指数積分
概要
指数積分（exponential integral）とは、$x>0$ に対する $E_1(x)=\int_x^\infty e^{-t}t^{-1}\,dt$ や、$t=0$ での主値をとった $\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^xe^tt^{-1}\,dt$ で定まる関数である。値は、Euler の定数を含む収束級数と、誤差が捨てた最初の項より小さい漸近展開 $e^{-x}x^{-1}\sum_k(-1)^kk!x^{-k}$ で計算できる。対数積分 $\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\log x)$ や Laplace 型の積分の計算に使われる。
指数積分（exponential integral）は、$e^{-t}/t$ や $e^t/t$ の積分で定まる関数 $E_1(x)$、$\operatorname{Ei}(x)$ の総称である。$e^x/x$ の原始関数は初等関数で書けない（初等関数で表せない原始関数 の例「$\frac{e^x}x$ と $\frac1{\log x}$ の判定」）ので、この積分には名前を付けて値を計算する。$\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{x+u}\,du$ のような Laplace 型の積分、対数積分 $\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\log x)$、$\int_x^\infty e^{-t}t^{-n}\,dt$ 型の積分がすべて指数積分で書ける。
この記事では、定義と使える条件を述べ、値を計算するための 2 つの公式、すなわち $x$ が小さいときの収束級数と、$x$ が大きいときの誤差つきの漸近展開を証明する。これらから、必要な精度で $E_1(x)$ を計算する手順を組み立てる。
定義と使える条件
- $x>0$ について
$$ E_1(x):=\int_x^\infty\frac{e^{-t}}t\,dt $$
とおく（広義積分。$0\le e^{-t}/t\le e^{-t}/x$ なので収束する）。 - 実数 $x\ne0$ について、$x<0$ なら $\operatorname{Ei}(x):=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,dt$（広義積分）、$x>0$ なら Cauchyの主値
$$ \operatorname{Ei}(x):=\lim_{\varepsilon\to0+}\Bigl(\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{e^t}t\,dt+\int_\varepsilon^x\frac{e^t}t\,dt\Bigr) $$
とおく（極限の存在は thm-ei-series）。 - すべての複素数 $z$ について $\operatorname{Ein}(z):=\displaystyle\int_0^z\frac{1-e^{-t}}t\,dt$ とおく（被積分関数は $t=0$ で値 $1$ をとる整関数なので、積分は道によらず、$\operatorname{Ein}$ は整関数である）。
$E_1$ を 指数積分、$\operatorname{Ei}$ も 指数積分、$\operatorname{Ein}$ を 補指数積分（complementary exponential integral）という。
使える条件をまとめる。
- (i) $E_1(x)$ は実数では $x>0$ でだけ定める。$x\to0+$ で $E_1(x)\to+\infty$ である。
- (ii) $\operatorname{Ei}(x)$ は $x\ne0$ で定める。$x>0$ では $t=0$ をまたぐので、主値をとらないと積分は定まらない（後の反例の表）。
- (iii) $x>0$ では $\operatorname{Ei}(-x)=-E_1(x)$ である（$t=-s$ と置換する）。
$x>0$ について次が成り立つ。
- $E_1(x)=\displaystyle\int_1^\infty\frac{e^{-xt}}t\,dt=e^{-x}\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{x+u}\,du$。
- $E_1'(x)=-e^{-x}/x$、$\operatorname{Ein}'(x)=(1-e^{-x})/x$。$E_1$ は正で、単調減少である。
- $\displaystyle\int_0^\infty E_1(x)\,dx=1$。さらに $s>-1$ について $\displaystyle\int_0^\infty e^{-sx}E_1(x)\,dx=\frac{\log(1+s)}s$（$s=0$ では右辺を $1$ と読む）。
証明を開く
1 は定義の積分で $t=xs$、$t=x+u$ と置換積分すればよい。2 は微積分学の基本定理による。3：被積分関数は正なので Fubiniの定理（Tonelli の形）で積分の順序を入れ替えてよく、1 の第 1 式から $\int_0^\infty e^{-sx}E_1(x)\,dx=\int_1^\infty\frac1t\int_0^\infty e^{-(s+t)x}\,dx\,dt=\int_1^\infty\frac{dt}{t(t+s)}$ である（$s+t>0$）。$s\ne0$ なら $\frac1{t(t+s)}=\frac1s\bigl(\frac1t-\frac1{t+s}\bigr)$ なので、値は $\frac1s\bigl[\log\frac t{t+s}\bigr]_1^\infty=\frac{\log(1+s)}s$ である。$s=0$ なら $\int_1^\infty t^{-2}dt=1$ である。$\square$
公式の表
| 公式 | 使える条件 | 根拠 |
|---|---|---|
| $E_1(x)=-\gamma-\log x-\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{(-x)^n}{n\cdot n!}$ | $x>0$ | thm-ei-series |
| $\operatorname{Ei}(x)=\gamma+\log\lvert x\rvert+\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n\cdot n!}$ | $x\ne0$ | thm-ei-series |
| $E_1(x)=\dfrac{e^{-x}}x\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^kk!}{x^k}+R_N(x)$、$\lvert R_N(x)\rvert<\dfrac{N!\,e^{-x}}{x^{N+1}}$ | $x>0$、$N\ge0$ | thm-ei-asymptotic |
| $\dfrac1{x+1}< e^xE_1(x)<\dfrac1x$ | $x>0$ | prop-ei-bounds |
| $E_1(x)=e^{-x}\displaystyle\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{x+u}\,du$ | $x>0$ | prop-ei-basic |
| $\displaystyle\int_0^\infty e^{-sx}E_1(x)\,dx=\frac{\log(1+s)}s$ | $s>-1$ | prop-ei-basic |
| $\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\log x)$ | $x>0$、$x\ne1$ | prop-ei-li |
| $nE_{n+1}(x)=e^{-x}-xE_n(x)$ | $x>0$、$n\ge1$ | prop-ei-en |
| $\operatorname{Ei}(x)\sim\dfrac{e^x}x\displaystyle\sum_{k\ge0}\frac{k!}{x^k}$ | $x\to+\infty$ | この記事では証明しない（DLMF 式 6.12.2） |
| $\dfrac x{x+1}< xe^xE_1(x)<\dfrac{x+1}{x+2}$ | $x>0$ | この記事では証明しない（DLMF 式 6.8.2） |
主定理と証明
収束級数
級数の定数項に Eulerの定数 $\gamma=\lim_{n\to\infty}(H_n-\log n)$（$H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$）が現れる。そのための積分表示を先に示す。
$$ \gamma=\int_0^1\frac{1-e^{-t}}t\,dt-\int_1^\infty\frac{e^{-t}}t\,dt. $$
証明を開く
$t=n(1-u)$ と置換すると $\int_0^n\frac{1-(1-t/n)^n}t\,dt=\int_0^1\frac{1-u^n}{1-u}\,du=\int_0^1(1+u+\dots+u^{n-1})\,du=H_n$ である。$\int_1^n\frac{dt}t=\log n$ を引くと（$n\ge1$）$$H_n-\log n=\int_0^1\frac{1-(1-t/n)^n}t\,dt-\int_1^n\frac{(1-t/n)^n}t\,dt$$である。$0\le t\le n$ で $0\le(1-t/n)^n\le e^{-t}$（$1-u\le e^{-u}$）、$1-(1-t/n)^n\le t$（$(1-u)^n\ge1-nu$）であり、$n\to\infty$ で $(1-t/n)^n\to e^{-t}$ である。第 1 項の被積分関数は $1$ で、第 2 項の被積分関数（$t>n$ では $0$ とおく）は $e^{-t}/t$ で押さえられるので、優収束定理 により右辺は主張の値に収束する。左辺は $\gamma$ に収束する。$\square$
- $x>0$ について $E_1(x)=-\gamma-\log x+\operatorname{Ein}(x)$ であり、すべての複素数 $z$ について
$$ \operatorname{Ein}(z)=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}z^n}{n\cdot n!}. $$ - $x>0$ について $\operatorname{Ei}(x)$ を定める主値の極限は存在し、実数 $x\ne0$ について
$$ \operatorname{Ei}(x)=\gamma+\log\lvert x\rvert+\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n\cdot n!}. $$
$\operatorname{Ein}$ の級数。 $\frac{1-e^{-t}}t=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}t^{n-1}}{n!}$ はすべての $t$ で収束する冪級数なので、項別に積分して（冪級数 の項別積分）主張の級数を得る。
1。 $0< x\le1$ とする（$x>1$ でも同じ計算が成り立つ）。$\int_x^1\frac{e^{-t}}t\,dt=\int_x^1\frac{dt}t-\int_x^1\frac{1-e^{-t}}t\,dt=-\log x-\int_x^1\frac{1-e^{-t}}t\,dt$ なので
$$
E_1(x)=\int_1^\infty\frac{e^{-t}}t\,dt-\log x-\int_0^1\frac{1-e^{-t}}t\,dt+\int_0^x\frac{1-e^{-t}}t\,dt=-\gamma-\log x+\operatorname{Ein}(x)
$$
である（最後に lem-ei-gamma）。
2。 $x<0$ なら $t=-s$ と置換して $\operatorname{Ei}(x)=-E_1(-x)=\gamma+\log(-x)-\operatorname{Ein}(-x)$ で、$-\operatorname{Ein}(-x)=\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n\cdot n!}$ である。$x>0$ なら、主値の第 1 項は同じ置換で $-E_1(\varepsilon)=\gamma+\log\varepsilon-\operatorname{Ein}(\varepsilon)$、第 2 項は
$$
\int_\varepsilon^x\frac{e^t}t\,dt=\log x-\log\varepsilon+\int_\varepsilon^x\frac{e^t-1}t\,dt
$$
である。足すと $\log\varepsilon$ が消えて
$$
\gamma+\log x-\operatorname{Ein}(\varepsilon)+\int_\varepsilon^x\frac{e^t-1}t\,dt\ \longrightarrow\ \gamma+\log x+\int_0^x\frac{e^t-1}t\,dt\qquad(\varepsilon\to0+)
$$
となる（$\operatorname{Ein}(\varepsilon)\to0$、$(e^t-1)/t$ は $[0,x]$ で連続）。$\frac{e^t-1}t=\sum_{n\ge1}\frac{t^{n-1}}{n!}$ を項別に積分すれば主張の級数を得る。$\square$
$\log x$ の項は $E_1$ の $x=0$ での発散の仕方を表し、残りの $\operatorname{Ein}(x)$ は整関数である。この形は 対数積分 の定理「級数表示」の第 1 式 $\operatorname{li}(x)=\gamma+\log\log x+\sum_n\frac{(\log x)^n}{n\cdot n!}$ を、prop-ei-li と合わせて与える。
thm-ei-series の 1 の右辺 $-\gamma-\operatorname{Log}z+\operatorname{Ein}(z)$（$\operatorname{Log}$ は主値）は $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ で正則なので、$E_1$ はそこへ延びる。$\operatorname{Ein}$ は整関数なので、$E_1$ を原点のまわりに反時計回りに 1 周解析接続すると、$\operatorname{Log}z$ が $2\pi\sqrt{-1}$ 増える分だけ、$E_1$ は $2\pi\sqrt{-1}$ 減る（DLMF 式 6.4.2）。$E_1$ は有限回まわっても元に戻らないので、代数関数 でない（同記事の定理「Puiseux 展開」の証明の段 3 により、代数関数の枝は例外点のまわりを有限回まわると元に戻る）。
誤差つきの漸近展開
$x>0$、$N\ge0$ について
$$
E_1(x)=\frac{e^{-x}}x\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^kk!}{x^k}+R_N(x),\qquad R_N(x)=(-1)^NN!\int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t^{N+1}}\,dt
$$
であり、
$$
0<(-1)^NR_N(x)<\frac{N!\,e^{-x}}{x^{N+1}}
$$
が成り立つ。すなわち、和を $N$ 項で打ち切った誤差は、捨てた最初の項と同じ符号をもち、その項より絶対値が小さい。
$k\ge0$ について、部分積分により
$$
\int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t^{k+1}}\,dt=\Bigl[-\frac{e^{-t}}{t^{k+1}}\Bigr]_x^\infty-(k+1)\int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t^{k+2}}\,dt=\frac{e^{-x}}{x^{k+1}}-(k+1)\int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t^{k+2}}\,dt
$$
である。$J_k:=k!\int_x^\infty e^{-t}t^{-k-1}dt$ とおくとこれは $J_k=k!\,e^{-x}x^{-k-1}-J_{k+1}$ で、$J_0=E_1(x)$ から帰納法で
$$
E_1(x)=\sum_{k=0}^{N-1}(-1)^kk!\,\frac{e^{-x}}{x^{k+1}}+(-1)^NJ_N
$$
を得る。$R_N=(-1)^NJ_N$ で、$J_N>0$ である。$t>x$ では $t^{-N-1}< x^{-N-1}$ なので $J_N< N!\,x^{-N-1}\int_x^\infty e^{-t}dt=N!\,e^{-x}x^{-N-1}$ である。$\square$
$N$ を固定して $x\to\infty$ とすると $R_N(x)=O(e^{-x}x^{-N-1})$ なので、これは 漸近展開 の意味の漸近展開
$$
E_1(x)\sim\frac{e^{-x}}x\Bigl(1-\frac{1!}x+\frac{2!}{x^2}-\frac{3!}{x^3}+\cdots\Bigr)\qquad(x\to+\infty)
$$
である（DLMF 式 6.12.1）。一方 $x$ を固定すると、級数 $\sum_k(-1)^kk!/x^k$ はどの $x$ でも発散する。誤差の上界 $N!\,e^{-x}/x^{N+1}$ は $N$ が $x$ に近いところで最小になるので、$N\approx x$ で打ち切るのがよい。prop-ei-basic の 1 により $e^xE_1(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{x+u}\,du$ であり、これは 漸近展開 の例「収束しない漸近展開の誤差」の関数 $F(x)$ と同じもの（$u=xt$ と置換する）である。
$x>0$ について $\dfrac1{x+1}< e^xE_1(x)<\dfrac1x$ である。
$e^xE_1(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{x+u}\,du$（prop-ei-basic の 1）を使う。$u>0$ では $\frac1{x+u}<\frac1x$ なので上の不等式を得る。$\varphi(u)=\frac1{x+u}$ は $u>-x$ で凸関数（$\varphi''>0$）なので、$u=1$ での接線より上にあり、$\varphi(u)\ge\frac1{x+1}-\frac{u-1}{(x+1)^2}$ で、等号は $u=1$ のときだけである。両辺に $e^{-u}$ を掛けて $0$ から $\infty$ まで積分すると、$\int_0^\infty e^{-u}du=1$、$\int_0^\infty(u-1)e^{-u}du=0$ から $e^xE_1(x)>\frac1{x+1}$ を得る（等号の成り立たない点が正の長さの区間をなすので不等号は狭義）。$\square$
対数積分との関係と $E_n$
対数積分 の定義「対数積分」の $\operatorname{li}(x)$ について、$x>0$、$x\ne1$ で $\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\log x)$ である。したがって $x>1$ について $\operatorname{li}(x)=\gamma+\log\log x+\sum_{n\ge1}\frac{(\log x)^n}{n\cdot n!}$ である。
証明を開く
$t=e^s$ と置換すると $\frac{dt}{\log t}=\frac{e^s}s\,ds$ である。$0< x<1$ なら $\operatorname{li}(x)=\int_{-\infty}^{\log x}\frac{e^s}s\,ds=\operatorname{Ei}(\log x)$（$\log x<0$）である。$x>1$ とし、$a:=-\log(1-\varepsilon)$、$b:=\log(1+\varepsilon)$ とおくと、$\operatorname{li}$ の主値の式は $\int_{-\infty}^{-a}\frac{e^s}s\,ds+\int_b^{\log x}\frac{e^s}s\,ds$ に変わる。$\operatorname{Ei}(\log x)$ の主値の式（$\varepsilon$ の代わりに $b$）との差は $-\int_{-a}^{-b}\frac{e^s}s\,ds$ で、その絶対値は $(a-b)/b$ 以下である（区間 $[-a,-b]$ で $\lvert e^s/s\rvert\le1/b$）。$a-b=-\log(1-\varepsilon^2)\le2\varepsilon^2$（$\varepsilon\le\frac12$）、$b\ge\varepsilon/2$ なので差は $4\varepsilon$ 以下で $0$ に近づき、2 つの極限は一致する。級数の式は thm-ei-series の 2 から従う。$\square$
$n\ge0$ と $x>0$ について $E_n(x):=\int_1^\infty e^{-xt}t^{-n}\,dt$ とおく（一般化指数積分）。$E_1$ は prop-ei-basic の 1 により定義の $E_1$ と一致し、$E_0(x)=e^{-x}/x$ である。
$x>0$、$n\ge1$ について $nE_{n+1}(x)=e^{-x}-xE_n(x)$ である。とくに $E_2(x)=e^{-x}-xE_1(x)$。
証明を開く
$E_{n+1}(x)=\int_1^\infty e^{-xt}t^{-n-1}dt$ で $t^{-n-1}=\frac d{dt}\bigl(-\frac{t^{-n}}n\bigr)$ として部分積分すると、$E_{n+1}(x)=\bigl[-\frac{e^{-xt}t^{-n}}n\bigr]_1^\infty-\frac xn\int_1^\infty e^{-xt}t^{-n}dt=\frac{e^{-x}}n-\frac xnE_n(x)$ である。$\square$
この漸化式で $E_n$ はすべて $E_1$ と初等関数で書ける（DLMF 式 8.19.12。$E_n$ は不完全 Γ 関数の特別な場合でもある。同 §8.19(i)）。
計算の手順
$E_1(x)$（$x>0$）を相対誤差 $\delta$ 以下で求める手順は次のとおりである。$\operatorname{Ei}(-x)=-E_1(x)$ なので、負の数での $\operatorname{Ei}$ も同じである。
- $x$ が小さい（目安 $x\le2$）なら、thm-ei-series の 1 を使う。$n\ge x$ では項 $\frac{x^n}{n\cdot n!}$ の絶対値は単調に減り符号が交代するので、打ち切った誤差は捨てた最初の項の絶対値以下である（交代級数の評価）。
- $x$ が大きいなら、thm-ei-asymptotic を $N\approx x$ 項で使う。誤差は $N!\,e^{-x}/x^{N+1}$ 未満で、$E_1(x)>e^{-x}/(x+1)$（prop-ei-bounds）と比べた相対誤差は $(x+1)N!/x^{N+1}$ 未満である。これが $\delta$ 以下になるかで使えるかを判断する。
- 中間の $x$ では、どちらの方法でも項数が増える。$e^xE_1(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{x+u}\,du$ は滑らかな関数の積分なので数値積分してよい。
- $\operatorname{Ei}(x)$（$x>0$）は thm-ei-series の 2 の級数で求める。項はすべて正なので、$N+1>x$ なら、捨てた部分は $\frac{x^{N+1}}{(N+1)(N+1)!}\cdot\frac1{1-x/(N+2)}$ 以下である（後の項の比が $x/(N+2)$ 以下の等比級数で押さえる）。
- $\operatorname{li}(x)$ は $\operatorname{Ei}(\log x)$ として求める（prop-ei-li）。
例題
$x=1$ では $E_1(1)=-\gamma+\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot n!}$ である。$\gamma=0.5772156649\ldots$ を使い、部分和を作ると次のとおりである。
| 項数 | $-\gamma+$ 部分和 | 捨てた最初の項 |
|---|---|---|
| $2$ | $0.17278$ | $1/18=0.0556$ |
| $4$ | $0.217923$ | $1/600=0.00167$ |
| $6$ | $0.2193584$ | $1/35280=2.8\times10^{-5}$ |
| $8$ | $0.2193837$ | $3.1\times10^{-7}$ |
| $10$ | $0.21938393$ | $2.3\times10^{-9}$ |
$E_1(1)=0.2193839343\ldots$ である。誤差は表の右の列以下に収まる。
$x=10$、$N=10$ とすると、$\frac{e^{-10}}{10}\sum_{k=0}^{9}\frac{(-1)^kk!}{10^k}=4.15617\times10^{-6}$ である。thm-ei-asymptotic により誤差は $(-1)^{10}=+1$ と同じ符号、すなわち正で、$10!\,e^{-10}/10^{11}=1.65\times10^{-9}$ 未満である。真の値 $E_1(10)=4.15697\times10^{-6}$ との差は $8.0\times10^{-10}$ で、評価のとおりである。$N$ を $10$ より大きくすると、誤差の上界も実際の誤差も増え始める。
$\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{1+u}\,du$ は prop-ei-basic の 1（$x=1$）により $e\,E_1(1)=0.5963473623\ldots$ に等しい。thm-ei-asymptotic を $x=1$ で形式的に書くと発散級数 $1-1!+2!-3!+\cdots$ になる。prop-ei-bounds から値は $\frac12$ と $1$ のあいだにある。
$\operatorname{li}(10)=\operatorname{Ei}(\log10)$ である。$u=\log10=2.302585\ldots$ について $\gamma+\log u+\sum_{n\le15}\frac{u^n}{n\cdot n!}$ を計算すると $6.16560$ を得る（手順 4 により、$N=15$ で捨てた部分は $3\times10^{-9}$ 未満）。$10$ 以下の素数は $4$ 個で、対数積分 の例「対数積分の値と素数の個数」の表と比べられる。
ほかの例を開く
$\int_0^\infty E_1(x)\,dx=1$、$\int_0^\infty e^{-x}E_1(x)\,dx=\log2=0.6931\ldots$（prop-ei-basic の 3 で $s=0,1$）。$E_2(1)=e^{-1}-E_1(1)=0.3678794-0.2193839=0.1484955$（prop-ei-en）。$\operatorname{Ei}(1)=\gamma+\sum_{n\ge1}\frac1{n\cdot n!}=1.8951178\ldots$。
使える条件と反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $E_1(x)$ の定義の $x>0$ | $x=0$ | $\int_0^\infty e^{-t}/t\,dt$ は $\int_0^1\frac{dt}{3t}$ 以上なので発散する |
| $\operatorname{Ei}(x)$（$x>0$）の主値をとること | $\int_{-1}^1\frac{e^t}t\,dt$ を広義積分として扱う | $\int_\varepsilon^1\frac{e^t}t\,dt\ge\log\frac1\varepsilon\to\infty$ で、両側は別々には収束しない |
| thm-ei-asymptotic を漸近展開として読むときの、$N$ を固定して $x\to\infty$ とすること | $x=10$ で $N\to\infty$ | 打ち切った和は発散し、近似は $N\approx10$ より先で悪くなる |
| prop-ei-li の $x\ne1$ | $x=1$ | $\operatorname{li}(x)$ も $\operatorname{Ei}(\log x)$ も $x\to1$ で $-\infty$ に発散し、値が定まらない |
- $0< t\le1$ で $e^{-t}\ge e^{-1}\ge\frac13$ なので $\int_\varepsilon^1\frac{e^{-t}}t\,dt\ge\frac13\log\frac1\varepsilon\to\infty$ である。
- $t>0$ で $e^t\ge1$ なので $\int_\varepsilon^1\frac{e^t}t\,dt\ge\log\frac1\varepsilon$ である。主値では、$t<0$ の側の $-\log\frac1\varepsilon$ に近い寄与と打ち消し合う（prf-ei-series の 2）。
- $k$ 番目の項 $(-1)^kk!/10^k$ は $k>10$ で絶対値が増え、$0$ に近づかない。ex-ei-asymptotic-10。
- thm-ei-series の 2 で $\log\lvert x\rvert\to-\infty$（$x\to0$）。
よくある誤り
| 誤り | 正しくは | なぜ |
|---|---|---|
| $\operatorname{Ei}(-x)=E_1(x)$ | $\operatorname{Ei}(-x)=-E_1(x)$（$x>0$） | $t=-s$ の置換で積分の向きが変わる |
| 漸近展開は項を増やすほど正確 | $N\approx x$ で打ち切る | 級数は発散し、誤差の上界 $N!e^{-x}/x^{N+1}$ は $N>x$ で増える |
| 級数で $-\gamma$ を落とす | $E_1(x)=-\gamma-\log x+\operatorname{Ein}(x)$ | 定数項は lem-ei-gamma から来る |
| $\operatorname{Ei}(x)$（$x>0$）を通常の広義積分で計算する | 主値をとる | $t=0$ で $1/t$ 型の特異性がある |
| $\operatorname{li}$ と $\operatorname{Li}$ を同じものとする | $\operatorname{Li}(x)=\operatorname{li}(x)-\operatorname{li}(2)$ | 対数積分 の定義「対数積分」 |
補足
- 正弦積分 $\operatorname{Si}(z)=\int_0^z\frac{\sin t}t\,dt$、余弦積分 $\operatorname{Ci}$ も同じ仲間で、$\operatorname{Ei}$、$E_1$ と複素数の偏角を回して結びつく（DLMF §6.2(ii)、§6.5）。
- $E_1(x)=\int_x^\infty t^{-1}e^{-t}\,dt$ は上側の不完全 Γ 関数 $\Gamma(a,x)=\int_x^\infty t^{a-1}e^{-t}\,dt$ の $a=0$ の場合である（Γ関数、DLMF 式 8.19.1）。
- $e^x/x$ の原始関数が初等関数で書けないことは 初等関数で表せない原始関数 の例「$\frac{e^x}x$ と $\frac1{\log x}$ の判定」で示されている。$E_1$ は超越関数であり、代数関数 でない（rem-ei-complex）。
関連項目
参考文献
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