鎖ホモトピー

1 ⇒ 2：$\mathrm{id}_C=ds+sd$ とする。$z\in Z_n(C)$ なら $z=d(s(z))+s(d(z))=d(s(z))\in B_n(C)$ なので、$C$ は完全である。この式の両辺に左から $d_n$ を掛けると $d_n=d_ns_{n-1}d_n$ を得る。$p:=d_{n+1}s_n\colon C_n\to C_n$ とおくと、$p^2=(d_{n+1}s_nd_{n+1})s_n=d_{n+1}s_n=p$ であり、$p$ の像は $B_n(C)$ に含まれる。$b=d_{n+1}c\in B_n(C)$ なら $p(b)=d_{n+1}s_nd_{n+1}c=d_{n+1}c=b$ である。よって $p$ は像が $B_n(C)$ の冪等写像であり、$C_n=B_n(C)\oplus\ker p$ となる。
2 ⇒ 1：各 $n$ で補加群 $C_n=B_n\oplus B'_n$ を選ぶ（$B_n=B_n(C)$）。完全性より $Z_n(C)=B_n$ だから、$d_n$ は $B'_n$ 上で単射であり、$d_n(C_n)=d_n(B'_n)$ なので $d_n|_{B'_n}\colon B'_n\to B_{n-1}$ は同型である。その逆を $\sigma_{n-1}\colon B_{n-1}\to B'_n$ とし、
$$ s_n\colon C_n=B_n\oplus B'_n\to C_{n+1},\qquad s_n(b+b'):=\sigma_n(b) $$
と定める。$x=b+b'\in C_n$ について、$d_{n+1}s_n(x)=d_{n+1}\sigma_n(b)=b$ であり、$d_nb=0$ より $s_{n-1}d_n(x)=\sigma_{n-1}(d_nb')=b'$ である。よって $d_{n+1}s_n+s_{n-1}d_n=\mathrm{id}_{C_n}$ となり、$C$ は可縮である。$\square$

各 $n$ で補空間を選んで $C_n=Z_n\oplus B'_n$、$Z_n=B_n\oplus H'_n$ と分ける（$Z_n=Z_n(C)$、$B_n=B_n(C)$）。$H'_n\subset Z_n$ なので $H'=(H'_n)$ は微分 $0$ の部分複体で、$H'_n\cong Z_n/B_n=H_n(C)$ である。$E_n:=B_n\oplus B'_n$ とおくと $d(B'_n)\subset B_{n-1}$、$d(B_n)=0$ より $E$ も部分複体であり、$C=H'\oplus E$ は複体の直和である。$d_{n+1}(E_{n+1})=d_{n+1}(C_{n+1})=B_n$ であり、$d_n$ は $B'_n$ 上で単射なので $E$ の $n$ 次の輪体は $B_n$ に等しい。よって $E$ は完全で、$B_n$ は $E_n$ の直和因子だから、thm-chh-split により $E$ は可縮である。射影 $q\colon C\to H'$ と包含 $i\colon H'\to C$ について $qi=\mathrm{id}_{H'}$、$iq=\mathrm{id}_C-(0\oplus\mathrm{id}_E)\simeq\mathrm{id}_C$ である。$\square$

$\operatorname{Cone}(f)$ の恒等写像の鎖ホモトピー $s_n\colon D_n\oplus C_{n-1}\to D_{n+1}\oplus C_n$ を成分で
$$ s_n(y,x)=\bigl(\alpha_n(y)+\beta_n(x),\ \gamma_n(y)+\varepsilon_n(x)\bigr) $$
と書く。ここで $\alpha_n\colon D_n\to D_{n+1}$、$\beta_n\colon C_{n-1}\to D_{n+1}$、$\gamma_n\colon D_n\to C_n$、$\varepsilon_n\colon C_{n-1}\to C_n$ である。$(y,x)\in D_n\oplus C_{n-1}$ に対して
$$ ds(y,x)=\bigl(d\alpha y+d\beta x+f\gamma y+f\varepsilon x,\ -d\gamma y-d\varepsilon x\bigr), $$
$$ sd(y,x)=s(dy+fx,\,-dx)=\bigl(\alpha dy+\alpha fx-\beta dx,\ \gamma dy+\gamma fx-\varepsilon dx\bigr) $$
である。和が $(y,x)$ に等しいことを、$y$ と $x$ の係数ごとに比べる。第 2 成分の $y$ の係数から $\gamma d=d\gamma$ なので、$\gamma=(\gamma_n)$ は鎖写像 $D\to C$ である。第 2 成分の $x$ の係数から
$$ \gamma f-\mathrm{id}_C=d\varepsilon+\varepsilon d $$
なので、$\varepsilon$ は $\gamma f$ から $\mathrm{id}_C$ への鎖ホモトピーである。第 1 成分の $y$ の係数から
$$ f\gamma-\mathrm{id}_D=d(-\alpha)+(-\alpha)d $$
なので、$-\alpha$ は $f\gamma$ から $\mathrm{id}_D$ への鎖ホモトピーである。よって $\gamma$ は $f$ のホモトピー逆である。$\square$

$n< n_0$ で $P_n=0$ とする。$s_n\colon P_n\to E_{n+1}$ を $n$ について帰納的に作り、
$$ u_n=d_{n+1}s_n+s_{n-1}d_n\qquad(\ast_n) $$
が成り立つようにする。$n< n_0$ では $s_n=0$ とすれば、$P_n=0$ なので $(\ast_n)$ は成り立つ。$n\ge n_0$ とし、$s_k$（$k< n$）が $(\ast_k)$ を満たすように作られたとする。$v:=u_n-s_{n-1}d_n\colon P_n\to E_n$ とおくと、$u$ が鎖写像であることと $(\ast_{n-1})$ から
$$ d_nv=u_{n-1}d_n-d_ns_{n-1}d_n=(u_{n-1}-d_ns_{n-1})d_n=s_{n-2}d_{n-1}d_n=0 $$
である。よって $v$ の像は $Z_n(E)$ に含まれ、$E$ は完全なので $Z_n(E)=d_{n+1}(E_{n+1})$ である。$d_{n+1}\colon E_{n+1}\to Z_n(E)$ は全射で $P_n$ は射影加群だから、$v=d_{n+1}s_n$ を満たす $s_n\colon P_n\to E_{n+1}$ がある。これは $(\ast_n)$ を意味する。$\square$

鎖ホモトピー同値が擬同型であることは 複体 の記事の命題（鎖ホモトピー同値は擬同型である）である。逆に $f$ を擬同型とする。$\operatorname{Cone}(f)_n=Q_n\oplus P_{n-1}$ は射影加群の直和なので射影加群であり、$P,Q$ が下に有界なので $\operatorname{Cone}(f)$ も下に有界である。擬同型 の記事の命題（錐判定）により $\operatorname{Cone}(f)$ は完全である。lem-chh-null を $P$、$E$ ともに $\operatorname{Cone}(f)$ とし、$u$ を恒等写像として使うと、$\mathrm{id}_{\operatorname{Cone}(f)}\simeq0$、すなわち $\operatorname{Cone}(f)$ は可縮である。lem-chh-cone により $f$ は鎖ホモトピー同値である。$\square$

thm-chh-main により $f$ は鎖ホモトピー同値であり、加法関手 の記事の定理（加法関手は鎖ホモトピーを保つ）により $F(f)$ も鎖ホモトピー同値である。$\square$