2次拡大

1：$\tau(f(\alpha))=f(\tau(\alpha))$（$f$ の係数は $K$ の元）なので $\tau(\alpha)$ は $f$ の根であり、$L[x]$ で $f=(x-\alpha)(x-\alpha')$ なので $\tau(\alpha)\in\{\alpha,\alpha'\}$ である。$\tau(u+v\alpha)=u+v\tau(\alpha)$ なので $\tau$ は $\tau(\alpha)$ で決まる。$\alpha'\neq\alpha$ とする。$K$ 上の環準同型 $K[x]\to L$、$x\mapsto\alpha'$ の核は $f$ を含み、$f$ は既約なので核は $(f)$ であり、単射 $K[x]/(f)\to L$ が得られる。両辺とも $K$ 上 $2$ 次元なので全単射である。同じく $x\mapsto\alpha$ から同型 $K[x]/(f)\cong L$ が得られ、前者に後者の逆を合成したものが $\sigma$ であり、$\sigma$ は $K$ 上の自己同型である。$\sigma^2(\alpha)=\sigma(-b-\alpha)=-b-\alpha'=\alpha$ なので $\sigma^2=\mathrm{id}$ である。
2：(b) と (c) の同値は 1 による（$\alpha'=\alpha$ なら $\tau(\alpha)=\alpha$ しかなく、$\tau=\mathrm{id}$）。(a) なら $\alpha$ の最小多項式 $f$ の 2 つの根 $\alpha,\alpha'$ は異なるので (b) である。(b) を仮定し、$\beta\in L$ をとる。$\beta\in K$ なら最小多項式は 1 次式である。$\beta\notin K$ なら $\beta=u+v\alpha$（$v\neq0$）と書け、$\sigma(\beta)=u+v\alpha'\neq\beta$ も $\beta$ の最小多項式の根である（1 の前半と同じ理由）。最小多項式は 2 次なので $(x-\beta)(x-\sigma(\beta))$ であり、根は異なる。よって (a) である。(c) と (d) の同値は、$[L:K]=2$ と Galois拡大 の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」の 1 と 2 の同値による。
標数が $2$ でなければ、$\alpha'=\alpha$ は $2\alpha=-b$、すなわち $\alpha=-b/2\in K$ を意味して矛盾するので、(b) が成り立つ。標数が $2$ なら $-b=b$、$-\alpha=\alpha$ なので $\alpha'=\alpha+b$ であり、$\alpha'\neq\alpha$ は $b\neq0$ と同値である。
3：$b=0$ なら $\alpha^2=-c=c\in K$ である。$\beta=u+v\alpha$ について、標数 $2$ では $2uv\alpha=0$ なので $\beta^2=u^2+v^2\alpha^2\in K$ である。よって各元の $2$ 乗が $K$ に入り、$L/K$ は純非分離拡大である。$\alpha'=-\alpha=\alpha$ なので、1 により $\operatorname{Aut}(L/K)=\{\mathrm{id}\}$ である。$\square$

1：$m_{\beta\gamma}=m_\beta\circ m_\gamma$、$m_{\beta+\gamma}=m_\beta+m_\gamma$、$m_{a\beta}=am_\beta$ と、行列式の乗法性・跡の線形性による。$a\in K$ なら $m_a=aI$ なので $N(a)=a^2$、$\operatorname{Tr}(a)=2a$ である。
2：$\beta$ の最小多項式を $x^2+px+q$ とする。$1,\beta$ は $L$ の基底で、$m_\beta(1)=\beta$、$m_\beta(\beta)=\beta^2=-q-p\beta$ なので、$m_\beta$ の行列は $\begin{pmatrix}0&-q\\1&-p\end{pmatrix}$ であり、$N(\beta)=q$、$\operatorname{Tr}(\beta)=-p$ である。
3：分離的なとき、$\beta\notin K$ なら prf-qext-galois の 2 により最小多項式は $(x-\beta)(x-\sigma(\beta))=x^2-(\beta+\sigma(\beta))x+\beta\sigma(\beta)$ なので、2 と係数を比べればよい。$\beta\in K$ なら $\sigma(\beta)=\beta$ で、1 の $N(\beta)=\beta^2$、$\operatorname{Tr}(\beta)=2\beta$ と一致する。分離的でないとき、標数は $2$ で、thm-qext-galois の 3 により $\beta^2\in K$ である。$\beta\notin K$ なら最小多項式は $x^2-\beta^2$ なので、2 から $\operatorname{Tr}(\beta)=0$、$N(\beta)=-\beta^2=\beta^2$ である。$\beta\in K$ なら 1 により $N(\beta)=\beta^2$、$\operatorname{Tr}(\beta)=2\beta=0$ である。
4：$\beta\neq0$ なら $m_{\beta^{-1}}$ が $m_\beta$ の逆写像なので $\det m_\beta\neq0$ である。$N(0)=0$ は明らか。$\square$

$\beta=\gamma/\sigma(\gamma)$ なら、prop-qext-norm の 3 と $\sigma^2=\mathrm{id}$ により $N(\beta)=\beta\sigma(\beta)=\frac{\gamma}{\sigma(\gamma)}\cdot\frac{\sigma(\gamma)}{\gamma}=1$ である。
逆に $N(\beta)=\beta\sigma(\beta)=1$ とする。$\theta\in L$ に対し $\gamma:=\theta+\beta\sigma(\theta)$ とおくと
$$ \beta\sigma(\gamma)=\beta\sigma(\theta)+\beta\sigma(\beta)\theta=\beta\sigma(\theta)+\theta=\gamma $$
である。したがって $\gamma\neq0$ となる $\theta$ があれば $\beta=\gamma/\sigma(\gamma)$ である。$\beta\neq-1$ なら $\theta=1$ で $\gamma=1+\beta\neq0$ である。$\beta=-1$ なら、$\theta=\alpha\in L\setminus K$ をとると $\gamma=\alpha-\sigma(\alpha)\neq0$ である（thm-qext-galois の 2 の (b)）。$\square$

右辺が左辺に含まれることは、$e^2$ と $de^2=(e\sqrt d)^2$（$e\in K^\times$）から分かる。逆に $c\in K^\times$ が $c=(u+v\sqrt d)^2=u^2+dv^2+2uv\sqrt d$（$u,v\in K$）と書けたとすると、基底 $1,\sqrt d$ の係数を比べて $2uv=0$ である。$2\neq0$ なので $u=0$ または $v=0$ であり、$v=0$ なら $c=u^2$、$u=0$ なら $c=dv^2$ である（どちらも $c\neq0$ なので $u$ または $v$ は $0$ でない）。$\square$

1：$a$ が平方なら $\alpha\in K$ で $M=K(\beta)$、$[M:K]\le2$ である。$b$ も同様である。$ab=e^2$（$e\in K^\times$）なら $\beta=\pm e/\alpha\in K(\alpha)$（$\beta^2=b=e^2/a=(e/\alpha)^2$）なので $M=K(\alpha)$ である。逆に $a,b,ab$ のどれも平方でないとする。$a$ は平方でないので $L:=K(\alpha)$ は 2 次拡大である。$b$ が $L$ の平方なら lem-qext-squares により $b\in(K^\times)^2$ か $b\in a(K^\times)^2$ で、後者なら $ab=a^2(b/a)\in(K^\times)^2$ となる。どちらも仮定に反するので $b$ は $L$ の平方でなく、$\beta\notin L$、$[M:L]=2$ である。拡大次数 の定理「次数の乗法性」により $[M:K]=4$ である。
2：$[M:K]=4$ とし、$L=K(\alpha)$ とする。$\tau\in\operatorname{Aut}(L/K)$（$\tau(\alpha)=\pm\alpha$。thm-qext-galois の 1 により 2 つある）と $\varepsilon\in\{\pm1\}$ に対し、$\tilde\tau(u+v\beta):=\tau(u)+\tau(v)\varepsilon\beta$（$u,v\in L$）とおく。$1,\beta$ は $M$ の $L$ 上の基底なので $\tilde\tau$ は well-defined な全単射で、加法を保つ。乗法については
$$ (u+v\beta)(u'+v'\beta)=(uu'+vv'b)+(uv'+vu')\beta $$
と $\tau(b)=b$、$\varepsilon^2=1$ から $\tilde\tau$ が積を保つことが分かる。こうして $\alpha\mapsto\pm\alpha$、$\beta\mapsto\pm\beta$ の 4 通りの $K$ 上の自己同型が得られる（標数が $2$ でないので $\alpha\neq-\alpha$、$\beta\neq-\beta$ であり、4 つは異なる）。逆に $K$ 上の自己同型 $\rho$ は $\alpha,\beta$ をそれぞれ $\pm\alpha,\pm\beta$ に移し（$\rho(\alpha)^2=a$）、$\rho(\alpha),\rho(\beta)$ で決まるので、ちょうど 4 つである。$\lvert\operatorname{Aut}(M/K)\rvert=4=[M:K]$ なので、Galois拡大 の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」により $M/K$ は Galois 拡大である。$\rho(\alpha)=\varepsilon_1\alpha$、$\rho'(\alpha)=\varepsilon'_1\alpha$ なら $\rho'\rho(\alpha)=\varepsilon_1\varepsilon'_1\alpha$ なので（$\beta$ も同様）、写像 $\rho\mapsto(\rho(\alpha)/\alpha,\rho(\beta)/\beta)$ は準同型で、単射であり、位数が等しいので同型である。
3：$K(\alpha)$、$K(\beta)$、$K(\alpha\beta)$ は $a,b,ab$ が平方でないので 2 次拡大である。逆に $F$ を $[F:K]=2$ の中間体とすると、標数が $2$ でないので $F=K(\gamma)$、$\gamma^2=c\in K$ で $c$ は $K$ の平方でない（拡大次数 の命題「次数 1 と 2 の拡大」の 3）。$c$ は $M$ の平方である。$M=L(\beta)$ で $b$ は $L$ の平方でない（1 の証明）ので、lem-qext-squares を $M/L$ に使うと $c=y^2$ または $c=by^2$（$y\in L^\times$）である。前者なら $y^2=c\in K$ なので、同じ補題を $L/K$ に使って $c\in(K^\times)^2\cup a(K^\times)^2$。後者なら $y^2=c/b\in K$ なので $c\in b(K^\times)^2\cup ab(K^\times)^2$。$c$ は平方でないので、$c\in a(K^\times)^2$、$b(K^\times)^2$、$ab(K^\times)^2$ のどれかであり、$c=ae^2$ なら $\gamma=\pm e\alpha$ で $F=K(\alpha)$、ほかも同様に $F=K(\beta)$ または $F=K(\alpha\beta)$ である。最後に、たとえば $K(\alpha)=K(\beta)$ なら $b$ が $K(\alpha)$ の平方となり、1 の証明と同じく矛盾する。$K(\alpha)=K(\alpha\beta)$ なら $ab$ が $K(\alpha)$ の平方となり、補題から $ab\in(K^\times)^2$ か $ab\in a(K^\times)^2$、すなわち $ab$ か $b$ が平方となって矛盾する。$K(\beta)=K(\alpha\beta)$ も同様である。$\square$