伊藤の定理(指標次数)

共役類を $C_1,\dots,C_h$、類和を $e_i:=e_{C_i}$、$\omega_i:=\omega_\chi(C_i)$ とおく。積 $e_ie_j$ における $z\in G$ の係数は $a_{ij}(z):=\#\{(x,y)\in C_i\times C_j\mid xy=z\}$ であり、$0$ 以上の整数である。$g\in G$ について $(x,y)\mapsto(gxg^{-1},gyg^{-1})$ は $C_i\times C_j$ の全単射で、$xy=z$ を $gxg^{-1}gyg^{-1}=gzg^{-1}$ に移すので、$a_{ij}(gzg^{-1})=a_{ij}(z)$ である。よって $a_{ij}$ は各共役類の上で一定で、その値を $a_{ijk}$（$z\in C_k$ での値）とおくと $e_ie_j=\sum_ka_{ijk}e_k$ である。

$\rho\colon\mathbb{C}[G]\to\operatorname{End}(V)$ は積を保つので、$\omega_i\omega_j\,\mathrm{id}=\rho(e_i)\rho(e_j)=\rho(e_ie_j)=\sum_ka_{ijk}\omega_k\,\mathrm{id}$、すなわち $\omega_i\omega_j=\sum_ka_{ijk}\omega_k$ である。$M:=\mathbb{Z}\omega_1+\cdots+\mathbb{Z}\omega_h\subset\mathbb{C}$ は有限生成で、単位元の類 $\{e\}$ について $\omega_\chi(\{e\})=1$ なので $M\ne\{0\}$ である。上の式から $\omega_iM\subset M$ なので、代数的整数 の定理「有限生成加群による特徴づけ」の 3 ⇒ 1 により $\omega_i$ は代数的整数である。$\square$

$n:=\dim V$、$r:=[G:A]$ とし、$c:=\lvert\lambda(A)\rvert$ を像 $\lambda(A)\subset\mathbb{C}^\times$ の位数とする。$m\ge1$ を固定し、$G^m=G\times\cdots\times G$ の表現 $\rho^{\boxtimes m}$ を $V^{\otimes m}$ 上に lem-ito-tensor のように作る。これは既約で、次数は $n^m$ である。

$(a_1,\dots,a_m)\in A^m$ は $V^{\otimes m}$ にスカラー $\lambda(a_1)\cdots\lambda(a_m)$ 倍で作用する。準同型 $\mu\colon A^m\to\lambda(A)$、$(a_i)\mapsto\lambda(a_1)\cdots\lambda(a_m)$ は全射（$(a,e,\dots,e)\mapsto\lambda(a)$）なので、その核 $H_0$ の位数は $\lvert A\rvert^m/c$ である。$H_0$ は表現の核 $K:=\ker\rho^{\boxtimes m}$ に含まれる。$K$ は $G^m$ の正規部分群で、$V^{\otimes m}$ は $G^m/K$ の既約表現とみなせる（$G^m$ の不変部分空間と $G^m/K$ の不変部分空間は同じ）。prop-ito-frobenius により $n^m$ は $\lvert G^m/K\rvert$ を割る。Lagrange の定理により $\lvert H_0\rvert$ は $\lvert K\rvert$ を割るので、$\lvert G^m/K\rvert$ は $\lvert G\rvert^m/\lvert H_0\rvert=\lvert G\rvert^mc/\lvert A\rvert^m=r^mc$ を割る。よってすべての $m\ge1$ について $n^m$ は $r^mc$ を割る。

$r/n=u/v$（$u,v$ は互いに素な正の整数）と既約分数で書くと、$r^mc/n^m=u^mc/v^m$ は整数であり、$u^m$ と $v^m$ は互いに素なので $v^m$ は $c$ を割る。$v\ge2$ なら $v^m>c$ となる $m$ があって矛盾するので、$v=1$、すなわち $n$ は $r$ を割る。$\square$

1：各 $\rho(a)$ は対角化できる（指標(表現論) の命題「双対・テンソル積・逆元での値」の 3）。$A$ は可換なので $\rho(a)$ たちは互いに可換であり、可換な対角化可能な線形写像の族は同時に対角化できる（一つの $\rho(a)$ の固有空間は他の $\rho(a')$ で保たれるので、$A$ の生成元について順に固有空間を細かく分ければよい）。同時固有ベクトル $v$ について $\rho(a)v=\lambda(a)v$ とおくと、$\rho$ が準同型なので $\lambda\in\widehat A$ であり、$v\in V_\lambda$ である。よって $\sum_\lambda V_\lambda=V$ である。和が直和であることは、$\lambda$ の相異なる値に対する固有空間が独立であることからわかる：$\lambda\ne\mu$ なら $\lambda(a)\ne\mu(a)$ となる $a$ があり、$V_\lambda$ と $V_\mu$ は $\rho(a)$ の異なる固有値の固有空間に含まれる。有限個の相異なる $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ について $\sum_jv_j=0$（$v_j\in V_{\lambda_j}$）とすると、$k$ についての帰納法で、$a$ を $\lambda_1(a)\ne\lambda_k(a)$ にとり $(\rho(a)-\lambda_k(a))$ を掛けて項を減らせば、すべての $v_j=0$ が従う。

$v\in V_\lambda$、$g\in G$、$a\in A$ について $\rho(a)\rho(g)v=\rho(g)\rho(g^{-1}ag)v=\lambda(g^{-1}ag)\rho(g)v=(g\lambda)(a)\rho(g)v$ なので $\rho(g)V_\lambda\subset V_{g\lambda}$ である。$g^{-1}$ についても同じことを言えば等号を得る。

2：$\lambda_0\in\Lambda$ の軌道 $G\lambda_0$ について $U:=\bigoplus_{g\lambda_0}V_{g\lambda_0}$ は 1 により $G$ で保たれ、$0$ でないので、既約性から $U=V$ である。よって $\Lambda=G\lambda_0$ である。

3：1 の直和の成分は互いに異なる $0$ でない部分空間で、$\rho(g)$ はそれらを置換し、2 によりその置換は推移的である。$\rho(g)V_{\lambda_0}=V_{\lambda_0}$ は $V_{g\lambda_0}=V_{\lambda_0}$、すなわち $g\lambda_0=\lambda_0$ と同値なので、誘導表現 の系「推移的に置換される直和分解」により $V\cong\operatorname{Ind}_T^GV_{\lambda_0}$ である。$a\in A$ なら $(a\lambda_0)(a')=\lambda_0(a^{-1}a'a)=\lambda_0(a')$ なので $A\subset T$ である。$V_{\lambda_0}$ が $T$ の表現として $U_1\oplus U_2$（ともに $0$ でない）と分かれたとすると、誘導表現 の命題「推移律と直和」の 2 により $V\cong\operatorname{Ind}_T^GU_1\oplus\operatorname{Ind}_T^GU_2$ となり、$V$ の既約性に反する。有限群の複素表現は完全可約なので（群の表現 の定理「有限群の実・複素表現の完全可約性」）、$V_{\lambda_0}$ は既約である。

最後に、$\Lambda$ が 1 点なら $T=G$ で $V=V_{\lambda_0}$ となり (a) である。$\Lambda$ が 2 点以上なら $T\ne G$ であり、3 から (b) である。$\square$