零集合(位相)

測度論では、測度空間（測度） $(X,\mathfrak{M},\mu)$ の可測集合 $N$ で $\mu(N)=0$ を満たすものを零集合（null set）という。言葉は同じだが、本記事の零集合は位相と連続関数だけで定まる概念であって、測度を用いない。両者の間に一般の包含関係はない。Lebesgue測度を入れた $\mathbb{R}$ で見ると、$\mathbb{Q}$ は可算集合なので測度が $0$ であるが、$\mathbb{Q}$ は閉集合でないので本記事の意味の零集合ではない（prop-zero-set-closed-gdelta）。逆に $f(x)=\max(0,-x)+\max(0,x-1)$ は連続で $Z(f)=[0,1]$ だから $[0,1]$ は本記事の意味の零集合であるが、その Lebesgue 測度は $1$ である。

$X=\mathbb{N}$（ここでは $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ とする）に、$\emptyset$ と、補集合が有限であるような部分集合の全体を開集合とする位相（補有限位相、cofinite topology）を入れる。これが位相であることは次による。$\emptyset$ と $X$ は定義から開集合である。開集合の族 $\{U_i\}_{i\in I}$（$I=\emptyset$ の場合も含む）の合併については、族の元がすべて $\emptyset$ ならば合併も $\emptyset$ であって開集合であり、そうでなければ空でない元 $U_{i_0}$ を一つ取ると、合併の補集合 $\bigcap_{i\in I}(X\setminus U_i)$ は有限集合 $X\setminus U_{i_0}$ の部分集合なので有限であり、やはり合併は開集合である。二つの開集合の交叉は、いずれかが空なら $\emptyset$ であり、ともに空でなければ補集合が二つの有限集合の合併なので、やはり開集合である。閉集合はちょうど $X$ 自身と有限集合であり、とくに一点集合 $\{0\}$ は閉集合である。さらに
$$\{0\}=\bigcap_{n\ge1}(X\setminus\{n\})$$
であって各 $X\setminus\{n\}$ は開集合だから、$\{0\}$ は $G_\delta$ 集合でもある。
一方、この $X$ 上の連続関数はすべて定数である。実際 $f(a)\neq f(b)$ となる $a,b\in X$ があったとすると、$\mathbb{R}$ の相異なる二点は交わらない開集合で分離できるので、$f(a)\in V$、$f(b)\in W$、$V\cap W=\emptyset$ なる開集合 $V,W$ が取れ、$f^{-1}(V)$ と $f^{-1}(W)$ は交わらない空でない開集合になる。ところが補有限位相では、空でない開集合 $U_1,U_2$ が $U_1\cap U_2=\emptyset$ を満たすとすると $X=(X\setminus U_1)\cup(X\setminus U_2)$ は二つの有限集合の合併として有限になり、$X$ が無限集合であることに反する。よって $f$ は定数であり、$Z(f)$ は $\emptyset$ か $X$ のいずれかに限る。したがって $\{0\}$ は零集合ではない。
満たす性質 $P$ は「閉集合であり、かつ $G_\delta$ 集合である」、満たさない性質 $Q$ は「零集合である」であって、含意 $P\Rightarrow Q$ は一般の位相空間では成り立たない。破れる原因は分離の弱さである。この空間はT1空間である（一点集合は有限なので閉集合である）が、上で見たように空でない二つの開集合はつねに交わるので、Hausdorff空間でも正規空間でもない（$\{0\}$ と $\{1\}$ は交わらない閉集合であるのに、開集合で分離できない）。$P\Rightarrow Q$ が成り立つ十分条件は $X$ が正規性条件を満たすことであり（thm-zero-set-normal-closed-gdelta）、距離空間もこれをみたす。なお台集合を任意の無限集合に取り替えても「閉集合だが零集合でない」ことは同じ議論で成り立つ。$\{0\}$ が $G_\delta$ 集合であることには、台集合が可算であることを使った。

$D$ を非可算集合、$X=D\cup\{\infty\}$ をその一点コンパクト化とする。すなわち、$\infty$ を含まない部分集合と、$\infty$ を含み補集合が有限な部分集合を開集合とする（正規空間 の記事の例「反例：正規だが完全正規でない空間」の空間）。$D$ は $X$ の開集合であり、部分空間 $D$ は離散空間なので、$D$ のすべての部分集合は $D$ の零集合である（ex-zero-set-polynomial-clopen の (2)）。
$S\subset D$ を、$S$ と $D\setminus S$ がともに無限であり、しかも $D\setminus S$ が非可算であるように取る（$D$ を二つの非可算集合に分ければよい）。$S=A\cap D$ となる $X$ の零集合 $A$ はない。実際、そのような $A$ があったとする。$A$ は閉集合で、無限集合 $S$ を含む。$\infty$ の任意の開近傍は補集合が有限なので $S$ と交わり、よって $\infty$ は $S$ の閉包に属し、$\infty\in A$ である。$A$ は $G_\delta$ 集合なので $A=\bigcap_nU_n$（$U_n$ は開集合）と書け、各 $U_n$ は $\infty$ を含むから $X\setminus U_n$ は有限である。すると $X\setminus A=\bigcup_n(X\setminus U_n)$ は可算集合になる。ところが $X\setminus A=D\setminus S$ は非可算であり、矛盾する。

1 行目：$\mathbb{Q}$ の閉包は $\mathbb{R}$ なので $\mathbb{Q}$ は閉集合でない。零集合は閉集合なので、$\mathbb{Q}$ はどの連続関数の零集合でもない。
2 行目：各 $q\in\mathbb{Q}$ について $\{q\}=Z(x-q)$ は零集合であり、$\mathbb{Q}$ は可算集合なのでこれらの可算個の合併である。$\mathbb{Q}$ は閉集合でないので零集合でない。
3 行目：$X=D\cup\{\infty\}$ を rem-zero-set-subspace-trace の空間とする。各 $d\in D$ について $\{d\}$ は $\infty$ を含まないので開集合であり、$X\setminus\{d\}$ は $\infty$ を含み補集合が有限なので開集合である。よって $X\setminus\{d\}$ は開かつ閉であり、零集合である（ex-zero-set-polynomial-clopen の (2)）。その $d\in D$ にわたる共通部分は $\{\infty\}$ である。$\{\infty\}$ が $G_\delta$ 集合でないことは 正規空間 の記事の例「反例：正規だが完全正規でない空間」で示されている（可算個の開近傍の補集合はどれも有限なので、その合併は可算であり、非可算な $D$ を覆えない）。よって $\{\infty\}$ は零集合でない。
4 行目：rem-zero-set-counterexample で、$\{0\}$ が閉 $G_\delta$ 集合であり零集合でないことを示した。この空間ではすべての閉集合が $G_\delta$ 集合である。実際、$\mathbb{N}$ 以外の閉集合は有限集合 $F$ であり、$F=\bigcap_{n\notin F}(\mathbb{N}\setminus\{n\})$ は可算個の開集合の共通部分である（$\mathbb{N}$ 自身は開集合）。したがって「すべての閉集合が $G_\delta$」だけでは足りず、正規性条件が要る。
5 行目：同じ空間 $X$ はコンパクト Hausdorff 空間なので正規である（正規空間 の同じ例）。3 行目で見たとおり閉集合 $\{\infty\}$ は $G_\delta$ でも零集合でもない。