(K)$ の転置 $X\mapsto{}^tX$ は $K$ 上の反自己同型で、2 乗は恒等写像である。可逆行列 $P$ について $X\mapsto P\,{}^tX\,P^{-1}$ も反自己同型である（転置と内部自己同型の合成。thm-anti-group の 3）。
- $M_2(K)$ の余因子行列 $X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto\operatorname{adj}X=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ は $K$ 上の反自己同型である。$\operatorname{adj}X=(\operatorname{tr}X)I-X$ と書け、$X\operatorname{adj}X=(\det X)I$ である（Voi21 3.2.8）。
- $M_n(\mathbb{C})$ の共役転置 $X\mapsto{}^t\bar X$ は環の反自己同型だが、$\mathbb{C}$ 線形ではない（$\mathbb{R}$ 線形である）。
- 実四元数の共役 $a+bi+cj+dk\mapsto a-bi-cj-dk$ は $\mathbb{R}$ 上の反自己同型である（対合 の例「環の対合の例」の 3）。
- 上三角行列の環 $T_n(K)$ は転置で閉じていないが、反対角線に $1$ を並べた置換行列 $J$（$J^2=I$）による $X\mapsto J\,{}^tX\,J$ は、行と列の番号をともに $i\mapsto n+1-i$ と付け替えるので $T_n(K)$ を保ち、その反自己同型を与える。
2 の確かめ：$\operatorname{adj}X=(\operatorname{tr}X)I-X$ は $K$ 線形で $\operatorname{adj}I=I$、$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}X)=X$（全単射）である。$2\times2$ 行列は $X^2-(\operatorname{tr}X)X+(\det X)I=0$ をみたすので $X\operatorname{adj}X=(\operatorname{tr}X)X-X^2=(\det X)I$、同様に $\operatorname{adj}X\cdot X=(\det X)I$ である。積の順序の逆転は、まず $X$、$Y$ の $8$ 個の成分を変数とする整数係数の多項式環 $R$ の上で示す。$XY\cdot\operatorname{adj}Y\operatorname{adj}X=X(\det Y)\operatorname{adj}X=(\det X\det Y)I$ と $XY\operatorname{adj}(XY)=\det(XY)I$ から $XY\bigl(\operatorname{adj}Y\operatorname{adj}X-\operatorname{adj}(XY)\bigr)=0$ であり、左から $\operatorname{adj}(XY)$ を掛けると $\det(XY)\bigl(\operatorname{adj}Y\operatorname{adj}X-\operatorname{adj}(XY)\bigr)=0$ となる。$R$ は整域で $\det(XY)\ne0$ なので $\operatorname{adj}(XY)=\operatorname{adj}Y\operatorname{adj}X$ である。この恒等式の変数に $K$ の元を代入すればよい。
自由代数の反自己同型
集合 $X$ の元を文字とし、文字の有限列（語。空の語 $1$ を含む）の全体を基底とする $K$ 加群に、語の連結を $K$ 双線形に延ばした積を入れた多元環を $K\langle X\rangle$ と書く（非可換多項式環）。語 $x_1\cdots x_n$ は文字 $x_i$ の積なので、$K\langle X\rangle$ から多元環への準同型や反準同型は、文字での値で決まる。
- $B$ を $K$ 上の多元環、$u\colon X\to B$ を写像とする。$K$ 線形な反準同型 $F\colon K\langle X\rangle\to B$ で $F(x)=u(x)$（$x\in X$）となるものがただ 1 つあり、語の上で
$$ F(x_1x_2\cdots x_n)=u(x_n)\cdots u(x_2)u(x_1) $$
である。 - $K\ne0$ とし、全単射 $\sigma\colon X\to X$ と $K$ の単元の族 $(c_x)_{x\in X}$ をとる。1 で $u(x)=c_x\sigma(x)$ とした $F_{\sigma,c}$ は $K\langle X\rangle$ の反自己同型である。$F_{\sigma,c}\circ F_{\sigma,c}=\mathrm{id}$ となるのは、すべての $x$ で $\sigma(\sigma(x))=x$ かつ $c_xc_{\sigma(x)}=1$ のときであり、そのときに限る。
1。 一意性は、反準同型が文字の積を逆順の積に送ることから従う。存在：語 $w=x_1\cdots x_n$ に $F(w)=u(x_n)\cdots u(x_1)$（空の語には $1$）を対応させ、$K$ 線形に延ばす。語 $v=x_1\cdots x_m$、$w=y_1\cdots y_n$ について
$$
F(vw)=u(y_n)\cdots u(y_1)\,u(x_m)\cdots u(x_1)=F(w)F(v)
$$
であり、両辺は $v$、$w$ について $K$ 双線形なので、すべての元について $F(ab)=F(b)F(a)$ である。
2。 $\sigma^{-1}$ と $c'_x:=c_{\sigma^{-1}(x)}^{-1}$ から 1 で作った $G=F_{\sigma^{-1},c'}$ をとる。thm-anti-group の 1 により $G\circ F_{\sigma,c}$ と $F_{\sigma,c}\circ G$ は準同型で、文字の上で
$$
G(F_{\sigma,c}(x))=c_x\,c'_{\sigma(x)}\,x=x,\qquad F_{\sigma,c}(G(x))=c'_x\,c_{\sigma^{-1}(x)}\,x=x
$$
となる。準同型も文字での値で決まるので、どちらも恒等写像であり、$F_{\sigma,c}$ は全単射である。$F_{\sigma,c}\circ F_{\sigma,c}$ は準同型で $x\mapsto c_xc_{\sigma(x)}\sigma(\sigma(x))$ なので、恒等写像であることは、すべての $x$ でこれが $x$ に等しいことと同値である。$K\ne0$ で $c_xc_{\sigma(x)}$ は単元なので、異なる文字が一次独立であることから、これは $\sigma(\sigma(x))=x$ かつ $c_xc_{\sigma(x)}=1$ と同値である。$\square$
$\sigma=\mathrm{id}$、$c_x=1$ とした $F$ は、語を後ろから読む写像 $x_1\cdots x_n\mapsto x_n\cdots x_1$ で、2 乗が恒等写像の反自己同型である。これで動かない語は回文である。$\sigma=\mathrm{id}$、$c_x=-1$ とすると、長さ $n$ の語を逆に読んで $(-1)^n$ を掛ける反自己同型になる。一方、$X=\{x,y\}$、$K=\mathbb{Q}$、$\sigma=\mathrm{id}$、$c_x=2$、$c_y=1$ とすると、$F\circ F$ は $x\mapsto4x$ なので、$F$ は 2 乗しても恒等写像にならない反自己同型で、位数は無限である。反自己同型は対合とは限らない。
Hoffman 代数の反自己同型
Hoffman代数 $\mathfrak H=\mathbb{Q}\langle x,y\rangle$ では、thm-anti-free の 2 で $\sigma$ を $x$ と $y$ の入れ替え、$c_x=c_y=1$ とした反自己同型
$$
\tau(u_1u_2\cdots u_k)=\bar u_k\cdots\bar u_2\,\bar u_1\qquad(u_i\in\{x,y\},\ \bar x=y,\ \bar y=x)
$$
を使う。$\tau$ は 2 乗が恒等写像である。
$\mathfrak H^0=\mathbb{Q}+y\mathfrak Hx$、$\mathfrak H^1=\mathbb{Q}+y\mathfrak H$ とする。
- $\tau(\mathfrak H^0)=\mathfrak H^0$ である。$\mathbb{Q}+x\mathfrak Hy$ も $\tau$ で保たれる。
- $\tau(\mathfrak H^1)\not\subset\mathfrak H^1$ である。
- $z_k=yx^{k-1}$（$k\ge2$）について $\tau(z_k)=y^{k-1}x=z_1^{\,k-2}z_2$ である。
1：語 $w$ について $\tau(ywx)=\tau(x)\tau(w)\tau(y)=y\,\tau(w)\,x$ なので $\tau(y\mathfrak Hx)\subset y\mathfrak Hx$ であり、$\tau^2=\mathrm{id}$ から等号が成り立つ。$x\mathfrak Hy$ も同様である。2：$y\in\mathfrak H^1$ だが $\tau(y)=x\notin\mathfrak H^1$ である。3：$\tau(yx^{k-1})=\tau(x)^{k-1}\tau(y)=y^{k-1}x$ であり、$z_1=y$、$z_2=yx$ なので $y^{k-1}x=y^{k-2}\cdot yx=z_1^{\,k-2}z_2$ である。$\square$
多重ゼータ値 の記事の定理「双対性」は、$\mathfrak H^0$ の語 $w$ について、評価写像 $Z$ が $Z(\tau(w))=Z(w)$ をみたすことを述べる。3 と合わせると $\zeta(k)=\zeta(1,\dots,1,2)$（$1$ が $k-2$ 個）であり、$k=3$ が Euler の等式 $\zeta(3)=\zeta(1,2)$ である（同記事の規約 $z_{\boldsymbol k}=z_{k_1}\cdots z_{k_r}$、和は $0< n_1< \cdots< n_r$）。$\tau$ が $\mathfrak H^1$ を保たないので、この対称性は収束する許容語の空間 $\mathfrak H^0$ の上の関係式である。多重ゼータスター値 の記事の $\tau$ もこの写像である。
形式的冪級数への延長
語を基底とする形式的な無限和 $\sum_wa_ww$（$a_w\in K$、$w$ はすべての語を走る）の全体に、$\bigl(\sum_va_vv\bigr)\bigl(\sum_wb_ww\bigr)=\sum_u\bigl(\sum_{vw=u}a_vb_w\bigr)u$ で積を入れた多元環を $K\langle\langle X\rangle\rangle$ と書く。語 $u$ を $u=vw$ と分ける方法は有限個なので、積は定まる。
thm-anti-free の 2 の $F=F_{\sigma,c}$ を項ごとに延ばした
$$
\hat F\Bigl(\sum_wa_ww\Bigr)=\sum_wa_wF(w)
$$
は、$K\langle\langle X\rangle\rangle$ の反自己同型である。
要点：$F$ は語を、単元倍を除いて同じ長さの別の語に一対一に移すので、項ごとの延長が意味をもつ。
詳しい証明を開く
語 $w=x_1\cdots x_n$ について $F(w)=c(w)\,w'$、$c(w)=c_{x_1}\cdots c_{x_n}$、$w'=\sigma(x_n)\cdots\sigma(x_1)$ であり、$w\mapsto w'$ は語の全体の全単射である（逆は $\sigma^{-1}$ で同じ操作をする）。よって右辺は語 $w'$ の係数を $a_wc(w)$ とする形式的な和として定まる。積については、語 $u'$ の係数を比べる。$\hat F(fg)$ の $u'$ の係数は、$u'=(vw)'$ となる分け方 $u=vw$ についての $a_vb_w\,c(vw)$ の和である。$(vw)'=w'v'$、$c(vw)=c(w)c(v)$ なので、これは $\hat F(g)\hat F(f)$ の $u'$ の係数 $\sum_{u'=w'v'}b_wc(w)\,a_vc(v)$ と同じ有限和である。和と $1$ を保つことは明らかで、$F_{\sigma^{-1},c'}$ の延長が逆写像になる。$\square$
対称多重ゼータ値 の記事では、$K=\mathbb{R}[T]$、$X=\{x,y\}$ とし、$\sigma=\mathrm{id}$、$c_x=c_y=-1$ とした反自己同型 $\varepsilon$（語を逆に読んで長さの偶奇の符号を掛ける）を $\mathbb{R}[T]\langle\langle x,y\rangle\rangle$ に延ばして使う。$c_xc_{\sigma(x)}=1$ なので $\varepsilon$ は 2 乗が恒等写像である。$\varepsilon(yx^{m-1})=(-x)^{m-1}(-y)=(-1)^mx^{m-1}y$ である。
反自己同型をもたない代数
$k$ を体とし、$E_{ij}$ を行列単位として
$$
A=\left\{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&0\\0&0&e\end{pmatrix}\,\middle|\,a,b,c,d,e\in k\right\}\subset M_3(k)
$$
とおく。$A$ は環として反自己同型をもたない。とくに $A\not\cong A^{\mathrm{op}}$ である。
要点：最大の冪零イデアル $J$ の左零化域と右零化域が、環として違う形をしている。
詳しい証明を開く
$A$ は $M_3(k)$ の部分環である（積の $(2,3)$、$(3,2)$、下三角の成分は $0$ のまま）。$J=kE_{12}+kE_{13}$ とおく。対角成分を取り出す $A\to k^3$、$x\mapsto(a,d,e)$ は全射な環準同型で、核は $J$ である。$J^2=0$ なので $J$ は冪零な両側イデアルである。冪零な両側イデアル $I$ の $k^3$ での像は冪零なイデアルで、$k^3$ は $0$ 以外の冪零元をもたないので像は $0$、すなわち $I\subset J$ である。よって $J$ はただ 1 つの最大の冪零な両側イデアルである。
$x\in A$ について $xE_{12}=aE_{12}$、$xE_{13}=aE_{13}$、$E_{12}x=dE_{12}$、$E_{13}x=eE_{13}$ なので、
$$l(J)=\{x\mid xJ=0\}=\{a=0\},\qquad r(J)=\{x\mid Jx=0\}=\{d=e=0\}$$
である。$l(J)\supset J$、$r(J)\supset J$ で、商の環は $l(J)/J\cong k\times k$（成分 $d,e$）、$r(J)/J\cong k$（成分 $a$）となる。冪等元（$z^2=z$）の個数は前者が $4$、後者が $2$ である。
$f$ を $A$ の反自己同型とする。$f$ は両側イデアルを両側イデアルに移し、$f(I)^n$ は $f(I^n)$ と同じ集合なので冪零性を保つ。よって $f(J)$ は最大の冪零な両側イデアルで、$f(J)=J$ である。$xJ=0$ なら $Jf(x)=f(xJ)=0$ なので $f(l(J))\subset r(J)$、同様に $f^{-1}(r(J))\subset l(J)$ で、$f$ は $l(J)$ を $r(J)$ に、$J$ を $J$ に全単射で移す。すると $f$ は $l(J)/J$ から $r(J)/J$ への全単射で和を保ち積の順序を逆にする写像を誘導する。両者は可換なので、これは冪等元を冪等元に一対一に移す。個数 $4$ と $2$ が違うので矛盾である。$\square$
同じ $A$ の転置 ${}^tA$（下三角の形）は $A^{\mathrm{op}}$ と同型だが、$A$ とは同型でない。ex-anti-matrix の 5 の $T_n(K)$ と違い、$A$ では $J$ の基底 $E_{12},E_{13}$ が第 1 行に並ぶのに対し、${}^tA$ では第 1 列に並び、prop-anti-none の証明の左右の零化域が入れ替わる。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $A$ が可換でない（thm-anti-group の 4） | $A=\mathbb{Q}$ | $\operatorname{Aut}(A)\cap\operatorname{Anti}(A)=\emptyset$（恒等写像が両方に入る） |
| $\sigma$ が全単射（thm-anti-free の 2） | $\mathbb{Q}\langle x,y\rangle$ で $u(x)=u(y)=x$ | $F$ が反自己同型（像は $x$ の多項式だけで $y$ を含まない） |
| $F$ が語を同じ長さの語の単元倍に移す（prop-anti-series） | $K\langle x\rangle=K[x]$（$K$ は体）の $x\mapsto x+1$ | $K[\![x]\!]$ の反自己同型（さらに反準同型）に延びること |
3 行目の確かめ
$K[x]$ は可換なので $x\mapsto x+1$ で定まる自己同型（逆は $x\mapsto x-1$）は反自己同型でもある。反準同型 $\Phi\colon K[\![x]\!]\to K[\![x]\!]$ で $\Phi(x)=x+1$ となるものがあったとする。$1-x$ は $K[\![x]\!]$ で可逆（逆元 $\sum_{n\ge0}x^n$）で、反準同型は可逆元を可逆元に送るので、$\Phi(1-x)=-x$ が可逆になるが、定数項が $0$ なので可逆でない。
補足
反自己同型、反対代数と、位数が $2$ 以下の反自己同型としての対合の定義は Voi21 Definition 3.2.1 と 3.2.2 の段（p. 36）、$M_2$ の余因子行列の例は 3.2.8（p. 37）にある。この記事の命題と定理は記事の中で証明した。
関連項目
参考文献
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