対数的微分形式

$A:=\mathcal O_{X,y}$、$f:=t_1\cdots t_r$ とおく。$A$ は正則局所環なので一意分解整域であり、$t_1,\dots,t_r$ は互いに同伴でない素元である（$t_i$ は正則パラメータ系の一部なので $A/(t_i)$ は正則局所環、とくに整域であり、$t_i$ と $t_j$（$i\ne j$）の像は $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ で一次独立だから同伴でない）。$dt_1,\dots,dt_n$ は $\Omega^1_{X,y}$ の基底である（(a) では座標の微分だから。(b) では $\mathfrak m/\mathfrak m^2\cong\Omega^1_{X,y}\otimes k$ と Nakayamaの補題 による）。$g\in A[1/f]$ について $dg=\sum_i\partial_ig\,dt_i$ で導分 $\partial_i$ を定めると、$\partial_it_j=\delta_{ij}$ である。
段 1：$\theta_K$ は対数的． $t_K:=\prod_{k\in K,\,k\le r}t_k$ とおくと $\theta_K=t_K^{-1}dt_K$（$dt_K:=dt_{k_1}\wedge\cdots\wedge dt_{k_p}$）である。$f\theta_K=(f/t_K)\,dt_K$ は正則で、$d\theta_K=0$（各 $\theta_k$ が閉形式）なので $\theta_K$ は対数的である。
段 2：生成． $\omega\in\Omega^p_X(\log D)_y$ を $\omega=\sum_Kg_K\,dt_K$（$g_K\in A[1/f]$）と書き、$h_K:=fg_K\in A$ とおく。次を示す。

$i\le r$、$i\notin K$ ならば、$t_i$ は $h_K$ を割る。
これが言えれば、互いに同伴でない素元 $t_i$（$i\le r$、$i\notin K$）の積 $f/t_K$ が $h_K$ を割り、$c_K:=h_K/(f/t_K)=t_Kg_K\in A$ により $\omega=\sum_Kc_K\theta_K$ となる。
主張を示す。$L:=K\cup\{i\}$ とし、$j\in L$ について $dt_j\wedge dt_{L\setminus\{j\}}=\varepsilon_j\,dt_L$（$\varepsilon_j=\pm1$）とおく。$f\,d\omega$ の $dt_L$ の係数は $\sum_{j\in L}\varepsilon_j\,f\,\partial_j(g_{L\setminus\{j\}})$ で、これは $A$ に属する。$g_M=h_M/f$ と、$j\le r$ なら $\partial_jf=f/t_j$、$j>r$ なら $\partial_jf=0$ であることから、
$$ f\,\partial_j(g_M)=\partial_j(h_M)-\frac{h_M\,\partial_jf}{f}=\begin{cases}\partial_j(h_M)-h_M/t_j&(j\le r)\\\partial_j(h_M)&(j>r)\end{cases} $$
なので、$\sum_{j\in L,\,j\le r}\varepsilon_j\,h_{L\setminus\{j\}}/t_j\in A$ を得る。$T:=\prod_{j\in L,\,j\le r}t_j$ を掛けると $\sum_{j\in L,\,j\le r}\varepsilon_j\,h_{L\setminus\{j\}}\,T/t_j\in t_iA$ である。$j\ne i$ の項は $T/t_j$ が $t_i$ で割り切れるので $t_iA$ に属し、残る $j=i$ の項 $\varepsilon_i\,h_K\prod_{k\in K,\,k\le r}t_k$ も $t_iA$ に属する。$t_i$ は素元で $t_k$（$k\ne i$）とは同伴でないから、$t_i$ は $h_K$ を割る。
段 3：一次独立と局所自由性． $\theta_K=t_K^{-1}dt_K$ で $t_K$ は $A[1/f]$ の単元なので、$\{\theta_K\}$ は $\Omega^p_X(*D)_y$ の $A[1/f]$ 上の基底であり、とくに $A$ 上一次独立である。よって茎は $\{\theta_K\}$ を基底とする自由加群である。$\theta_K$ は $\theta_{k_1},\dots,\theta_{k_p}$ の外積なので、$\bigwedge^p\Omega^1_X(\log D)_y\to\Omega^p_X(\log D)_y$ は基底を基底に写す。(a) では座標近傍の各点 $y'$ で、$t_i(y')\ne0$ となる $t_i$ が単元であることから同じ $\{\theta_K\}$ が茎の基底になり、座標近傍の上で自由である。(b) では、閉点での茎が自由な連接層は閉点の近傍で自由であり、閉点の近傍たちが $X$ を覆う。$\square$

要点：局所基底から $\omega=\frac{dt}{t}\wedge\alpha+\beta$ と書け、表示の差は $dt\wedge\Omega^{p-2}+t\,\Omega^{p-1}$ に入るので $\alpha|_D$ は定まる。核は正則形式、全射は $\frac{dt}{t}\wedge\alpha$ の留数から分かる。

単項式への分解． $\omega\in A^p$ を thm-lf-basis の基底で $\omega=\sum_Kc_K\theta_K$ と書く。ここで $\theta_k=\eta_k$（$k\le r$）、$\theta_k=dz_k=z_k\eta_k$（$k>r$）であり、$c_K$ は $\Delta^n$ の上の正則関数である。多重円板 の定理「冪級数展開」により $c_K=\sum_\beta a_{K,\beta}z^\beta$ は $\Delta^n$ の上で局所一様に絶対収束する。$\theta_K=z^{\mathbf 1_{K}^{>r}}\eta_K$（$\mathbf 1_K^{>r}$ は $K\cap\{r+1,\dots,n\}$ の指示ベクトル）なので、
$$ \omega=\sum_{\alpha,K}b_{\alpha,K}\,z^\alpha\eta_K $$
と書ける。ここで和は「$k\in K$、$k>r$ なら $\alpha_k\ge1$」を満たす組 $(\alpha,K)$ にわたる（条件 $(\ast)$）。逆に、条件 $(\ast)$ を満たす組の和で、係数が上のように絶対収束するものは $A^p$ の元を与える。$d(z^\alpha\eta_K)=v_\alpha\wedge z^\alpha\eta_K$ の右辺の各項 $\alpha_jz^\alpha\eta_j\wedge\eta_K$ は、$j>r$ なら $\alpha_j\ne0$ のときだけ現れるので、条件 $(\ast)$ を保つ。よって $d$ は $\alpha$ ごとの成分を保つ。
ホモトピー． $\iota_j$ を $\eta_j$ についての縮約（$\iota_j\eta_i=\delta_{ij}$ を満たす外積代数の反導分）とする。ベクトル $v$ について $\iota_j(v\wedge\xi)+v\wedge\iota_j\xi=\iota_j(v)\,\xi$ である。$\alpha\ne0$ のとき $j(\alpha)$ を $\alpha_j\ne0$ となる最小の $j$ とし、
$$ H(z^\alpha\eta_K):=\frac1{\alpha_{j(\alpha)}}\,z^\alpha\,\iota_{j(\alpha)}\eta_K\quad(\alpha\ne0),\qquad H(z^0\eta_K):=0 $$
と定めて、$H$ を項ごとに延ばす。縮約は添字を取り除くだけなので条件 $(\ast)$ を保つ。$\alpha\ne0$ の成分では $\iota_{j(\alpha)}(v_\alpha)=\alpha_{j(\alpha)}$ から $(dH+Hd)(z^\alpha\eta_K)=z^\alpha\eta_K$ である。$\alpha=0$ の成分は、条件 $(\ast)$ から $K\subset\{1,\dots,r\}$ の $\eta_K$ の定数倍であり、$d$ も $H$ も $0$ である。よって
$$ dH+Hd=\mathrm{id}-P,\qquad P(\omega):=\sum_{K\subset\{1,\dots,r\}}b_{0,K}\,\eta_K $$
である。
収束．

要点：トーラス $T_J=\{|z_j|=\varepsilon\ (j\in J)\}$ の上の積分 $\int_{T_J}\eta_I$ が $I=J$ のときだけ $0$ でないことで一次独立性を示し、次元はトーラスのコホモロジーと比べる。