Kirby–Siebenmann不変量
概要
Kirby–Siebenmann不変量（Kirby–Siebenmann invariant）とは、位相多様体 $M$ の接マイクロバンドルの分類写像で $B\mathrm{TOP}$ 上の普遍類を引き戻したコホモロジー類 $\kappa(M)\in H^4(M;\mathbb{Z}/2)$ である。PL 多様体では $0$ で、$5$ 次元以上では $\kappa(M)=0$ なら PL 構造があり、PL 構造のイソトピー類は $H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ の元と一対一に対応する。これは $\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}\simeq K(\mathbb{Z}/2,3)$ による。$4$ 次元の spin 多様体では $\kappa$ は符号数を $8$ で割った数の偶奇で、$E_8$ 多様体と Euclid 空間やトーラスとの積は PL 構造をもたない。
Kirby–Siebenmann 不変量（Kirby–Siebenmann invariant）は、位相多様体 $M$ に対して定まるコホモロジー類 $\kappa(M)\in H^4(M;\mathbb{Z}/2)$ で、$M$ が PL 構造（組合せ的な三角形分割）をもつための障害である。PL 多様体では $\kappa(M)=0$ であり、$\dim M\ge5$ では逆も成り立つ。さらに PL 構造があるとき、そのイソトピー類は $H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ の元と一対一に対応する。これらは Kirby と Siebenmann が 1969 年に示した定理で、その核心は
$$
\pi_k(\mathrm{TOP}/\mathrm{PL})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}/2&(k=3)\\0&(k\ne3)\end{cases}
$$
すなわち $\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}$ が Eilenberg–MacLane 空間 $K(\mathbb{Z}/2,3)$ であることにある（Rud01 序論、p. 12）。
滑らかな構造と PL 構造の差が、異種球面のように無数の群 $\pi_k(\mathrm{PL}/\mathrm{O})$ で測られるのに比べ、PL 構造と位相多様体の差はただ 1 つの $\mathbb{Z}/2$ に集約される（Rud01 序論、p. 13）。$4$ 次元では $\kappa(M)$ は $\mathbb{Z}/2$ の値をとり、spin 多様体では符号数を $8$ で割った数の偶奇に一致する。
この記事では、定義から従う基本性質（PL 多様体で $0$、開集合への制限、$\mathbb{R}$ との積）、$E_8$ 多様体と Euclid 空間やトーラスとの積が PL 構造をもたないこと、球面・トーラス・射影空間の PL 構造の個数、$4$ 次元での連結和についての加法性を完全に証明する。$\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}$ の構造と存在・分類の定理そのものは、所在を示して引用する。
定義と規約
多様体は Hausdorff かつ第 2 可算とする。位相多様体 $M$ の PL 構造は、座標変換が PL 写像である極大なアトラスである（PL多様体、Rud01 §3、p. 29）。2 つの PL 構造 $\Sigma$、$\Sigma'$ がイソトピックであるとは、恒等写像からの位相的イソトピー $h_t$ で $h_1\colon(M,\Sigma)\to(M,\Sigma')$ が PL 同相写像となるものがあることをいう（KS77 Annex 2、pp. 299–300）。
接マイクロバンドルと分類空間。 $n$ 次元位相多様体 $M$ には接マイクロバンドル $\tau_M$ が定まり、Kister–Mazur の定理により、これはファイバー $\mathbb{R}^n$ と零切断をもつ局所自明な束と考えてよい（KS77 Annex 2、p. 300）。ファイバー $\mathbb{R}^n$ の位相的な束の分類空間を $B\mathrm{TOP}_n$、PL な束の分類空間を $B\mathrm{PL}_n$ とし、自明な束 $\varepsilon^1$ との Whitney 和で定まる列 $B\mathrm{TOP}_n\to B\mathrm{TOP}_{n+1}\to\cdots$ の極限を $B\mathrm{TOP}$ とする（$B\mathrm{PL}$ も同様。Rud01 §2、pp. 22–26）。束 $\xi$ の安定な分類写像とは、$\xi$ を分類する写像と $B\mathrm{TOP}_n\to B\mathrm{TOP}$ の合成で、$\xi\oplus\varepsilon^k$ の安定な分類写像は $\xi$ のものと同じである。$\tau_M$ の安定な分類写像 $t_M\colon M\to B\mathrm{TOP}$ はホモトピーを除いて一意である（Rud01 p. 82）。
PL な束を位相的な束と見る写像 $p\colon B\mathrm{PL}\to B\mathrm{TOP}$ をファイブレーションに取り替えたときのファイバーを $\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}$ と書く（Rud01 序論、p. 12）。$M$ の PL 構造は $\tau_M$ の PL 構造を与え、したがって $t_M$ の $B\mathrm{PL}$ への持ち上げを与える（同 p. 12）。
$\pi_3(\mathrm{TOP}/\mathrm{PL})\cong\mathbb{Z}/2$ で、$k\ne3$ では $\pi_k(\mathrm{TOP}/\mathrm{PL})=0$ である。すなわち $\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}$ は $K(\mathbb{Z}/2,3)$ とホモトピー同値である。この定理の証明は Rud01 などの文献に譲り、この記事では証明しない。
これは Kirby–Siebenmann の Structure theorem（KS77 Annex 2、p. 300。$\pi_3$ が $0$ でなく $\mathbb{Z}_2$ であることは同 p. 305 の校正時の追記）で、Rud01 は序論（pp. 12、14）で Main Theorem として述べ、第 I 章で証明の構成を解説している。この記事では証明しない。
主ファイブレーション $\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}\to B\mathrm{PL}\to B\mathrm{TOP}$ のファイバーが $K(\mathbb{Z}/2,3)$ なので、障害理論により特性類
$$
\kappa_{\mathrm{u}}\in H^4(B\mathrm{TOP};\mathbb{Z}/2)
$$
（ファイバーの基本類の転入）が定まり、次が成り立つ：写像 $f\colon X\to B\mathrm{TOP}$ が $B\mathrm{PL}$ へ持ち上がるための必要十分条件は $f^*\kappa_{\mathrm{u}}=0$ であり、持ち上げがあれば、その垂直ホモトピー類は $H^3(X;\mathbb{Z}/2)$ の元と一対一に対応する（Rud01 §20、pp. 81–82。この記事では証明しない）。$\kappa_{\mathrm{u}}$ を普遍 Kirby–Siebenmann 類という。
位相多様体 $M$ の Kirby–Siebenmann 不変量（Kirby–Siebenmann 類）を
$$
\kappa(M):=t_M^*\kappa_{\mathrm{u}}\in H^4(M;\mathbb{Z}/2)
$$
と定める。$t_M$ はホモトピーを除いて一意なので、$\kappa(M)$ は $M$ だけで決まる。
これは Rud01 の (20.2)（p. 82）の定義である。$\kappa(M)$ は同相写像で保たれる：同相写像 $h\colon M\to M'$ は接マイクロバンドルの同型を誘導するので、$t_{M'}\circ h$ は $t_M$ にホモトピックであり、$h^*\kappa(M')=\kappa(M)$ となる。境界付きのコンパクト多様体で境界に PL 構造が与えられているときは、相対版 $\kappa(M)\in H^4(M,\partial M;\mathbb{Z}/2)$ が同様に定まる（Ran96 §4 の Theorem (iii)、p. 12）。
存在と分類の定理
2・3 は KS77 Annex 2 の (1)(2)（p. 300）、同 Annex 3 の Classification theorem 5.4（p. 318）、Rud01 Theorem 20.1・20.2（p. 82。3 はコンコルダンス類の形）、Bry02 Theorem 9.3・9.4 による。この記事では証明しない。1 は prop-ks-basic で証明する。
証明の構成は次のとおりである。
| 段 | 内容 | 所在 |
|---|---|---|
| 1 | 積構造定理：$\dim M\ge5$ なら、$M$ の PL 構造と $M\times\mathbb{R}^k$ の PL 構造は一対一に対応する | Rud01 Theorem 6.1（p. 39） |
| 2 | 段 1 から、PL 構造は $t_M$ の $B\mathrm{PL}$ への持ち上げと一対一に対応する | Rud01 Corollary 6.2・6.3（pp. 40–41）、KS77 Essay IV の Classification theorem 10.1（p. 194） |
| 3 | ハンドルをまっすぐにする問題を torus trick でトーラス上の PL 構造の問題に帰着し、$k\ne3$ で $\pi_k(\mathrm{TOP}/\mathrm{PL})=0$、$\pi_3$ は高々 $\mathbb{Z}/2$ | KS77 Annex 2（pp. 301–304）、Rud01 序論（p. 14） |
| 4 | PL 構造をもたない位相多様体があるので、$\mathrm{TOP}/\mathrm{PL}$ は可縮でない | Rud01 Corollary 7.4・7.5（pp. 42–43） |
| 5 | $K(\mathbb{Z}/2,3)$ についての障害理論で 1〜3 が従う | Rud01 §20（pp. 81–82） |
段 3 の torus trick は アニュラス予想と安定同相定理 の記事で扱う。段 4 で使われる多様体は、下の prop-ks-e8 と同じ $E_8$ 多様体とトーラスの積である（ただし Rud01 は $\kappa$ を使わずに、積構造定理と Rokhlin の定理で示している）。
基本性質
$M$ を境界のない位相多様体とする。
- $M$ が PL 構造をもてば $\kappa(M)=0$ である。
- $U\subset M$ が開集合で $i\colon U\to M$ が包含写像なら、$\kappa(U)=i^*\kappa(M)$ である。
- $\mathrm{pr}\colon M\times\mathbb{R}^k\to M$ を射影とすると、$\kappa(M\times\mathbb{R}^k)=\mathrm{pr}^*\kappa(M)$ である。
- $M$ が開かつ閉な部分集合の非交和 $M=\bigsqcup_jM_j$ なら、$H^4(M;\mathbb{Z}/2)\cong\prod_jH^4(M_j;\mathbb{Z}/2)$ のもとで $\kappa(M)=(\kappa(M_j))_j$ である。
1． PL 構造は $t_M$ の $B\mathrm{PL}$ への持ち上げ $\tilde t$（$p\circ\tilde t\simeq t_M$）を与える。持ち上げがあるので、持ち上げの判定（thm-ks-toppl の後の障害理論）により $t_M^*\kappa_{\mathrm{u}}=0$ である。
2． 開集合 $U$ の接マイクロバンドルは $\tau_M$ の $U$ への制限である（接マイクロバンドルは対角写像 $M\to M\times M$ とその近傍で定まり、$U$ では $U\to U\times U$ はその制限である）。制限した束は $t_M\circ i$ で分類されるので $t_U\simeq t_M\circ i$ であり、$\kappa(U)=i^*t_M^*\kappa_{\mathrm{u}}=i^*\kappa(M)$ である。
3． $k=1$ の場合を示せば、帰納法で一般の $k$ が従う（$M\times\mathbb{R}^{k}=(M\times\mathbb{R}^{k-1})\times\mathbb{R}$ で、射影の合成は射影である）。$M\times\mathbb{R}$ の接マイクロバンドルは $\mathrm{pr}^*\tau_M\oplus\varepsilon^1$ と同型である（FNOP Theorem 9.2 (1) の証明、p. 73）。引き戻し $\mathrm{pr}^*\tau_M$ は $t_M\circ\mathrm{pr}$ で安定に分類され、自明な束を足しても安定な分類写像は変わらないので $t_{M\times\mathbb{R}}\simeq t_M\circ\mathrm{pr}$ である。よって $\kappa(M\times\mathbb{R})=\mathrm{pr}^*\kappa(M)$ である。
4． $M_j$ は $M$ の開集合なので、2 により $\kappa(M_j)$ は $\kappa(M)$ の $M_j$ への制限である。コホモロジーの同型は各 $M_j$ への制限の組なので主張が従う。$\square$
2 と 3 から、次の意味で $\kappa$ は局所的でかつ安定な不変量である：$M$ の開集合が PL 構造をもてば、そこへの制限は $0$ であり、$M\times\mathbb{R}^k$ の $\kappa$ は $M$ の $\kappa$ と同じ情報をもつ。
$M\times\mathbb{R}^k$（$k\ge0$）が PL 構造をもてば $\kappa(M)=0$ である。$\dim M\ge5$ ならば逆に $\kappa(M)=0$ から $M$ 自身が PL 構造をもつ。
零切断 $s\colon M\to M\times\mathbb{R}^k$、$s(x)=(x,0)$ について $\mathrm{pr}\circ s=1_M$ なので $s^*\circ\mathrm{pr}^*$ は恒等写像で、$\mathrm{pr}^*$ は単射である。$M\times\mathbb{R}^k$ が PL 構造をもてば prop-ks-basic の 1 と 3 により $\mathrm{pr}^*\kappa(M)=\kappa(M\times\mathbb{R}^k)=0$ で、単射性から $\kappa(M)=0$ である。後半は thm-ks-main の 2 である。$\square$
$\dim M\ge5$ の場合、これは積構造定理（上の表の段 1）の「存在」の部分と同じ結論である。$4$ 次元では、$\kappa(M)=0$ であることは $M\times\mathbb{R}$ が滑らかな構造（したがって PL 構造）をもつことと同値だが（コンパクトで連結な $M$ について、FNOP Theorem 9.2 (1)・Theorem 9.3、pp. 73、77）、$M$ 自身が PL 構造をもつとは限らない（下の反例の表）。
4 次元での値と $E_8$ 多様体
$4$ 次元の閉多様体 $M$ が連結なら $H^4(M;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ で、$\kappa(M)$ は $\mathbb{Z}/2$ の元と見なせる。非連結なときは各成分の値の和を $\kappa(M)\in\mathbb{Z}/2$ と書く（FNOP §9.2、p. 72）。
$M$ を向き付けられた閉 $4$ 次元位相多様体で spin（第 2 Stiefel–Whitney 類が $0$）とする。このとき符号数 $\sigma(M)$ は $8$ の倍数で、
$$
\kappa(M)\equiv\frac{\sigma(M)}{8}\pmod 2
$$
である。この定理の証明は FNOP に譲り、この記事では証明しない。
これは FNOP Theorem 9.2 (4)（p. 73、証明は pp. 75–76）、Ran96 §3 の Proposition (ii)（p. 10。Rokhlin 不変量との一致）による。この記事では証明しない。滑らかな（あるいは PL の）閉 spin $4$ 次元多様体では $\sigma(M)$ が $16$ の倍数であるという Rokhlinの定理（Rud01 Theorem 7.1、p. 42）は、この式と prop-ks-basic の 1 とに整合する。
$E_8$ 多様体は、交叉形式が $E_8$ 形式である単連結な閉 $4$ 次元位相多様体で、Freedman が構成し、同相を除いて一意である（Rud01 Theorem 7.2、p. 42。E8多様体）。$E_8$ 形式は偶で符号数 $8$ なので $E_8$ 多様体 $V$ は spin で、thm-ks-signature により $\kappa(V)=1$ である（FNOP pp. 74–75、Ran96 §3 の Examples (ii)、p. 10）。prop-ks-basic の 1 により、$V$ は PL 構造をもたない。
$V$ を $E_8$ 多様体、$k\ge1$ とする。
- $\kappa(V\times\mathbb{R}^k)\ne0$ であり、$V\times\mathbb{R}^k$ は PL 構造をもたない。
- $V\times T^k$ は PL 構造をもたない。
1． $\kappa(V)=1\ne0$ なので、cor-ks-product の証明と同じく $\kappa(V\times\mathbb{R}^k)=\mathrm{pr}^*\kappa(V)\ne0$ である。prop-ks-basic の 1 により PL 構造はない。
2． $V\times T^k$ が PL 構造 $\Sigma$ をもつと仮定する。$e\colon\mathbb{R}^k\to T^k$ を普遍被覆写像とし、$p:=1_V\times e\colon V\times\mathbb{R}^k\to V\times T^k$ とおく。$p$ は局所同相写像である。$\Sigma$ の座標近傍 $(U,\varphi)$ と、$p$ が単射で $p(W)\subset U$ となる開集合 $W\subset V\times\mathbb{R}^k$ の組すべてについて、$\varphi\circ p|_W$ を座標近傍とする。これらの定義域は $V\times\mathbb{R}^k$ を覆う。2 つの座標近傍 $\varphi\circ p|_W$、$\varphi'\circ p|_{W'}$ の座標変換は、$\varphi(p(W\cap W'))$ の上で
$$
\varphi'\circ p|_{W'}\circ(p|_W)^{-1}\circ\varphi^{-1}=\varphi'\circ\varphi^{-1}
$$
（$W\cap W'$ の上で $p|_{W'}$ と $p|_W$ は一致する）であり、$\Sigma$ の座標変換なので PL である。よって $V\times\mathbb{R}^k$ は PL 構造をもち、1 に反する。$\square$
$V\times T^k$ は $\dim\ge5$ の閉多様体で、thm-ks-main の 2 の結論の対偶から $\kappa(V\times T^k)\ne0$ でもある。一方 $V\times T^k$ は（組合せ的でない）三角形分割をもつ（Rud01 Theorem 21.5 の後の注意、p. 85）。したがって、三角形分割可能であることから $\kappa=0$ は従わない（三角形分割可能な多様体）。
PL 構造の個数
$n\ge5$ とする。PL 構造のイソトピー類の個数は次のとおりである。
- 球面 $S^n$：$1$ 個。
- トーラス $T^n$：$2^{\binom n3}$ 個。
- 実射影空間 $\mathbb{R}P^n$：$2$ 個。
3 つとも標準的な PL 構造をもつ（滑らかな多様体なので Whitehead三角形分割 による）。thm-ks-main の 3 により、個数は $H^3(\,\cdot\,;\mathbb{Z}/2)$ の元の個数である。
1：$n\ge5$ なので $H^3(S^n;\mathbb{Z}/2)=0$ で、元は $1$ 個である。
2：$H^*(T^n;\mathbb{Z}/2)$ は次数 $1$ の $n$ 個の元 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ で生成される $\mathbb{Z}/2$ 上の外積代数である（Hat02 Example 3.13、p. 213 と Example 3.16、p. 216。Künneth の公式 Theorem 3.15、p. 216 による）。次数 $3$ の部分は $\alpha_i\alpha_j\alpha_l$（$i< j< l$）を基底とする $\binom n3$ 次元の $\mathbb{Z}/2$ ベクトル空間なので、元は $2^{\binom n3}$ 個である。
3：$H^*(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2[\alpha]/(\alpha^{n+1})$、$\deg\alpha=1$（Hat02 Theorem 3.19、p. 220）で、$n\ge3$ なので $H^3$ は $\alpha^3$ で生成される $\mathbb{Z}/2$ であり、元は $2$ 個である。$\square$
イソトピー類の個数と、PL 同相類の個数は一般に異なる。PL 構造を PL 自己同相写像で動かすとイソトピー類が変わりうるからである（Rud01 序論、p. 12）。たとえば $S^n$ では 1 と 基本予想 の系から、$S^n$ と同相な PL 多様体はすべて $S^n$ と PL 同相である。$\mathbb{R}P^n$ の $2$ つの構造は互いに PL 同相でない（Rud01 Example 21.1、p. 83）。トーラスについては次の例を見よ。
$n=5$ では $\binom53=10$ で、$T^5$ の PL 構造のイソトピー類は $2^{10}=1024$ 個ある。一方、$T^n$ と同相な PL 多様体の PL 同相類は、$\Lambda^{n-3}\mathbb{Z}^n\otimes\mathbb{Z}/2$ への $GL(n,\mathbb{Z})$ の作用の軌道と一対一に対応する（Bry02 Theorem 9.2。この記事では証明しない）。$n=5$ では $\Lambda^2(\mathbb{Z}/2)^5$ の軌道で、それは $0$、階数 $2$、階数 $4$ の $3$ つである。したがって $T^5$ と同相な PL 多様体は、PL 同相を除いてちょうど $3$ 個あり、そのうち $2$ 個が偽トーラスである。
軌道が 3 つであること
$\Lambda^2(\mathbb{Z}/2)^5$ の元 $\omega=\sum_{i< j}c_{ij}e_i\wedge e_j$ を、対角成分が $0$ の対称行列 $(c_{ij})$（交代行列）と見る。$A\in GL(5,\mathbb{Z})$ は $\omega$ に $(c_{ij})\mapsto\bar A(c_{ij})\bar A^{\mathsf T}$（$\bar A$ は $A$ の $2$ を法とする還元）で作用する。基本変形の行列（単位行列の非対角成分を $1$ つ $1$ にしたもの）は整数係数の基本変形の行列の還元であり、$GL(5,\mathbb{Z}/2)$ はそれらで生成されるので、$\bar A$ は $GL(5,\mathbb{Z}/2)$ のすべての元を動く。体の上の交代形式は、基底を取り替えて $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ の $r$ 個の直和と零行列の直和に変形でき、$2r$（行列の階数）が軌道を決める。$5$ 次では $2r\in\{0,2,4\}$ である。
4 次元での加法性
$4$ 次元の $\kappa$ は、同境で不変である。
閉 $4$ 次元位相多様体 $M$ がコンパクトな $5$ 次元位相多様体の境界なら、$\kappa(M)=0$ である。この定理の証明は FNOP に譲り、この記事では証明しない。
これは FNOP Theorem 9.2 (2)（p. 73、証明は pp. 73–74）による。この記事では証明しない。
$M$、$N$ を連結な閉 $4$ 次元位相多様体とし、$M\#N$ をそれらの連結和（それぞれから局所平坦な開球体を除き、境界の球面を同一視したもの）とする。このとき
$$
\kappa(M\#N)=\kappa(M)+\kappa(N)
$$
である。
$I=[0,1]$ とし、連結和に使った閉球体 $B\subset M$、$B'\subset N$ をとる。$M\times I$ と $N\times I$ の非交和に、$1$ ハンドル $D^1\times D^4$ を、$\{-1\}\times D^4$ を $B\times\{1\}$ に、$\{1\}\times D^4$ を $B'\times\{1\}$ に貼る。得られる $W$ はコンパクトな $5$ 次元位相多様体で、その境界は
$$
\partial W=(M\times\{0\})\sqcup(N\times\{0\})\sqcup\Bigl((M\setminus\operatorname{int}B)\cup(D^1\times S^3)\cup(N\setminus\operatorname{int}B')\Bigr)
$$
である。最後の成分は、$M\setminus\operatorname{int}B$ と $N\setminus\operatorname{int}B'$ を円筒 $D^1\times S^3\cong S^3\times[-1,1]$ でつないだもので、$M\#N$ と同相である。thm-ks-bordism と prop-ks-basic の 4 により
$$
0=\kappa(\partial W)=\kappa(M)+\kappa(N)+\kappa(M\#N)
$$
（$\mathbb{Z}/2$ の中）となり、主張が従う。$\square$
この議論は FNOP Theorem 9.2 (3) の証明（p. 75）である。連結和が球体の選び方によらずに定まることには、アニュラス予想と安定同相定理 が使われる（FNOP §4.2）。上の証明は球体の選び方によらずに成り立つので、この点に依存しない。
$V\#V$ の交叉形式は $E_8\oplus E_8$ で、prop-ks-sum により $\kappa(V\#V)=1+1=0$ である。thm-ks-signature でも $\sigma(V\#V)/8=2\equiv0$ となり、一致する。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\dim M\ge5$（存在） | 交叉形式 $E_8\oplus E_8$ の単連結な閉 $4$ 次元多様体 | $\kappa(M)=0$ なら PL 構造がある |
| $\dim M\ge5$（分類） | $\mathbb{R}^4$ | PL 構造は $H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ で数えられる |
| 同相（ホモトピー同値に弱める） | $\mathbb{C}P^2$ と偽の $\mathbb{C}P^2$ | $\kappa$ が一致する |
| PL 構造（三角形分割に弱める） | $V\times S^1$（$V$ は $E_8$ 多様体） | $\kappa=0$ |
交叉形式が $E_8\oplus E_8$ の単連結な閉 $4$ 次元位相多様体 $N$ がある。形式は偶で符号数 $16$ なので、thm-ks-signature により $\kappa(N)=0$ である。しかし $N$ は Donaldson の定理により滑らかな構造をもたず（FNOP Example 9.4、pp. 77–78）、$4$ 次元では PL 構造と滑らかな構造の区別がない（Rud01 Remark 6.7、p. 41）ので、PL 構造ももたない。破れる条件は $\dim M\ge5$ で、thm-ks-main の 2 の証明では積構造定理（$\dim M\ge5$ が必要）で $M\times\mathbb{R}$ の構造を $M$ に下ろしている。$N\times\mathbb{R}$ は実際に滑らかな構造をもつ（同 Example 9.4）。
$H^3(\mathbb{R}^4;\mathbb{Z}/2)=0$ なので、thm-ks-main の 3 が $4$ 次元で成り立つなら $\mathbb{R}^4$ の PL 構造はイソトピーを除いて $1$ つで、$\mathbb{R}^4$ と同相な PL 多様体はすべて PL 同相になるはずである。しかし $\mathbb{R}^4$ と同相で互いに PL 同相でない PL 多様体は非可算個ある（Rud01 Summary 2、p. 86。エキゾチックR⁴）。破れる条件は $\dim M\ge5$ である。
$\mathbb{C}P^2$ とホモトピー同値で $\kappa=1$ の閉 $4$ 次元位相多様体がある（FNOP Lemma 9.6、p. 78。Arf 不変量 $1$ の結び目に沿った $+1$ 手術と Freedman の可縮多様体から作る）。$\mathbb{C}P^2$ は滑らかなので $\kappa(\mathbb{C}P^2)=0$ であり、両者は同相でない。高次元でも、$S^4\times S^n$（$n\ge2$）とホモトピー同値で $\kappa=1$ の閉位相多様体がある（Ran96 §4、pp. 19–20）。破れる条件は「同相」で、$\kappa$ は接マイクロバンドルから作るので同相写像では保たれるが、ホモトピー同値写像は接マイクロバンドルを保たない。
$E_8$ 多様体 $V$ について、$V\times S^1$ は三角形分割できる（Rud01 Theorem 21.5 とその後の注意、pp. 84–85）が、prop-ks-e8 により PL 構造をもたず、$\kappa(V\times S^1)\ne0$ である。破れる条件は、prop-ks-basic の 1 の仮定「PL 構造（組合せ的な三角形分割）」で、組合せ的でない三角形分割は接マイクロバンドルの PL 構造を与えない。
補足
- 三角形分割の障害：$\dim M\ge5$ の位相多様体 $M$ が（組合せ的とは限らない）三角形分割をもつための必要十分条件は、係数の完全列 $0\to\ker\mu\to\theta^H_3\xrightarrow{\mu}\mathbb{Z}/2\to0$（$\theta^H_3$ はホモロジー $3$ 球面の同境群、$\mu$ は Rokhlin 準同型）の Bockstein 写像 $\delta$ について $\delta\kappa(M)=0\in H^5(M;\ker\mu)$ となることである（Galewski–Stern、Matumoto。Rud01 Theorem 21.7、p. 86、Ran96 §5、p. 23）。Manolescu はこの完全列が分裂しないことを示し、$5$ 次元以上のすべての次元に三角形分割できない多様体があることを導いた（三角形分割予想とManolescuの定理）。
- Casson–Sullivan 不変量：PL 多様体の間の同相写像 $h\colon V\to M$ に対し、thm-ks-main の 3 の対応で決まる $H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ の元が Casson–Sullivan 不変量で、写像柱の相対 Kirby–Siebenmann 不変量と一致する（Ran96 §4 の Theorem (iv)、p. 12）。多様体の基本予想との関係は 基本予想 で扱う。
- 有理 Pontryagin 類：有理 Pontryagin 類が位相不変量であるという Novikov の定理は、thm-ks-toppl の系として得られる（Rud01 §22、p. 87。ただし thm-ks-toppl の証明自体が Novikov の考えを使っている）。
関連項目
- 前提: 位相多様体, PL多様体, 分類空間, 基本予想
- 比較: 多様体の構造の階層, 三角形分割可能な多様体, 異種球面
- 直後に読む: アニュラス予想と安定同相定理, E8多様体, Rokhlinの定理
- 発展: 三角形分割予想とManolescuの定理, 平滑化理論, エキゾチックR⁴
参考文献
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