埋め込み点

点 $\mathfrak{p}\in X$ の局所環は $A_{\mathfrak{p}}$、極大イデアルは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ である。随伴素イデアル の定理「随伴素の局所化」により、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}\in\operatorname{Ass}(A_{\mathfrak{p}})$ と $\mathfrak{p}\in\operatorname{Ass}_A(A)$ は同値である。また $\mathfrak{p}$ が極小素イデアルであることは $\dim A_{\mathfrak{p}}=0$ と同値なので、上の言い換えにより既約成分の生成点であることと同値である。$\square$

3：随伴点であることは局所環だけで決まり、$U$ の点の局所環は $X$ での局所環と同じである。$U$ の既約成分は、$U$ と交わる $X$ の既約成分 $Z$ の $Z\cap U$ であり、その生成点は $Z$ の生成点である（開集合は一般化で閉じているので、$Z$ と交わる開集合は $Z$ の生成点を含む）。したがって $x\in U$ が $U$ の既約成分の生成点であることと $X$ の既約成分の生成点であることは同値である。
1：生成点 $\eta$ を含むアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ をとる（$A$ は Noether 環、Har77 II.3.2）。3 により $\eta$ は $V$ の既約成分の生成点、すなわち $A$ の極小素イデアルである。極小素イデアルは $\operatorname{Supp}_A(A)=\operatorname{Spec}A$ の極小元なので、随伴素イデアル の命題「支持と随伴素の極小元」により $\operatorname{Ass}_A(A)$ に属し、lem-embedded-point-affine により随伴点である。
2：3 と lem-embedded-point-affine により $\operatorname{Ass}(X)\cap V=\operatorname{Ass}_A(A)$ であり、これは 随伴素イデアル の定理「有限素因子列」により有限である。Noether スキームは有限個のアフィン開集合で覆われる。$\square$

構造層の切断が $0$ であることは、すべての点で芽が $0$ であることと同値である。局所化は完全なので $(Aa)_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の中で $a/1$ が生成する部分加群であり、$a/1=0$ と $(Aa)_{\mathfrak{p}}=0$ は同値である。よって $a|_U=0$ は $\operatorname{Supp}(Aa)\cap U=\emptyset$ と同値である。
次に $\operatorname{Supp}(Aa)=\bigcup_{\mathfrak{q}\in\operatorname{Ass}(Aa)}V(\mathfrak{q})$ を示す。$Aa$ は有限加群なので $\operatorname{Supp}(Aa)=V(\operatorname{Ann}(Aa))$ は閉集合であり（随伴素イデアル の節「支持の極小点との接続」）、随伴素イデアルは支持に属するので右辺は左辺に含まれる。逆に支持の各点はある極小な支持の点を含み、それは命題「支持と随伴素の極小元」により随伴素イデアルなので、左辺は右辺に含まれる。
最後に、開集合 $U$ と素イデアル $\mathfrak{q}$ について $V(\mathfrak{q})\cap U=\emptyset$ と $\mathfrak{q}\notin U$ は同値である。$\mathfrak{q}\in V(\mathfrak{q})$ なので一方は明らかで、逆に $\mathfrak{p}\in V(\mathfrak{q})\cap U$ なら $\mathfrak{p}\in\overline{\{\mathfrak{q}\}}$ なので開近傍 $U$ は $\mathfrak{q}$ を含む。以上を合わせて主張を得る。$\square$

アフィンへの帰着。 2 は、すべてのアフィン開集合 $W$ について $\mathcal{O}_X(W)\to\mathcal{O}_X(W\cap U)$ が単射であることと同値である。実際、一般の開集合 $W$ の切断 $s$ が $W\cap U$ で $0$ なら、$W$ を覆うアフィン開集合 $W_i$ ごとに $s|_{W_i}$ は $W_i\cap U$ で $0$ なので $s|_{W_i}=0$ となり、層の条件から $s=0$ である。また prop-embedded-point-basic の 3 により、1 はすべてのアフィン開集合 $W$ について $\operatorname{Ass}(W)\subset W\cap U$ であることと同値である。アフィン開集合は Noether 環 $A$ のスペクトルなので（Har77 II.3.2）、$X=\operatorname{Spec}A$ の場合に「$\operatorname{Ass}_A(A)\subset U$ と、$A\to\mathcal{O}_X(U)$ の単射性は同値」を示せばよい（lem-embedded-point-affine）。
1 ならば 2。 $a\in A$ の $U$ への制限が $0$ とする。lem-embedded-point-vanishing により $\operatorname{Ass}(Aa)\cap U=\emptyset$ である。一方 $Aa$ は $A$ の部分加群なので、その元の零化イデアルは $A$ の元の零化イデアルでもあり、$\operatorname{Ass}(Aa)\subset\operatorname{Ass}_A(A)\subset U$ である。よって $\operatorname{Ass}(Aa)=\emptyset$ であり、随伴素イデアル の定理「随伴素の存在」により $Aa=0$、すなわち $a=0$ である。
2 ならば 1。 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Ass}_A(A)$ が $U$ に属さないとし、$\mathfrak{p}=\operatorname{Ann}(a)$、$a\neq0$ とする。$Aa\cong A/\mathfrak{p}$ であり、$Aa$ の非零元 $ba$（$b\notin\mathfrak{p}$）の零化イデアルは、$\mathfrak{p}$ が素なので $\{c\mid cb\in\mathfrak{p}\}=\mathfrak{p}$ である。よって $\operatorname{Ass}(Aa)=\{\mathfrak{p}\}$ は $U$ と交わらず、lem-embedded-point-vanishing により $a|_U=0$ である。$a\neq0$ なので $A\to\mathcal{O}_X(U)$ は単射でない。$\square$

1 ならば 2：稠密な開集合 $U$ はすべての生成点を含み、1 よりそれが随伴点のすべてなので、thm-embedded-point-schematic-density により $U$ はスキーム論的に稠密である。
2 ならば 1：埋め込み点 $x$ があるとし、$U:=X\setminus\overline{\{x\}}$ とおく。既約成分 $Z$ の生成点 $\eta$ が $\overline{\{x\}}$ に属すれば $Z=\overline{\{\eta\}}\subset\overline{\{x\}}$ で、$\overline{\{x\}}$ は既約閉集合なので $Z$ の極大性から $Z=\overline{\{x\}}$、生成点の一意性（生成点 の命題「スキームの点と既約閉集合」）から $x=\eta$ となり、$x$ が埋め込み点であることに反する。よって $U$ はすべての生成点を含み稠密だが、随伴点 $x$ を含まないので、thm-embedded-point-schematic-density によりスキーム論的に稠密でない。$\square$

Cohen–Macaulay の場合：随伴点 $x$ では $\operatorname{depth}\mathcal{O}_{X,x}=0$ であり、Cohen–Macaulay なら深さは次元に等しいので $\dim\mathcal{O}_{X,x}=0$、すなわち $x$ は生成点である。
被約の場合：$B=\mathcal{O}_{X,x}$ は被約な Noether 局所環で、$\mathfrak{m}_x=\operatorname{Ann}(s)$、$s\neq0$ とする。被約なので極小素イデアルの共通部分は $0$ であり、$s\notin\mathfrak{q}$ となる極小素イデアル $\mathfrak{q}$ がある。$\mathfrak{m}_xs=0\in\mathfrak{q}$ と $s\notin\mathfrak{q}$ から $\mathfrak{m}_x\subset\mathfrak{q}$、よって $\mathfrak{m}_x=\mathfrak{q}$ は極小であり、$\dim B=0$ である。$\square$