Erlangenプログラム

同義語：Erlangen programエルランゲン・プログラムエルランゲンプログラム

概要

前提知識: 群の作用, アフィン変換, 相似変換と相似の中心, 射影幾何学

Erlangen プログラムは、F. Klein が 1872 年に Erlangen 大学で発表した、幾何学の分類の原理である。幾何学とは「空間と、その空間に働く変換の群の組」であり、図形の性質のうち群のどの変換でも変わらないものだけを調べる、と考える（Kle72 §1）。
高校の初等幾何でもこの見方はすでに使われている。中点連結定理は、平行移動・回転・拡大だけでなく、アフィン変換で保たれる性質（平行、同じ直線の上の長さの比、中点）だけで述べられるので、1 つの三角形で確かめれば全ての三角形で成り立つ。一方、Euler線の定理は外心と垂心を使うので、相似変換では保たれるがアフィン変換では保たれない。どちらの定理がどの群の幾何に属するかを見分けるのが、Erlangen プログラムの考え方である。

問い	答え
「幾何」とは何か	集合と変換群の組。図形の合同は群の軌道（def-erl-geometry、prop-erl-orbit）
群を大きくすると何が起きるか	不変な性質が減り、合同な図形が増える（prop-erl-change）
平面の合同・相似・アフィン・射影の幾何はどう関係するか	無限遠直線を固定する射影変換がアフィン変換で、さらに垂直を保つものが相似変換、さらに面積を保つものが合同変換である（thm-erl-stabilizer）
それぞれの幾何で三角形を区別する量は何か	3 辺の長さ、辺の比、何もない、の順に減る（thm-erl-triangles）

定義

幾何（集合と変換群の組）

$X$ を集合、$G$ を $X$ から $X$ への全単射からなる集合で、恒等写像を含み、合成と逆写像で閉じているもの（変換群）とする。組 $(X,G)$ を幾何といい、$X$ の元を点、部分集合を図形という。図形 $A$、$B$ について $g(A)=B$ となる $g\in G$ があるとき、$A$ と $B$ は $(X,G)$ で合同であるという。

変換群 $G$ は合成について群をなし、$X$ に作用している（群の作用）。図形の全体にも $g\cdot A:=g(A)$ で作用する。

不変な集合と不変量

図形の集合 $\mathcal{D}$ が不変であるとは、$A\in\mathcal{D}$、$g\in G$ ならば $g(A)\in\mathcal{D}$ となることをいう。$\mathcal{D}$ の上の関数 $\varphi$ が 不変量 であるとは、すべての $A\in\mathcal{D}$、$g\in G$ について $\varphi(g(A))=\varphi(A)$ となることをいう。

たとえば平面の合同変換の幾何では、2 点の組の全体は不変で、2 点の距離は不変量である。平行移動だけの群の幾何では、直線の傾きも不変量になる（Hit18 例 4.1.11 と定義 4.1.8 の後の例）。

合同類と最小の不変集合

合同は図形の間の同値関係で、同値類は図形の全体への $G$ の作用の軌道である。
空でない不変な集合 $\mathcal{D}$ が、空でない不変な真部分集合をもたないことと、$\mathcal{D}$ のどの 2 つの図形も合同であることは同値である。

軌道は不変で、不変集合は軌道の和

1：$\mathrm{id}\in G$ で反射律、$g(A)=B$ なら $g^{-1}(B)=A$ で対称律、$g(A)=B$、$h(B)=C$ なら $(h\circ g)(A)=C$ で推移律が成り立つ。$A$ の同値類は $\{g(A)\mid g\in G\}$、すなわち軌道である。
2：不変な集合 $\mathcal{D}$ は、各元の軌道を含むので、軌道の和集合である。軌道はそれ自身不変である。$\mathcal{D}$ が 2 つ以上の軌道を含めば、その 1 つが空でない不変な真部分集合になる。逆に $\mathcal{D}$ が 1 つの軌道なら、空でない不変な部分集合は 1 つの軌道を含むので $\mathcal{D}$ 全体である。$\square$

2 の「$\Rightarrow$」は Hit18 の定理 4.1.10 で証明され、「$\Leftarrow$」は同書の演習（4.1 節の演習 6）になっている。

群を取りかえる

部分群の幾何と固定する図形

$(X,G)$ を幾何、$H\subset G$ を部分群（$H$ も変換群）とする。

$(X,G)$ の不変量は $(X,H)$ の不変量である。$(X,G)$ の合同類は、$(X,H)$ の合同類のいくつかの和集合である。
図形 $F$ を固定する部分群 $G_F:=\{g\in G\mid g(F)=F\}$ について、図形 $A$、$B$ が $(X,G_F)$ で合同であることは、$g(A)=B$ かつ $g(F)=F$ となる $g\in G$ があることと同値である。

定義をそのまま読む

1：不変量の条件は $G$ のすべての元について課されているので、とくに $H$ の元について成り立つ。$H$ で合同な図形は $G$ でも合同なので、$H$ の合同類は 1 つの $G$ の合同類に含まれる。2：$G_F$ の元とは $g(F)=F$ を満たす $G$ の元のことである。$\square$

1 は、群を大きくすると不変な性質が減り、合同な図形が増えることを述べている。2 は Klein が述べた原理で、「図形 $F$ と一緒に考える」ことと「$F$ を固定する変換だけを許す」ことは同じだ、というものである（Kle72 §2）。逆に、大きい群 $G$ の幾何の中で小さい群 $H$ の幾何を捉えるには、$H=G_F$ となる図形 $F$ を見つければよい。平面の幾何でこれを実行し、図形で捉えられない段も含めて群の包含を調べるのが次の定理である。

平面の 4 つの幾何

平面 $\mathbb{R}^2$ の点 $x$ を射影平面 $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ の点 $[x:1]$ と同一視し、$L_\infty:=\{[u:0]\mid u\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\}$ を 無限遠直線 とする。無限遠点 $[u:0]$ は方向 $u$ を表す。次の 4 つの群を考える。

群	元の形	保たれる性質の例
合同変換の群 $\mathrm{Isom}(2)$	$x\mapsto Qx+b$（$Q$ は直交行列）	距離、角、面積
相似変換の群 $\mathrm{Sim}(2)$	$x\mapsto kQx+b$（$k>0$）	角、長さの比、円であること
アフィン変換の群 $\mathrm{Aff}(2)$	$x\mapsto Tx+b$（$\det T\ne0$）	平行、同じ直線の上の長さの比、中点、重心、面積の比
射影変換の群 $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{R})$	$[v]\mapsto[Mv]$（$\det M\ne0$）	3 点が一直線上にあること、3 直線が 1 点を通ること、複比

合同変換と相似変換がこの形に書けることは平面の合同変換の分類の定理「合同変換の式」と相似変換と相似の中心の命題「相似変換の式」（複素数 $a$ を掛けることは $|a|$ 倍と回転の合成、共役は鏡映）による。アフィン変換で保たれる量はアフィン変換の命題「アフィン変換で保たれる量」にある。$\mathrm{Isom}(2)\subset\mathrm{Sim}(2)\subset\mathrm{Aff}(2)$ は形から明らかで、$\mathrm{Aff}(2)$ は次の定理で $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{R})$ の部分群とみなせる。

主定理 1：小さい群は大きい群の中の固定部分群

合同・相似・アフィンの幾何の位置づけ

射影変換 $g\in\mathrm{PGL}_3(\mathbb{R})$ が $g(L_\infty)=L_\infty$ を満たすことは、ある $T\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$、$b\in\mathbb{R}^2$ によって $g([x:1])=[Tx+b:1]$（$x\in\mathbb{R}^2$）と書けることと同値である。$g$ に平面への制限を対応させる写像は、$L_\infty$ を固定する射影変換の群から $\mathrm{Aff}(2)$ への群の同型である。
アフィン変換 $f(x)=Tx+b$ が相似変換であることは、$T$ が垂直な 2 つのベクトルを垂直な 2 つのベクトルに移すことと同値である。これは、$f$ が $L_\infty$ の上に引き起こす写像 $[u:0]\mapsto[Tu:0]$ が、各方向に垂直な方向を対応させる写像 $J\colon[u_1:u_2:0]\mapsto[-u_2:u_1:0]$ と可換であることとも同値である。
相似変換 $f(x)=kQx+b$ が合同変換であることは、面積を保つこと（$|\det(kQ)|=1$）と同値である。

行列の形と、垂直の条件を 2 組の直交で読む

1：$g=\bar M$、$M=\begin{pmatrix}T&b\\ c&d\end{pmatrix}$（$T$ は $2\times2$、$c$ は横ベクトル）とする。$g(L_\infty)=L_\infty$ は、$M$ が平面 $\{(u,0)\}$ をそれ自身に移すこと、すなわち $c=0$ と同値である。このとき $\det M=d\det T\ne0$ なので $d\ne0$ で、$M$ を $d^{-1}M$ に取りかえて $d=1$ としてよい。すると $g([x:1])=[Tx+b:1]$ である。逆にこの形の $g$ は $c=0$ の行列で与えられる。$d=1$ と正規化した $M$ は $g$ からただ 1 つに決まり（射影幾何学の定理「射影枠の基本定理」により $M$ は定数倍を除いて決まる）、$g$ と制限 $x\mapsto Tx+b$ は互いに相手を決める。合成は行列の積 $\begin{pmatrix}T&b\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}T'&b'\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}TT'&Tb'+b\\ 0&1\end{pmatrix}$ でアフィン変換の合成と一致するので、群の同型である。
2：相似変換なら $T=kQ$ で、$Tu\cdot Tv=k^2\,u\cdot v$ なので垂直は保たれる。逆に $T$ が垂直を保つとし、$B:={}^tT\,T$（対称行列）とおく。$Tu\cdot Tv={}^tu\,B\,v$ である。$e_1\perp e_2$ から $B_{12}=0$、$(e_1+e_2)\perp(e_1-e_2)$ から $B_{11}-B_{22}=0$ なので $B=cI$ で、$c=|Te_1|^2>0$ である。$k:=\sqrt c$、$Q:=k^{-1}T$ とおけば ${}^tQ\,Q=I$ で、$f(x)=kQx+b$ は比 $k$ の相似変換である。
$J$ について：$Ju$（$u=(u_1,u_2)$ に対し $(-u_2,u_1)$）は $u$ に垂直な方向である。$T$ が垂直を保つなら $TJu\perp Tu$ で、$JTu\perp Tu$ でもあるので、平面で $Tu$ に垂直な方向はただ 1 つだから $[TJu]=[JTu]$ である。逆に $[TJu]=[JTu]$ がすべての $u$ で成り立てば、$v\perp u$（$v\ne0$）は $[v]=[Ju]$ を意味し、$[Tv]=[TJu]=[JTu]$ から $Tv\perp Tu$ である。
3：$T=kQ$ なら $|\det T|=k^2|\det Q|=k^2$ で、面積は $|\det T|$ 倍になる（1次変換と行列式：面積の拡大率）。よって面積を保つことは $k=1$、すなわち合同変換であることと同値である。$\square$

1 により、アフィン幾何は「射影平面に無限遠直線 $L_\infty$ を付け加えて考える射影幾何」である。2 により、相似の幾何はさらに $L_\infty$ の上の対応 $J$ を固定したもので、合同の幾何はさらに面積（長さの単位）を固定したものである。prop-erl-change の 2 の原理は、最初の段 $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{R})\supset\mathrm{Aff}(2)$ では図形 $L_\infty$ を固定することとしてそのまま実現している。次の段で固定するのは図形でなく $L_\infty$ の上の対応 $J$（複素数に広げれば円点の組、rem-erl-circular-points）で、最後の段で固定するのは面積という量である。実際、$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ の部分集合 $F$ で $\mathrm{Aff}(2)_F=\mathrm{Sim}(2)$ や $\mathrm{Sim}(2)_F=\mathrm{Isom}(2)$ となるものはない。$\mathrm{Isom}(2)$ は平行移動と回転を含むので $\mathbb{R}^2$ の点と $L_\infty$ の点にそれぞれ推移的に働き、$\mathrm{Isom}(2)$ で不変な部分集合は $\emptyset$、$\mathbb{R}^2$、$L_\infty$、$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ だけで、これらはどれも $\mathrm{Aff}(2)$ でも不変だからである。

円点

$J$ を複素数に広げると、固有ベクトルは $(1,\pm i)$ で、$J$ は $L_\infty$ の 2 つの虚の点 $[1:\pm i:0]$（円点）で決まる。実の行列 $T$ が垂直を保つことは、$T$ がこの 2 点の組 $\{[1:i:0],[1:-i:0]\}$ を保つことと同値である。実際、$T=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ について $T(1,i)$ が $(1,i)$ の複素数倍になる条件は $c=-b$、$d=a$（$T$ は回転の正の数倍）で、$(1,-i)$ の複素数倍になる条件は $c=b$、$d=-a$（鏡映の正の数倍）である。$T$ が実なので $T(1,-i)$ は $T(1,i)$ の共役になり、組が保たれることはこのどちらかと同値である。Klein は空間について、計量的な性質を「無限遠の虚円」という図形に対する射影的な関係として捉えた（Kle72 §3）。円点はその平面での姿である。

主定理 2：三角形を区別する量

一直線上にない 3 点の順序付きの組 $(a,b,c)$ を三角形という。点の順序付きの組 $(a_1,\dots,a_m)$、$(a'_1,\dots,a'_m)$ が $(X,G)$ で合同であるとは、$g(a_i)=a'_i$（$i=1,\dots,m$）となる $g\in G$ があることとする。これは $X^m$ への作用 $g\cdot(a_1,\dots,a_m):=(g(a_1),\dots,g(a_m))$ で同じ軌道に入ることなので、prop-erl-orbit の 1 と同じ理由で同値関係である。順序付きの組が合同なら、集合 $\{a_1,\dots,a_m\}$ と $\{a'_1,\dots,a'_m\}$ は def-erl-geometry の意味で合同だが、逆は成り立たない（合同な三角形の頂点の名前を入れ替えると、一般に順序付きの組としては合同でない）。各幾何で、2 つの三角形がいつ合同になるかを調べる。

三角形の合同類

三角形 $(a,b,c)$、$(a',b',c')$ について次が成り立つ。合同はどれも順序付きの点の組の意味とする。

$\mathrm{Isom}(2)$ で合同 $\iff$ $|ab|=|a'b'|$、$|bc|=|b'c'|$、$|ca|=|c'a'|$。
$\mathrm{Sim}(2)$ で合同 $\iff$ ある $k>0$ で $|a'b'|=k|ab|$、$|b'c'|=k|bc|$、$|c'a'|=k|ca|$。
$\mathrm{Aff}(2)$ では、どの 2 つの三角形も合同である。
$\mathrm{PGL}_3(\mathbb{R})$ では、どの 3 点も一直線上にない 4 点の順序付きの組は、どの 2 つも合同である。一直線上の相異なる 4 点の順序付きの組 $(a,b,c,d)$、$(a',b',c',d')$ が合同であることは、複比が等しいことと同値である。

2 点を合わせ、残りの 1 点を鏡映で直す

1：「$\Rightarrow$」は合同変換が距離を保つことである。「$\Leftarrow$」：平行移動と回転の合成 $f_1$ で $a\mapsto a'$、$b\mapsto b'$ とできる（$|ab|=|a'b'|$ なので、$a$ を $a'$ に平行移動したあと $a'$ のまわりに回せばよい）。$c'':=f_1(c)$ は $|a'c''|=|a'c'|$、$|b'c''|=|b'c'|$ を満たす。$a'$ 中心で半径 $|a'c'|$ の円と $b'$ 中心で半径 $|b'c'|$ の円の共有点は、2 つの円の式を引いて得られる直線と円の共有点なので 2 個以下で、直線 $a'b'$ に関する鏡映 $r$ は両方の円を保つ。$c'$ は直線 $a'b'$ の上にないので $c'\ne r(c')$ で、共有点は $c'$ と $r(c')$ のちょうど 2 個である。よって $c''=c'$ なら $f_1$、$c''=r(c')$ なら $r\circ f_1$（$r$ は $a',b'$ を動かさない）が求める合同変換である。
2：「$\Rightarrow$」は相似変換の定義である。「$\Leftarrow$」：$x\mapsto kx$ で $(a,b,c)$ を移した三角形と $(a',b',c')$ に 1 を当てればよい。
3：アフィン変換の系「三角形はどれもアフィン変換で移り合う」である。
4：前半は射影幾何学の定理「射影枠の基本定理」の $n=2$ の場合である。後半：4 点が直線 $L=\mathbb{P}(W)$ の上に、4 点 $a',\dots,d'$ が直線 $L'=\mathbb{P}(W')$ の上にあるとし、$W$、$W'$ に基底をとって $L$、$L'$ を $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ と同一視して複比を測る（基底の取りかえは $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R})$ の元なので、複比の定理「複比の基本定理」の 1 により値は基底によらない）。$g\in\mathrm{PGL}_3(\mathbb{R})$ が 4 点を 4 点に移せば、$g=\bar M$ の $M$ は $W$ を $W'$ に移す線形同型を与え、この座標では $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R})$ の元なので複比を保つ。逆に複比が等しければ、同じ定理の 3 により 4 点を 4 点に移す線形同型 $W\to W'$ があり、$W$ と $W'$ の基底を $\mathbb{R}^3$ の基底に延ばせば $\mathbb{R}^3$ の線形同型に広がる。$\square$

不変量の言葉で言いかえると、合同の幾何の三角形の完全な不変量は 3 辺の長さ、相似の幾何では辺の比（三角形の相似条件により 2 つの角でもよい）であり、アフィン幾何には三角形の不変量がない。アフィン幾何で初めて区別が生じるのは 4 点の配置で、平行四辺形の 4 頂点は平行四辺形の 4 頂点にしか移らない（アフィン変換の命題「アフィン変換で保たれる量」の 1・2）。射影幾何では 4 点まで区別がなく、一直線上の 4 点で初めて複比という不変量が現れる。

Euler 線の定理と中点連結定理はどの幾何に属するか

三角形 $a=(0,0)$、$b=(1,0)$、$c=(0,1)$ は $a$ で直角なので、垂心は $a$ である。アフィン変換 $f(x,y)=(x+y,\,y)$ で移すと $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$ になり、直角は $(1,0)$ に移るので、新しい三角形の垂心は $(1,0)$ である。一方 $f(a)=(0,0)$ なので、アフィン変換は垂心を垂心に移さない。したがって垂心・外心を使う Euler線の定理は $\mathrm{Sim}(2)$ の幾何の定理であって、thm-erl-triangles の 3 を使って 1 つの三角形の計算に帰着させることはできない。
これに対し、中点・重心は $\mathrm{Aff}(2)$ で保たれるので、中点連結定理や「3 本の中線は 1 点で交わる」はアフィン幾何の定理であり、3 により三角形 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$ だけで確かめれば足りる。

例と反例

各行は定理の条件を 1 つだけ外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$g$ が $L_\infty$ を保つ	$g([x:y:z])=[z:y:x]$	$g$ が平面の点を平面の点に移すこと（thm-erl-stabilizer の 1）。$g([0:0:1])=[1:0:0]\in L_\infty$
垂直な 2 つのベクトルの組のすべてで垂直を保つ	$T=\mathrm{diag}(1,2)$ は $e_1\perp e_2$ の 1 組だけ垂直を保つ	相似変換であること（thm-erl-stabilizer の 2）。$T(e_1+e_2)=(1,2)$ と $T(e_1-e_2)=(1,-2)$ は垂直でない
3 点（三角形）	正方形 $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$ と台形 $(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)$	アフィン変換で移り合うこと（thm-erl-triangles の 3 を 4 点にすると成り立たない）。アフィン変換は平行四辺形を平行四辺形に移す
4 点のどの 3 点も一直線上にない	$[1:0:0],[0:1:0],[1:1:0],[0:0:1]$ と $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1],[1:1:1]$	射影変換で移り合うこと（thm-erl-triangles の 4）。射影変換は一直線上の 3 点を一直線上の 3 点に移す

さらに先へ

平面の円と直線を 1 つにまとめ、Möbius 変換の群を考えた幾何 $(\mathbb{C}\cup\{\infty\},\mathcal{M})$ も、Erlangen プログラムの意味での幾何である（Hit18 §4.2、Möbius変換）。そこでは円と直線の区別がなくなり、複素数の複比が不変量になる。
双曲幾何は、Beltrami–Klein モデルでは円板の弦を直線とする幾何として実現される（非Euclid幾何学の定理「Beltrami–Klein モデル」）。Klein は、ある 2 次曲面を基準にした射影的な計量の幾何が、平行線公準を仮定しない非 Euclid 幾何と本質的に一致すると注記している（Kle72 の注 V。この記事では証明しない）。
群をさらに大きくして同相写像の群をとると、位相幾何学の見方になる。Klein も、無限小の変形を合成して得られる変換で変わらないものを調べる analysis situs（位相幾何学の古い呼び名）を、群にもとづく方法の 1 つとして挙げている（Kle72 §8 の Analysis situs の項）。