Prüfer整域
概要
Prüfer整域（Prüfer domain）とは、非零有限生成イデアルがすべて可逆である整域であり、単項イデアル整域や付値整域はその例である。整域 $A$ がPrüfer整域であることは、すべての極大イデアル $\mathfrak m$ で $A_{\mathfrak m}$ が付値整域になることと同値であり、さらに有限生成性を問わず任意のねじれのない $A$ 加群が平坦になることとも同値である。Prüfer整域は整閉であり、非零有限生成イデアル $I,J$ について $I\cap J=IJ(I+J)^{-1}$ が成り立つ。Noether整域の範囲ではDedekind整域と一致するが、値が有理数をとる非離散な付値整域のようにNoetherでない例も含み、整閉整域 $k[X,Y]$ はPrüfer整域でない。
定義
Prüfer 整域は、有限個の元が生成する非零イデアルについて、イデアルの積による割り算ができる整域である。Dedekind 整域ではすべての非零イデアルが可逆であるが、Prüfer 整域では有限生成のものだけに要求する。この有限性の違いによって、Noether 環ではない付値環も自然な例として含まれる。
以下、$A$ は単位元をもつ可換整域、$K=\operatorname{Frac}(A)$ は商体とする。零因子をもつ環の Prüfer 型の概念は扱わない。また「有限生成」は加群として有限個の生成元があることを意味し、環の有限生成代数という意味ではない。有限生成性と Noether 性も区別する。
すべての非零有限生成イデアルが可逆である整域を、Prüfer 整域という。イデアル $I$ が可逆とは、$I^{-1}=\{b\in K\mid bI\subset A\}$ に対して $II^{-1}=A$ となることである。
通常のイデアルだけを定義に使っても、すべての非零有限生成分数イデアルが可逆であると言い換えても同じである。分数イデアル $I$ の共通分母 $d$ を払うと $dI$ が有限生成の通常のイデアルになり、単項分数イデアル $dA$ は可逆だからである。ここで共通分母を払うことは、イデアルの加群としての構造を変えずに、環の中へ移す操作である。
体では非零イデアルは環全体だけなので定義を満たす。単項イデアル整域も、非零イデアル $(a)$ の逆元が $a^{-1}A$ となるため Prüfer 整域である。ただし「すべての有限生成イデアルが単項」と「すべての有限生成イデアルが可逆」は同じではない。可逆性は局所的な単項性を表すので、大域的に一つの生成元へまとめられない場合も許す。
可逆イデアルについて使う基本事実は、有限生成で各極大点で単項であることとの同値である。証明は 可逆イデアル の「可逆性の局所判定」にある。本記事の第一の主定理は、この一つのイデアルに対する判定を、環全体の付値的な性質へ結びつける。
付値環による局所的な見方
整域 $V$ とその商体 $F$ について、すべての $0\ne z\in F$ に対して $z\in V$ または $z^{-1}\in V$ が成り立つとき、$V$ を付値整域という。本記事で付値環と呼ぶものはこの整域である。
この条件は、$V$ の非零元 $a,b$ が生成する二つの単項イデアル $aV,bV$ が包含で比較できることと同じである。$a/b\in V$ なら $aV\subset bV$、$b/a\in V$ なら逆の包含になる。二つの元のうち、他方を割り切るものを選べるという性質である。
付値整域は局所環である。非単元全体がイデアルになることを確認すればよい。非単元 $a,b$ のうち、たとえば $a=bc$ と書けるなら $a+b=b(c+1)$ は単元になれない。単元でない元の環の元による倍も単元になれない。したがって非単元全体は加法と環の作用で閉じ、唯一の極大イデアルをなす。零元を含むことも問題ない。
整域 $A$ が Prüfer 整域であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak m$ に対して $A_{\mathfrak m}$ が付値整域であることは同値である。
$A$ が Prüfer とする。$R=A_{\mathfrak m}$ の二元 $a,b$ が生成するイデアルは、分母を払えば $A$ の二生成イデアルの局所化である。$a,b$ がともに零でなければ、そのイデアルは可逆イデアルの局所化なので単項である。$(a,b)=cR$ と書くと $a=cu$、$b=cv$、また $c\in(a,b)$ なので $(u,v)=R$ となる。局所環では $u,v$ がともに非単元だとその和で $1$ を作れないから、少なくとも一方は単元である。したがって $(a,b)=aR$ または $(a,b)=bR$ である。商体の非零元 $a/b$ にこの比較を適用すると、$a/b$ または $b/a$ が $R$ に入り、$R$ は付値整域となる。
逆にすべての $A_{\mathfrak m}$ が付値整域とする。$I=(a_1,\ldots,a_n)$ を非零有限生成イデアルとする。各局所環で単項イデアル $a_iA_{\mathfrak m}$ を順に比較すると、最大のものが一つあり、その生成元が $I_{\mathfrak m}$ を生成する。したがって $I$ は有限生成かつ局所的に単項である。可逆イデアルの局所判定により $I$ は可逆であり、$A$ は Prüfer 整域である。$\square$
この判定で必要なのは極大イデアルでの局所化だけである。素イデアルでの局所化でも付値整域になる。実際、付値整域をさらに局所化しても、商体の元またはその逆元が元の付値整域に入るという二者択一は残る。また $A$ の任意の乗法的集合による局所化は Prüfer 整域である。局所化された有限生成イデアルは元の有限生成イデアルから分母を払って得られ、可逆性は局所化で保存されるからである。
局所判定は、任意の二つの大域的なイデアルが比較できるという主張ではない。たとえば $\mathbb Z$ の $(2)$ と $(3)$ は包含で比較できないが、各素数で局所化すれば比較できる。Prüfer 性が保証する比較は、それぞれの局所環における比較である。
ねじれのない加群の平坦性
整域 $A$ 上の加群 $M$ がねじれをもたないとは、$0\ne a\in A$ と $m\in M$ に対して $am=0$ なら $m=0$ となることをいう。平坦性は、任意の加群の単射が $M$ とのテンソル積で単射のまま残ることをいう。前者は一つの元による乗法についての条件であり、後者はすべての加群間の関係についての条件である。
任意の整域上で、平坦加群はねじれをもたない。非零 $a\in A$ による単射 $A\xrightarrow{a}A$ を $M$ とテンソルすると、$M\xrightarrow{a}M$ が単射になるからである。逆は一般には成り立たないが、Prüfer 整域では成立する。しかも加群の有限生成性を要求しない。
証明では平坦性の有限関係判定を用いる。この判定は、有限関係 $\sum_{i=1}^n a_i m_i=0$ があるとき、有限個の $y_j\in M$ と $c_{ij}\in A$ を使って
$$
m_i=\sum_j c_{ij}y_j,\qquad \sum_i a_i c_{ij}=0
$$
と書けることが、平坦性と同値であるというものだ。つまり加群の元の間の関係を、係数環の中の関係から組み立てられることを要求する。有限関係の個数は有限だが、加群全体が有限生成である必要はない。
この形の判定は、平坦加群 の「イデアルによる平坦性の判定」から得られる。$J=(a_1,\ldots,a_n)$ とし、$L$ を全射 $A^n\to J$ の核とする。テンソル積の右完全性から、$L\otimes M\to M^n\to J\otimes M\to0$ は完全である。平坦なら $J\otimes M\to M$ が単射なので、上の関係ベクトル $(m_i)$ は $L\otimes M$ の像である。その元を有限和に書けば、各 $L$ の元が列 $(c_{ij})_i$ を与える。逆にこの有限関係の分解ができれば、$J\otimes M\to M$ の核の元を生成元 $a_i$ によって表示し、同じ完全列を使ってそれが零と分かる。したがって全有限生成イデアルに対する単射が成立し、平坦加群 のこの判定から平坦となる。
付値整域 $V$ 上のねじれのない加群は平坦である。
$\sum_i a_i m_i=0$ という有限関係を考える。係数がすべて零なら $y_i=m_i$ と単位行列の係数で判定を満たす。そうでないなら、単項イデアルの比較により $(a_1,\ldots,a_n)$ を生成する非零係数を一つ選べる。番号を変えてこれを $a_1$ とし、$a_i=a_1 b_i$ と書く。ねじれがないため元の関係から $m_1+\sum_{i>1}b_i m_i=0$ が従う。$y_j=m_j$（$j>1$）を用い、各列の係数を $c_{1j}=-b_j$、$c_{jj}=1$、残りを零とすれば、$m_i=\sum_j c_{ij}y_j$ かつ $\sum_i a_i c_{ij}=-a_1b_j+a_j=0$ となる。係数が非零なのは一つだけという場合には、関係中の対応する元が零となり、同じ構成で処理できる。有限関係判定により平坦である。$\square$
整域 $A$ について、次は同値である。
- $A$ は Prüfer 整域である。
- 任意のねじれのない $A$ 加群は平坦である。
まず条件 1 を仮定する。ねじれのない加群 $M$ の局所化 $M_{\mathfrak m}$ は $A_{\mathfrak m}$ 上ねじれをもたない。局所化後の非零係数が元を殺すなら、分母を払って元の環の非零係数が対応する元を殺すことになり、その元は零になる。局所判定から $A_{\mathfrak m}$ は付値整域なので、前の補題により $M_{\mathfrak m}$ は平坦である。平坦性は全極大点で判定できるので $M$ は平坦である。この最後の局所判定は、テンソルした単射の核を局所化し、全極大点で零なら核自身が零になることによる。
逆に条件 2 を仮定し、$R=A_{\mathfrak m}$ とおく。$R$ 上のねじれのない加群は $A$ 上もねじれをもたず、したがって $A$ 上平坦である。$R$ 加群間のテンソル積は、局所化を経由すれば $R$ 上のテンソル積になるので、その加群は $R$ 上も平坦となる。
任意の $0\ne a,b\in R$ に対し $J=(a,b)$ はねじれのない加群なので平坦である。関係 $ba-ab=0$ に有限関係判定を適用すると、$u_1,\ldots,u_s\in J$ と $r_j,s_j\in R$ で
$$
a=\sum_j r_j u_j,\qquad b=\sum_j s_j u_j,\qquad br_j-as_j=0
$$
となるものがある。商体内で $c_j=r_j/a=s_j/b$ とおく。$c_j a=r_j$、$c_j b=s_j$ が環内にあるので $c_j J\subset R$ であり、最初の等式を $a$ で割ると $1=\sum_j c_j u_j$ となる。よって $J$ は可逆である。
局所環では可逆イデアルが単項なので、局所判定の証明と同じ議論で $aR,bR$ は比較できる。一方が零の場合の比較は自明である。したがって $R$ は付値整域であり、第一の主定理から $A$ は Prüfer 整域となる。$\square$
逆向きの証明は、有限生成平坦加群をそのまま自由加群と呼ぶのではなく、二生成イデアルの一つの関係を直接分解している。そのため、この議論は非 Noether 整域でもそのまま通用する。商体内で $c_j$ を作る段は整域であることを使い、局所環で比較を得る段は単元と極大イデアルの二者択一を使う。
二つの主定理を合わせると、Prüfer 性は、有限生成イデアルの可逆性、付値環への局所化、任意のねじれのない加群の平坦性という三つの姿をもつ。有限生成イデアルだけを定義に使っているにもかかわらず、平坦性の結論は任意の大きさの加群に及ぶ。これは平坦性自体が有限個の係数と元からなる関係によって検査できることによる。
例：Noether 性は必要ない
単項イデアル整域は Prüfer 整域である。また Dedekind 整域は、すべての非零分数イデアルが可逆であるという Dedekind整域 の「イデアル論的特徴づけ」により Prüfer 整域である。逆に Noether な Prüfer 整域ではすべてのイデアルが有限生成なので、すべての非零イデアルが可逆となり、同じ特徴づけから Dedekind 整域となる。したがって Noether 整域の範囲では二つのクラスは一致するが、Noether 性を外すと Prüfer 整域のほうが広い。
付値整域では、有限生成イデアルは生成元のうち一つにより生成される。しかし無限に生成されたイデアルには、対応する単項イデアルの最大のものがないことがある。次の例では、この違いを次数で具体的に見ることができる。
$k$ を体とし、形式変数 $t$ の分数冪を使って
$$
F_n=k((t^{1/n!})),\qquad V_n=k[\![t^{1/n!}]\!],\qquad
F=\bigcup_{n\ge1}F_n,\qquad V=\bigcup_{n\ge1}V_n
$$
とおく。$F_n$ は形式 Laurent 級数体、$V_n$ は非負次数の級数環である。包含は $t^{1/n!}=(t^{1/(n+1)!})^{n+1}$ により定める。各非零元の最低次数 $v(f)$ は有理数であり、どの段階で計算しても同じになる。$v(fg)=v(f)+v(g)$、$v(f+g)\ge\min(v(f),v(g))$ が成り立つ。$f$ または $f^{-1}$ は非負の次数をもつので、$V$ は商体 $F$ の付値整域である。したがって Prüfer 整域である。
$V$ の極大イデアル $\mathfrak m$ は $v(f)>0$ の元全体である。もし有限生成なら、有限個の生成元の正の次数の最小値 $\alpha$ がある。各係数の次数は非負なので、その生成元から作るすべての元の次数は $\alpha$ 以上となる。しかし $0<\beta<\alpha$ の有理数を選ぶと $t^\beta\in\mathfrak m$ であり、次数が小さすぎて生成されない。したがって $\mathfrak m$ は有限生成でなく、$V$ は Noether 環でない。有限生成イデアルは単項である一方、極大イデアルは単項にも可逆にもならない。
この例の値群は有理数の加法群で、最小の正の値がない。離散付値環の場合には正の値の最小値を一つ選び、その元ですべてのイデアルを次数順に記述できる。それに対してこの環では、任意の正の次数より小さい正の次数がある。Prüfer 性はこのような非離散な挙動も許すので、局所環が付値環になるという結論を離散付値環になると言い換えてはいけない。
またこの環の次元は一である。非零の真の素イデアル $\mathfrak p$ に $0\ne a$ が属すると、$v(a)>0$ である。任意の $b\in\mathfrak m$ について、十分大きい正整数 $N$ で $Nv(b)\ge v(a)$ となる。すると $b^N/a\in V$ なので $b^N\in(a)\subset\mathfrak p$、素性から $b\in\mathfrak p$ である。よって $\mathfrak p=\mathfrak m$ であり、素イデアルは $(0)$ と $\mathfrak m$ だけとなる。次元一で整閉であっても Noether 性がなければ Dedekind 整域とは限らないことが、この例からも分かる。
整閉性とイデアルの演算
Prüfer 整域 $A$ は、その商体の中で整閉である。
まず付値整域 $V$ が整閉であることを示す。$z\in\operatorname{Frac}(V)$ が $V$ 上整で、$z\notin V$ と仮定する。付値条件から $z^{-1}\in V$ であり、これは単元でないので極大イデアルに属する。モニック関係 $z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n=0$ に $z^{-n}$ を掛けると $1+a_1z^{-1}+\cdots+a_nz^{-n}=0$ となる。$1$ 以外の項はすべて極大イデアルに属するので矛盾である。
次に $z\in K$ が $A$ 上整なら、各 $A_{\mathfrak m}$ 上も整である。これらは付値整域だから $z\in A_{\mathfrak m}$ がすべての極大イデアルで成り立つ。$A=\bigcap_{\mathfrak m}A_{\mathfrak m}$ を使えば $z\in A$ となる。この交叉の等号も直接示せる。$z\notin A$ なら $J=\{a\in A\mid az\in A\}$ は真のイデアルで、それを含む極大イデアル $\mathfrak m$ を選ぶ。$z\in A_{\mathfrak m}$ なら、ある $s\notin\mathfrak m$ に対して $sz\in A$、すなわち $s\in J$ となって矛盾する。$\square$
局所的な比較は、和と交叉にも反映される。非零有限生成イデアル $I,J$ について、各付値局所環では一方が他方に含まれるので、$I+J$ は大きいほう、$I\cap J$ は小さいほうとなる。したがって局所的に $(I+J)(I\cap J)=IJ$ が成り立つ。有限個の加群の交叉は局所化と交換するので、全極大点での判定により大域的にもこの等号が成り立つ。
さらに $I+J$ は非零有限生成だから可逆であり、両辺にその逆元を掛けると
$$
I\cap J=IJ(I+J)^{-1}
$$
を得る。右辺の因子はすべて有限生成なので、交叉も有限生成である。ここでは交叉が有限生成であることを先に仮定せず、局所的な比較から積の等式を作ってから導いている。この順序は非 Noether 整域で特に重要である。
ただし任意の無限交叉までこの計算を拡張することはできない。局所化と有限交叉の交換には分母を有限個まとめる議論が使えるが、無限個の分母を一つにまとめられるとは限らない。Prüfer 性の定義自体も有限生成のイデアルに対するものであり、無限族の和や交叉に同じ有限性を自動的に要求するものではない。
反例と条件の見分け方
以下の二つの反例では $k$ を体とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 局所付値性 | $k[X,Y]$ | 整閉でも Prüfer でない |
| Prüfer 性 | $k[t^2,t^3]_{(t^2,t^3)}$ の $(t^2,t^3)$ | ねじれがなくても平坦でない |
| Noether 性 | 上の有理数値付値整域 | Prüfer でも Dedekind でない |
| 有限生成性 | 同じ付値整域の極大イデアル | イデアルが可逆とは限らない |
$A=k[X,Y]$ の局所環 $A_{(X,Y)}$ では $X/Y$ も $Y/X$ も属さない。たとえば $X/Y=f/g$、$g\notin(X,Y)$ と書けるなら $gX=fY$ である。$Y=0$ として $g(X,0)X=0$ を得るので $g(X,0)=0$、よって $Y$ は $g$ を割る。しかし $g$ は定数項が非零でなければならず矛盾する。逆の場合も同様である。したがってこの局所環は付値環ではなく、$A$ は Prüfer 整域でない。多項式環 $k[X,Y]$ は一意分解整域なので整閉であるが、整閉性から Prüfer 性は従わない。
$R=k[t^2,t^3]_{(t^2,t^3)}$ は整域であり、$J=(t^2,t^3)R$ はねじれのない加群である。しかし $J$ は平坦でない。もし平坦なら、先の主定理の逆向きで用いた二生成関係の計算により可逆となり、局所的に単項、つまりこの局所環では単項となる。ところが $J/J^2$ では $t^2,t^3$ の像が独立である。分母の定数項は非零で、その逆数を形式級数に展開しても $t$ の一次項はない。したがって $J^2$ の元の次数は少なくとも四であり、二次と三次の項を消せない。よって $J/J^2$ は二次元で、単項性に反する。
環自身も Prüfer ではない。商体の元 $t=t^3/t^2$ はモニック方程式 $Z^2-t^2=0$ を満たすので $R$ 上整だが、$R$ の元ではない。実際、$t=f(t)/g(t)$、$g(0)\ne0$、$f,g\in k[t^2,t^3]$ と書ければ、等式 $tg=f$ の左辺は非零の一次項をもち、右辺は一次項をもたないため矛盾する。したがって整閉性が失敗しており、Prüfer 性が失敗する。この例では非零・有限生成・ねじれなしを満たしながら平坦性が失敗する。
この反例は、ねじれがないという条件が係数一つの関係しか検査しないことを示している。$t^2,t^3$ の二つが同時に関わる関係は、ねじれのなさだけでは分解できない。付値環では二つの係数が割り切りで比較でき、その比較によって関係を一つの係数の消去に直せる。平坦性の主定理は、その操作がすべての局所環で可能になるという内容である。
読み進めるための整理
Prüfer 整域を認識するには、目的に応じて三つの判定を使い分ける。具体的なイデアルの積を計算できる場合には、有限生成イデアルの逆元を作る。局所化を記述できる場合には、商体の元と逆元のどちらが入るかを確かめる。加群の問題を扱う場合には、ねじれのない加群を平坦とみなせるかを調べる。どの判定でも整域であるという仮定が、非零係数の消去や商体内の比の計算を支えている。
Prüfer 整域上のねじれのない加群が平坦であることは、その加群が自由であることや射影であることを意味しない。たとえば $\mathbb Q$ は $\mathbb Z$ 上ねじれをもたず、局所化として平坦であるが、自由加群ではない。非零自由 $\mathbb Z$ 加群では基底元を $2$ で割ることができないのに、$\mathbb Q$ ではすべての元が $2$ で割れるからである。有限生成という条件を加えて得られる構造定理と、任意の加群に対する平坦性の定理を分けて読む必要がある。
Dedekind 整域における有限生成のねじれのない加群のイデアルへの直和分解は、Dedekind整域 の記事の「加群の構造」で扱われる。本記事の主題は、その特別な有限分解を無条件に広げることではなく、有限生成のイデアルの可逆性が任意のねじれのない加群の平坦性まで支配する点である。無限生成のイデアルが可逆にならない例を併せて見ると、有限性が必要な結論と不要な結論を区別しやすい。
局所付値性とねじれのない加群の平坦性の対応は Mat86 §11, Exercise 11.9 に、可逆イデアルとの関係は同節 Theorem 11.3 に対応する。
関連項目
参考文献
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