完全関手

概要

前提知識: 圏, アーベル圏, 核, 余核, 短完全列

定義

左完全関手・右完全関手

アーベル圏の間の関手 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ は加法関手（加法圏の間の関手であって、各 Hom 集合のアーベル群の構造を保つもの）であるとする。$F$ が左完全（left exact）であるとは、任意の短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に対し
$$ 0\to F(A')\to F(A)\to F(A'') $$
が完全列になることをいい、右完全（right exact）であるとは、任意の短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に対し
$$ F(A')\to F(A)\to F(A'')\to0 $$
が完全列になることをいう。

完全関手

アーベル圏の間の加法関手 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ が完全（exact）であるとは、$F$ が左完全かつ右完全であること、同値に、任意の短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ に対し
$$ 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to0 $$
が短完全列になることをいう（Wei94 Definition 1.6.6, p. 27）。

二つの言い方が同値であることは、短完全列の完全性が $F(A)$・$F(B)$・$F(C)$ の三か所での完全性からなり、左完全性が前の二か所、右完全性が後の二か所を与えることによる。反変関手については、反対圏からの共変関手とみなして同じ言葉を使う。左完全関手そのものの性質（有限極限による判定など）は左完全関手の記事で扱う。

直感

左完全関手は短完全列の左側（単射性）だけを保存し、右完全関手は右側（全射性）だけを保存する。完全関手はその両方を同時に満たすので、短完全列を丸ごと短完全列へ送る——すなわち「完全性の情報を一切損なわない」関手である。この意味で完全関手は、核・余核・像という圏論的な構成そのものと相性がよく、実際、性質の節で見るように核・余核・像をすべて（自然同型を除いて）保存し、その結果として長い完全列も複体のホモロジーも保存する（prop-exact-functor-exact-sequences、prop-exact-functor-homology）。
導来関手の観点からは、完全関手は「導来による補正が不要な関手」である。$\mathcal A$ が十分な射影対象を持つとき、右完全関手 $F$ に対して $L_0F\cong F$ が成り立つが、$F$ がさらに完全であれば高次の左導来関手 $L_nF$（$n\ge1$）はすべて消える（prop-exact-functor-derived-vanish）——完全関手はすでに「完全」なので、ホモロジー代数的に測定すべき欠損が最初から存在しないのである。

例

射影対象からのHom関手

アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $X$ に対し、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)\colon\mathcal A\to\mathbf{Ab}$（アーベル群の圏への表現可能関手）は常に左完全である（Wei94 Proposition 1.6.8, p. 27）。実際、短完全列 $0\to A'\xrightarrow{u}A\xrightarrow{v}A''\to0$ に対し $u_*:=\operatorname{Hom}(X,u)$、$v_*:=\operatorname{Hom}(X,v)$ とおく。$u$ がモノ射だから $u\circ a=0$ なら $a=0$ であり、$u_*$ は単射である。$v\circ u=0$ より $v_*\circ u_*=0$ である。逆に $b\colon X\to A$ が $v\circ b=0$ を満たすなら、短完全列において $u$ は $v$ の核を表す射である（完全列の性質）から $b$ は $u$ を一意に経由し、$b=u_*(a)$ と書ける。ゆえに $\ker v_*=\operatorname{im}u_*$ であり、$0\to\operatorname{Hom}(X,A')\xrightarrow{u_*}\operatorname{Hom}(X,A)\xrightarrow{v_*}\operatorname{Hom}(X,A'')$ は完全である。
$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)$ がさらに右完全である——すなわち完全関手である——ことと、$X$ が射影対象であることは同値である（入射対象・射影対象の記事の命題「Hom 関手の完全性による特徴づけ」）。したがって、射影対象 $P$ に対する $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(P,-)$ は完全関手の具体例を与える。とくに環 $R$ 上の加群の圏で $\operatorname{Hom}_R(R,-)$ は、$R$ 加群 $M$ に $M$ 自身（$f\mapsto f(1)$ による同一視）を対応させる関手と同型であり、完全である。

局所化関手

$R$ を可換環、$S\subset R$ を積閉集合とする。$R$ 加群 $M$ に分数の加群 $S^{-1}M$ を、準同型 $f\colon M\to N$ に $S^{-1}f(m/s):=f(m)/s$ を対応させる関手 $S^{-1}$ は完全である（局所化の記事の命題「局所化の完全性」、AM69 Proposition 3.3, p. 39）。
$R=\mathbb Z$、$S=\mathbb Z\setminus\{0\}$ のとき、$S^{-1}M$ は $\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}M$ と同型であり（局所化の記事の命題「局所化とテンソル積」、AM69 Proposition 3.5, p. 39）、有限アーベル群をすべて $0$ に送る（位数 $n$ の群の元 $m$ は $m/s=nm/(ns)=0$ を満たす）。

忘却関手

環 $R$ 上の加群の圏から $\mathbf{Ab}$ への忘却関手（加群を下部のアーベル群と見る関手）は完全である。加群の準同型の核・像・余核は、下部のアーベル群としての核・像・余核に $R$ の作用を入れたものなので、加群の列が完全であることと、アーベル群の列として完全であることは同じだからである。

テンソル積関手の右完全性

環 $R$ と右 $R$ 加群 $M$ に対し、テンソル積関手 $M\otimes_R-\colon R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$ は右完全関手である。すなわち短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に対し $M\otimes_RA'\to M\otimes_RA\to M\otimes_RA''\to0$ は完全である。一方、左完全とは限らない：$\mathbf{Ab}$ で $M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ とし、短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ に $\mathbb Z/2\mathbb Z\otimes_{\mathbb Z}-$ を適用すると、左端の射は $\mathbb Z/2\mathbb Z\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z/2\mathbb Z$、すなわち零射であり単射でない。右完全性の証明と、左完全性の欠損を測る $\operatorname{Tor}$ については導来関手・Tor関手に委ねる（右完全性は左随伴が右完全であることから従う。Wei94 §2.6, Theorem 2.6.1 とその後の例, pp. 51–52）。$M\otimes_R-$ が完全になる $M$ を平坦加群といい、ex-exact-functor-localization の $\mathbb Q$ はその例である。

反例：一般の対象からのHom関手は完全とは限らない

$X$ が射影対象でない場合、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)$ は左完全ではあるが完全とは限らない。たとえば $\mathbf{Ab}$ において $X=\mathbb Z/2\mathbb Z$ は射影対象ではない（自由加群の直和因子にならない。自由アーベル群の部分群は捩れを持たないからである）。短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\xrightarrow{\pi}\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ に $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ を適用する。$\mathbb Z$ には位数 $2$ の元がないので $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z)=0$ であり、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z/2\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$（生成元 $1$ の像で定まる）であるから、得られる列は
$$ 0\to0\to0\to\mathbb Z/2\mathbb Z $$
であり、右端の射 $0\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ は全射でない。すなわち $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ は「左完全である」という性質は満たすが「右完全である」という性質を満たさず、「左完全ならば完全である」という含意は成り立たない。この「崩れの度合い」を測るのが導来関手 $\operatorname{Ext}^1$（Ext関手）にほかならない。

性質

核・余核・像の保存

完全関手はモノ射・エピ射を保つ

$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とする。$f\colon A\to B$ がモノ射であれば $F(f)$ はモノ射であり、$f$ がエピ射であれば $F(f)$ はエピ射である。

$f\colon A\to B$ をモノ射とする。アーベル圏の正規性により $f$ は自身の余核 $B\to\operatorname{coker}f$ の核であるから、$0\to A\xrightarrow{f}B\to\operatorname{coker}f\to0$ は短完全列である（$B$ における完全性が正規性 $\operatorname{im}f=\ker(\operatorname{coker}f)$ そのものであり、余核はエピ射である）。$F$ は左完全だから $0\to F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は完全であり、とくに $F(A)$ における完全性は $\ker F(f)=\operatorname{im}(0\to F(A))=0$ を意味する。アーベル圏の性質「モノ射であることと核の定義域が零対象であることは同値」により、$F(f)$ はモノ射である。
双対に、$f$ がエピ射なら余正規性により $f$ は自身の核の余核であり、$0\to\ker f\to A\xrightarrow{f}B\to0$ は短完全列である。$F$ は右完全だから $F(\ker f)\to F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)\to0$ は完全であり、$F(B)$ における完全性 $\operatorname{im}F(f)=\ker(F(B)\to0)=F(B)$ から、$\operatorname{coker}F(f)$ の余定義域は零対象、すなわち $F(f)$ はエピ射である。$\square$

核・余核の保存

$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手、$f\colon A\to B$ を射とする。このとき $F(\ker f)\to F(A)$ は $F(f)$ の核であり、$F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は $F(f)$ の余核である。すなわち $F(\ker f)\cong\ker F(f)$、$F(\operatorname{coker}f)\cong\operatorname{coker}F(f)$ が成り立つ。

$f$ の像への分解を $A\xrightarrow{\pi}\operatorname{im}f\xrightarrow{\iota}B$ とする。アーベル圏では余像 $\operatorname{coker}(\ker f)$ と像が一致するので、$\pi$ は $\ker f$ の余核であり、$\iota$ は $\operatorname{coker}f$ の核である。したがって $0\to\ker f\to A\xrightarrow{\pi}\operatorname{im}f\to0$ と $0\to\operatorname{im}f\xrightarrow{\iota}B\to\operatorname{coker}f\to0$ はいずれも短完全列である。
核について。$F$ の左完全性より $0\to F(\ker f)\to F(A)\xrightarrow{F(\pi)}F(\operatorname{im}f)$ は完全である。すなわち $F(\ker f)\to F(A)$ はモノ射で、その像は部分対象として $\ker F(\pi)$ に一致し、正規性によりモノ射は自身の像を表すから、$F(\ker f)\to F(A)$ は $F(\pi)$ の核である（完全列の性質）。一方 prop-exact-functor-preserves-mono-epi により $F(\iota)$ はモノ射だから、$\ker F(f)=\ker(F(\iota)\circ F(\pi))=\ker F(\pi)$。ゆえに $F(\ker f)\to F(A)$ は $F(f)$ の核である。
余核について。$F$ の右完全性より $F(\operatorname{im}f)\xrightarrow{F(\iota)}F(B)\to F(\operatorname{coker}f)\to0$ は完全であり、双対の議論（余正規性）により $F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は $F(\iota)$ の余核である。$F(\pi)$ はエピ射だから $\operatorname{coker}F(f)=\operatorname{coker}(F(\iota)\circ F(\pi))=\operatorname{coker}F(\iota)$ であり、よって $F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は $F(f)$ の余核である。$\square$

完全関手は像を保つ

$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とし、$f\colon A\to B$ をアーベル圏の射とする。$f$ の像への分解 $A\twoheadrightarrow\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ に $F$ を適用した $F(A)\twoheadrightarrow F(\operatorname{im}f)\hookrightarrow F(B)$ は、$F(f)$ の像への分解と一致する。すなわち $F(\operatorname{im}f)\cong\operatorname{im}F(f)$（自然に）。

$f=\iota\circ\pi$（$\pi\colon A\twoheadrightarrow\operatorname{im}f$ はエピ射、$\iota\colon\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ はモノ射）とする。prop-exact-functor-preserves-mono-epiにより、$F(\pi)$ はエピ射、$F(\iota)$ はモノ射である。関手性より $F(f)=F(\iota)\circ F(\pi)$ であるから、$F(A)\xrightarrow{F(\pi)}F(\operatorname{im}f)\xrightarrow{F(\iota)}F(B)$ は $F(f)$ をエピ射とモノ射の合成として分解している。
アーベル圏の性質（エピ射とモノ射への分解の一意性。アーベル圏ではエピ射は正則エピ射、モノ射は正則モノ射である）により、このような分解は同型を除いて一意である。ゆえに、この分解によって与えられる $F(\operatorname{im}f)$ は $F(f)$ の像 $\operatorname{im}F(f)$ に（この一意性を与える同型によって自然に）同型である。$\square$

完全列とホモロジーの保存

完全関手は完全列を保つ

加法関手 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ について、次は同値である。

$F$ は完全関手である。
$\mathcal A$ の任意の列 $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ が $B$ で完全（$\operatorname{im}f=\ker g$）ならば、$F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)\xrightarrow{F(g)}F(C)$ は $F(B)$ で完全である。
とくに完全関手は、任意の長さの完全列を完全列に送る。

2 ⇒ 1：短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ を、$A$・$B$・$C$ のそれぞれを真ん中にもつ三つの長さ $3$ の列に分けて 2 を当てはめる。加法関手は零対象を零対象に送る（$\operatorname{id}_0=0$ が $\operatorname{id}_{F(0)}=F(0_{0})=0$ に移る）ので、得られる三つの完全性を合わせると $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ は短完全列である。
1 ⇒ 2：$A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ が $B$ で完全とする。部分対象として $\operatorname{im}f=\ker g$、すなわち像の包含 $\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ と核の包含 $\ker g\hookrightarrow B$ は、$B$ の上の同型 $\theta\colon\operatorname{im}f\xrightarrow{\cong}\ker g$ で互いに移り合う。$F$ を当てはめると、prop-exact-functor-preserves-image により $F(\operatorname{im}f)\hookrightarrow F(B)$ は $F(f)$ の像の包含であり、prop-exact-functor-preserves-kernel-cokernel により $F(\ker g)\hookrightarrow F(B)$ は $F(g)$ の核の包含である。$F(\theta)$ は $F(B)$ の上でこの二つを移し合う同型なので、$\operatorname{im}F(f)=\ker F(g)$ が部分対象として成り立つ。$\square$

完全関手はホモロジーを保つ

$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とし、$C_\bullet$ を $\mathcal A$ の鎖複体（$d_n\colon C_n\to C_{n-1}$、$d_{n}\circ d_{n+1}=0$）とする。このとき $F(C_\bullet)$ も鎖複体であり、各 $n$ で $F(H_n(C_\bullet))\cong H_n(F(C_\bullet))$ である。

$F(d_n)\circ F(d_{n+1})=F(d_n\circ d_{n+1})=F(0)=0$ なので $F(C_\bullet)$ は鎖複体である。$H_n(C_\bullet)$ は、包含 $\operatorname{im}d_{n+1}\hookrightarrow\ker d_n$ の余核であり、短完全列
$$ 0\to\operatorname{im}d_{n+1}\to\ker d_n\to H_n(C_\bullet)\to0 $$
がある。$F$ を当てはめると短完全列 $0\to F(\operatorname{im}d_{n+1})\to F(\ker d_n)\to F(H_n(C_\bullet))\to0$ を得る。prop-exact-functor-preserves-kernel-cokernel と prop-exact-functor-preserves-image により、$F(\ker d_n)$ は $\ker F(d_n)$、$F(\operatorname{im}d_{n+1})$ は $\operatorname{im}F(d_{n+1})$ と $F(C_n)$ の部分対象として一致し、左の射はその包含である。よって $F(H_n(C_\bullet))$ は包含 $\operatorname{im}F(d_{n+1})\hookrightarrow\ker F(d_n)$ の余核、すなわち $H_n(F(C_\bullet))$ と同型である。$\square$

完全関手の高次導来関手は消える

$\mathcal A$ は十分な射影対象をもつとし、$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とする。このとき任意の対象 $X$ と $n\ge1$ について $L_nF(X)=0$ であり、$L_0F(X)\cong F(X)$ である。

$X$ の射影分解 $\cdots\to P_1\to P_0\xrightarrow{\varepsilon}X\to0$ をとる。これは完全列なので、prop-exact-functor-exact-sequences により $\cdots\to F(P_1)\to F(P_0)\xrightarrow{F(\varepsilon)}F(X)\to0$ も完全列である。$L_nF(X)$ は複体 $F(P_\bullet)$ の $n$ 次ホモロジーとして定義される（導来関手の定義「左導来関手・右導来関手」）。$n\ge1$ では、$F(P_n)$ での完全性がちょうど $H_n(F(P_\bullet))=0$ を意味する。$n=0$ では（導来関手の命題「0次の導来関手はもとの関手に一致する」の特別な場合）、$F(P_1)\to F(P_0)\to F(X)\to0$ の完全性から $H_0(F(P_\bullet))=\operatorname{coker}(F(P_1)\to F(P_0))\cong F(X)$ である。$\square$

逆は一般には言えないが、右完全関手 $F$ について $L_1F=0$ ならば、導来関手の長完全列から $F$ は左完全でもあり、したがって完全である。

完全性の反映

忠実な完全関手は完全性を反映する

$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とし、忠実（各 $\operatorname{Hom}(X,Y)\to\operatorname{Hom}(F(X),F(Y))$ が単射）であるとする。このとき次が成り立つ。

$F(X)=0$ ならば $X=0$ である。
列 $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ について、$F(A)\to F(B)\to F(C)$ が $F(B)$ で完全ならば、もとの列は $B$ で完全である。

$F(X)=0$ なら $F(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_{F(X)}$ と $F(0_X)=0$ はともに零対象の恒等射で等しい。$F$ は忠実なので $\operatorname{id}_X=0$ であり、$X=0$ である。
$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)=0=F(0)$ だから、忠実性により $g\circ f=0$ であり、$A\to B\to C$ は $B$ を中央にもつ長さ $3$ の複体である。その $B$ でのホモロジー $H$ について、prop-exact-functor-homology により $F(H)$ は $F(A)\to F(B)\to F(C)$ の $F(B)$ でのホモロジーと同型で、仮定から $0$ である。1 により $H=0$、すなわち $B$ で完全である。$\square$

ex-exact-functor-forgetful の忘却関手は忠実な完全関手であり、加群の列の完全性を下部のアーベル群で調べてよいことの根拠になる。忠実性は外せない。ex-exact-functor-localization の $S^{-1}$（$R=\mathbb Z$、$S=\mathbb Z\setminus\{0\}$）は完全だが、$0\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ という $\mathbb Z/2\mathbb Z$ で完全でない列を $0\to0\to0$ という完全列に送る。

条件を外したときの反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
右完全性（左完全だけ）	$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$	エピ射を保つ、完全列を保つ
左完全性（右完全だけ）	$\mathbb Z/2\mathbb Z\otimes_{\mathbb Z}-$	モノ射を保つ、$L_1F=0$
射影性	$X=\mathbb Z/2\mathbb Z$	$\operatorname{Hom}(X,-)$ は完全
忠実性	$S^{-1}$（$\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}-$）	完全性を反映する（prop-exact-functor-faithful）