モチーフ的安定ホモトピー圏

前提知識: A¹ホモトピー論, スペクトル(ホモトピー論), スマッシュ積, 射影直線, 交代群

基礎スキーム $S$ 上のモチーフ的安定ホモトピー圏（motivic stable homotopy category）$\mathrm{SH}(S)$ は、$S$ 上の滑らかなスキームの基点付き $\mathbb A^1$ ホモトピー圏を、射影直線 $(\mathbb P^1,\infty)$ とのスマッシュ積が可逆になるように安定化した圏である。位相空間の安定ホモトピー圏が球面 $S^1$ による懸垂を可逆にして得られるのと同じように作られるが、代数幾何には単体的な円周 $S^1_s$ と乗法群 $\mathbb G_m$ という二種類の「円周」があり、$\mathbb P^1$ はその両方のスマッシュ積にあたる。このため $\mathrm{SH}(S)$ の球面とコホモロジー論は二つの添字 $(p,q)$ をもち、モチーフ的コホモロジーや代数的 K 理論はこの圏の対象で表される。
安定化した圏がスマッシュ積をもつ対称モノイダル圏になるためには、$\mathbb P^1$ の 3 つのスマッシュ積の巡回置換がホモトピー圏で恒等射になることが鍵になる。主定理（thm-mot-permutation）はこれを、$\mathbb P^1$ と同型な $T=\mathbb A^1/(\mathbb A^1-\{0\})$ の $n$ 個のスマッシュ積への線形な作用を使って証明する。偶置換は恒等射と $\mathbb A^1$ ホモトピックであり、奇置換は一つの因子の符号反転 $x\mapsto-x$ と $\mathbb A^1$ ホモトピックである。安定化の構成、対称モノイダル構造の存在、表現対象は所在を示して述べる。

不安定な球面

以下、$S$ を有限 Krull 次元の Noether スキーム、$\mathrm{Sm}/S$ を $S$ 上滑らかな有限型スキームの圏とし、空間とは $\mathrm{Sm}/S$ 上の単体的 Nisnevich 層をいう。集合値の層は各段が同じ単体的層とみなす。基点付きの空間の $\mathbb A^1$ ホモトピー圏を $\mathcal H_\bullet(S)$ と書く（A¹ホモトピー論 の圏 $\mathcal H(S)$ の基点付き版。MV99 §3、p. 109）。基点付き空間 $K,L$ のスマッシュ積 $K\wedge L$ は $K\times L$ を $K\vee L$ でつぶした層であり、$K_+$ は $K$ に基点を非交和で付け加えたものである。
層 $X$ とその部分層 $U$ について、$X/U$ は押し出し $*\leftarrow U\to X$ の層、すなわち $U$ を一点につぶした基点付きの層を表す。次の三つの空間を使う（MV99 §3、pp. 110–111）。

• $S^1_s$：単体的集合 $\Delta^1/\partial\Delta^1$ の定数層（単体的な円周）。
• $S^1_t$：$\mathbb A^1_S-\{0\}=\mathbb G_{m,S}$ が表す層を $1$ で基点付けたもの（Tate の円周）。
• $T:=\mathbb A^1/(\mathbb A^1-\{0\})$。
  $p\ge q\ge0$ について $S^{p,q}:=(S^1_s)^{\wedge(p-q)}\wedge(S^1_t)^{\wedge q}$ とおく。$\mathcal H_\bullet(S)$ での標準同型
  $$ T\cong S^1_s\wedge S^1_t=S^{2,1},\qquad(\mathbb P^1,\infty)\cong T,\qquad \mathbb A^n-\{0\}\cong S^{2n-1,n} $$
  がある（MV99 §3 Lemma 2.15（p. 111）、Corollary 2.18（p. 112）、Example 2.20（p. 113）。この記事では証明しない）。$\mathbb A^n$ 自身は一点と $\mathbb A^1$ 弱同値なので（A¹ホモトピー論 の命題「アフィン空間の $\mathbb{A}^1$ 収縮」）、球面は「$\mathbb A^n$ から原点の外をつぶしたもの」あるいは「原点を除いたもの」として現れる。

安定化

$T'$ スペクトルの間には、ホモトピー類の余極限を比べる安定弱同値が定まり、安定弱同値を逆にした圏を $\mathcal H_\bullet(S)[\![T'^{-1}]\!]$ と書く（Voe98 §5 Definition 5.1、p. 592）。基点付き空間 $X$ の懸垂スペクトル $\Sigma^\infty_{T'}X$ は $(\Sigma^\infty_{T'}X)_i:=T'^{\wedge i}\wedge X$、$e_i=\mathrm{id}$ で定める。有限型の空間 $X$ と $T'$ スペクトル $E$ について
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal H_\bullet(S)[\![T'^{-1}]\!]}\bigl(\Sigma^\infty_{T'}X,E\bigr)\cong\operatorname*{colim}_n\operatorname{Hom}_{\mathcal H_\bullet(S)}\bigl(T'^{\wedge n}\wedge X,E_n\bigr) $$
が成り立ち（同 Theorem 5.2、p. 593）、懸垂スペクトルの間の射は「$T'$ による懸垂を十分に施したあとの射」である。

$\mathrm{SH}(S)$ は加法的な三角圏で（同 Proposition 5.4（p. 593）。$(\mathbb P^1,\infty)$ が $S^1_s\wedge S^1_t$ の模型であることは Definition 5.7 の直前の説明による）、スマッシュ積による対称モノイダル構造をもち、$\Sigma^\infty X\wedge\Sigma^\infty Y\cong\Sigma^\infty(X\wedge Y)$ となる（同 Theorem 5.6、pp. 593–594）。この記事ではこれらを証明しない。Theorem 5.6 の仮定は「$T'$ の 3 つのスマッシュ積の巡回置換が $\mathcal H_\bullet(S)[T'^{-1}]$ で恒等射に等しい」ことであり、$T'=(\mathbb P^1,\infty)$ についてこの仮定を確かめるのが次節の主定理である。$\mathrm{SH}(S)$ では $\Sigma^\infty(S^1_s)$ と $\Sigma^\infty(S^1_t)$ がともに可逆になり、すべての整数 $n$ について $S^n_s$、$S^n_t$ が、したがってすべての整数 $p,q$ について球面 $S^{p,q}:=S^{p-q}_s\wedge S^q_t$ が定まる（同 (16)、p. 595）。対象 $E$ は二重次数のコホモロジー論
$$ E^{p,q}(X):=\operatorname{Hom}_{\mathrm{SH}(S)}\bigl(\Sigma^\infty X,\ S^{p,q}\wedge E\bigr) $$
を定める（同 §6、p. 595）。$S^{2,1}\cong\Sigma^\infty(\mathbb P^1,\infty)$ による懸垂は $(p,q)$ を $(2,1)$ だけずらす。

主定理：スマッシュ積への置換の作用

$T^{\wedge n}$ の線形な表示

集合値の層 $X,Y$ とその部分層 $U\subset X$、$V\subset Y$ について、$U\times Y\cup X\times V$ は $X\times Y$ の二つの部分層の合併（$U\times Y\sqcup X\times V\to X\times Y$ の像）を表す。$X/\emptyset=X_+$ である。

$\mathbb A^n_S$ の座標を $x_1,\ldots,x_n$ とし、零切断の補集合 $\mathbb A^n-\{0\}=\bigcup_iD(x_i)$ が表す層も同じ記号で書く。$Y\in\mathrm{Sm}/S$ と $v\in\mathbb A^n(Y)=\Gamma(Y,\mathcal O_Y)^n$ について、$v$ が $\mathbb A^n-\{0\}$ を経由することは、$Y$ の各点 $y$ で剰余体の値 $v(y)\in\kappa(y)^n$ が $0$ でないことと同値である。

$M\in\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ は $S$ 上の射 $\mathbb A^n\to\mathbb A^n$、$v\mapsto Mv$ を定める。$M$ は各剰余体の上で可逆なので $v(y)\ne0$ と $Mv(y)\ne0$ は同値であり、$M$ は $\mathbb A^n-\{0\}$ を保つ。よって $M$ は基点付きの自己同型 $M_*\colon T^{\wedge n}\to T^{\wedge n}$ を誘導する。$\varepsilon\colon T\to T$ を $x\mapsto-x$（$n=1$、$M=(-1)$）が誘導する自己同型とする。

$\mathbb A^1$ ホモトピー

$\varphi\simeq\varphi'$ なら任意の $\psi$ について $\psi\circ\varphi\simeq\psi\circ\varphi'$ と $\varphi\circ\psi\simeq\varphi'\circ\psi$ が成り立つ（初等ホモトピー $H$ に $\psi\circ H$、$H\circ(\psi\wedge\mathrm{id})$ を対応させる）。

主定理

$i\ne j$、$a\in\mathbb Z$ について、$(i,j)$ 成分が $a$ で他は単位行列と同じ行列を基本行列 $E_{ij}(a)$ という（基本行列）。基本行列の有限個の積の全体を $\mathrm{E}_n(\mathbb Z)$ と書く。

$T\cong(\mathbb P^1,\infty)$ なので、2 は $(\mathbb P^1,\infty)$ の 3 つのスマッシュ積の巡回置換が $\mathcal H_\bullet(S)$ で、したがって $\mathcal H_\bullet(S)[(\mathbb P^1,\infty)^{-1}]$ でも恒等射に等しいことを示す。これが Voe98 Theorem 5.6 の仮定であり、$\mathrm{SH}(S)$ の対称モノイダル構造はこの性質に支えられている。Voe98 Lemma 4.4（p. 588）は同じ性質を $(S^1_s\wedge S^1_t)^{\wedge3}$ について述べている。位相空間の球面では $S^1\wedge S^1\cong S^2$ の入れ替えは鏡映で、写像度は $-1$ である（Hat02 §2.2 の写像度の性質 (e)、p. 134）。3 は、この符号の役割を $T$ では $\varepsilon$ が担うことを示している。

表現される理論と実現

この節の主張はこの記事では証明しない。

• モチーフ的コホモロジー：Eilenberg–MacLane スペクトル $H\mathbb Z\in\mathrm{SH}(S)$ が定まり、標数 $0$ の体上の滑らかな準射影多様体 $U$ について $H\mathbb Z^{p,q}(U_+)\cong\mathrm{CH}^q(U,2q-p)$（Bloch の高次 Chow 群）が成り立つ（Voe98 §6.1、Theorem 6.4、p. 598）。
• 代数的 K 理論：$S$ が正則なら、滑らかな $X$ と $i\ge0$ について $K_i(X)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal H_\bullet(S)}(S^i_s\wedge X_+,BGL\times\mathbb Z)$ が成り立ち（同 Theorem 6.5、p. 599）、これからモチーフ的スペクトル $\mathbf{BGL}$ が作られる。$\mathbf{BGL}\cong S^1_s\wedge S^1_t\wedge\mathbf{BGL}$（同 Theorem 6.8、p. 600）なので、K 理論は $(2,1)$ を周期とし、Noether な $S$ 上の滑らかな $X$ について $\mathbf{BGL}^{p,q}(X_+)\cong KH_{2q-p}(X)$（ホモトピー K 理論）である（同 Theorem 6.9、p. 600）。
• 複素実現：$S$ の $\mathbb C$ 値点を一つ選ぶと、$\mathbb A^1$ ホモトピー圏から位相空間のホモトピー圏への関手 $t_{\mathbb C}$ が定まり、単体的スキーム $\mathcal X$ をその複素点 $\mathcal X(\mathbb C)$ の幾何学的実現へ送る。$t_{\mathbb C}(S^1_s)$ と $t_{\mathbb C}(S^1_t)$ はどちらも円周 $S^1$ である（MV99 §3.3、p. 121）。

反例の表

この記事の補題と主定理の言い方の条件を外す。2 行目は、主定理の 2 を単体的円周 $S^1_s$ のスマッシュ積に移した類似の主張（偶置換は恒等射に等しい）について、偶置換の条件を外したものである。$T\wedge T$ の入れ替えそのものについては、主定理の 3 が $\varepsilon\wedge\mathrm{id}_T$ との一致を与える。

関連項目

• 前提: A¹ホモトピー論, スペクトル(ホモトピー論), スマッシュ積, 射影直線
• 不安定な側: モチーフ的ホモトピー型, エタールホモトピー型, ホモトピー極限
• 表現される理論: 代数的K理論, Milnor K理論, 三角圏
• 位相との比較: 安定ホモトピー群, 実現関手(モチーフ)