Hirzebruchの符号数定理

$\sigma_i(t_1,\dots,t_N)$ を基本対称式とする。対称式の基本定理（対称多項式）により、$\sigma_1,\dots,\sigma_N$ は $\Lambda$ 上代数的に独立であり、$\Lambda[t_1,\dots,t_N]$ の対称式は $\sigma_1,\dots,\sigma_N$ の多項式としてただ 1 通りに書ける。
一意性．$A^\bullet=\Lambda[t_1,\dots,t_n]$（$\deg t_i=1$）、$a:=\prod_{i=1}^n(1+t_i)$ とすると $a_j=\sigma_j$ である。乗法性と $K(1+t_i)=f(t_i)$ から $K(a)=\prod_if(t_i)$ であり、$n$ 次の成分をとると $K_n(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ は $f$ だけで決まる。$\sigma_i$ は独立なので多項式 $K_n$ が決まる。
存在．$N\ge n$ について、$\prod_{i=1}^Nf(t_i)$ の $n$ 次の成分は $n$ 次斉次の対称式なので、ただ 1 つの多項式 $K^{(N)}_n$ により $K^{(N)}_n(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ と書ける（重みが $n$ なので $\sigma_j$、$j>n$ は現れない）。$t_{N+1}=0$ を代入すると $\sigma_j$ は $\sigma_j$ に、$\prod_{i\le N+1}f(t_i)$ は $\prod_{i\le N}f(t_i)$ に写り、$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ は独立なので $K^{(N+1)}_n=K^{(N)}_n$ である。これを $K_n$ とおく。同じ代入で、どの $N$ についても $K(\prod_{i\le N}(1+t_i))=\prod_{i\le N}f(t_i)$ がすべての次数で成り立つ。$N=1$ から $K(1+t)=f(t)$ である。
乗法性：$n$ 次の成分の等式 $K_n(ab)=\sum_{i+j=n}K_i(a)K_j(b)$ は、$(ab)_m=\sum_{i+j=m}a_ib_j$ を代入すれば $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ の $\Lambda$ 係数の多項式の等式である。$\Lambda[t_1,\dots,t_n,u_1,\dots,u_n]$ で $a=\prod(1+t_i)$、$b=\prod(1+u_j)$ とすると、$ab$ は $2n$ 個の $1+(\cdot)$ の積なので $K(ab)=\prod f(t_i)\prod f(u_j)=K(a)K(b)$ である。このとき $a_i=\sigma_i(t)$、$b_j=\sigma_j(u)$ は合わせて $\Lambda$ 上代数的に独立なので、上の多項式の等式は多項式として成り立ち、任意の $A^\bullet$ で成り立つ。
最後の主張：$t_2=\cdots=t_n=0$ を代入すると $K_n(t_1,0,\dots,0)$ は $f(t_1)$ の $n$ 次の項 $\lambda_nt_1^n$ に等しい。よって $K_n(x_1,0,\dots,0)=\lambda_nx_1^n$ であり、$K(1+a_1)=\sum_n\lambda_na_1^n=f(a_1)$ である。$\square$

$x/\tanh x=1+ax^2+bx^4+\cdots$ とおくと、$x\cosh x=(x/\tanh x)\sinh x$ から $1+\tfrac{x^2}2+\tfrac{x^4}{24}+\cdots=(1+ax^2+bx^4+\cdots)(1+\tfrac{x^2}6+\tfrac{x^4}{120}+\cdots)$ である（両辺を $x$ で割った）。$x^2$ の係数から $a+\tfrac16=\tfrac12$、すなわち $a=\tfrac13$、$x^4$ の係数から $b+\tfrac a6+\tfrac1{120}=\tfrac1{24}$、すなわち $b=\tfrac{15-20-3}{360}=-\tfrac1{45}$ である。ex-hst-low-degree に代入すると $L_1=\tfrac13x_1$、$L_2=-\tfrac1{45}x_1^2+(\tfrac19+\tfrac2{45})x_2=\tfrac1{45}(7x_2-x_1^2)$ である。$\square$

1・2 は、$K[M]$ が Pontryagin 数の一次結合であることと、Pontryagin類 の節「Pontryagin 数と同境」で Pontryagin 数を定義した段落（非交和と向きの反転）と、系「向き付けられた同境不変性」による。
3：$\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ を射影とすると $T(M\times M')\cong\mathrm{pr}_1^*TM\oplus\mathrm{pr}_2^*TM'$ である。有理係数では位数 $2$ の元が消えるので、Pontryagin類 の命題「自然性・安定性・Whitney の和公式」から $p(M\times M')=\mathrm{pr}_1^*p(M)\cdot\mathrm{pr}_2^*p(M')$ である。$A^j=H^{4j}(M\times M';\mathbb Q)$ は可換なので乗法性が使えて、$K(p(M\times M'))=\mathrm{pr}_1^*K(p(M))\cdot\mathrm{pr}_2^*K(p(M'))$ である。$\dim M=m$、$\dim M'=m'$ とし、$m+m'$ 次の成分をとる。$\mathrm{pr}_1^*K_i(p(M))\cdot\mathrm{pr}_2^*K_j(p(M'))$ は $4i>m$ または $4j>m'$ なら $0$ なので、$m=4k$、$m'=4k'$ なら残るのは $(i,j)=(k,k')$ だけである。基本類は $[M\times M']=[M]\times[M']$ で、偶数次の類 $x,y$ について $\langle\mathrm{pr}_1^*x\cdot\mathrm{pr}_2^*y,[M]\times[M']\rangle=\langle x,[M]\rangle\langle y,[M']\rangle$ である（MS74 Lemma 19.2 の証明、p. 223）。よって $K[M\times M']=K[M]K[M']$ である。$m$ か $m'$ が $4$ の倍数でないときは右辺は $0$ であり、左辺も $0$ である。実際、$m+m'$ が $4$ の倍数でなければ定義により $0$ である。$m+m'=4l$ なら、$4l$ 次の成分の各項 $\mathrm{pr}_1^*K_i(p(M))\cdot\mathrm{pr}_2^*K_j(p(M'))$（$i+j=l$）は $4i\le m$ かつ $4j\le m'$ でなければ $0$ で、$4i+4j=m+m'$ と合わせると $4i=m$、$4j=m'$ が要るので、どの項も $0$ である。$\square$

$h$ を超平面類とすると $H^\bullet(\mathbb{CP}^{2k};\mathbb Q)=\mathbb Q[h]/(h^{2k+1})$、$\langle h^{2k},[\mathbb{CP}^{2k}]\rangle=1$ である（Chern類 の定義「複素射影空間の超平面類」）。
符号数．$H^{2k}(\mathbb{CP}^{2k};\mathbb R)$ は $h^k$ で張られる 1 次元の空間で、$\langle h^k\smile h^k,[\mathbb{CP}^{2k}]\rangle=1>0$ なので、交叉形式は正定値で $\sigma=1$ である。
$L$ 種数．Pontryagin類 の定理「複素射影空間の Pontryagin 類」により $p(\mathbb{CP}^{2k})=(1+h^2)^{2k+1}$ である。$h^2\in H^4=A^1$ なので、乗法性と thm-hst-lemma の最後の主張により
$$ L(p)=L(1+h^2)^{2k+1}=f(h^2)^{2k+1}=\Bigl(\frac h{\tanh h}\Bigr)^{2k+1} $$
である（右辺は $h$ の冪級数で、$h^{2k+1}=0$ で打ち切る）。よって $L[\mathbb{CP}^{2k}]$ は $(z/\tanh z)^{2k+1}$ の Taylor 展開の $z^{2k}$ の係数 $c$ に等しい。$\tanh z$ は $0$ の近くで正則で $\tanh z=z+O(z^3)$ なので、小さい円 $|z|=\rho$ について、留数定理（留数定理）により
$$ c=\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=\rho}\Bigl(\frac z{\tanh z}\Bigr)^{2k+1}\frac{dz}{z^{2k+1}}=\frac1{2\pi i}\oint\frac{dz}{\tanh^{2k+1}z} $$
である。$u=\tanh z$ は $0$ の近傍の正則な同相写像で $du=(1-u^2)\,dz$ なので、$0$ のまわりを 1 周する小さい閉曲線の上で
$$ c=\frac1{2\pi i}\oint\frac{du}{u^{2k+1}(1-u^2)} $$
であり、これは $1/(1-u^2)=1+u^2+u^4+\cdots$ の $u^{2k}$ の係数 $1$ に等しい。$\square$

thm-hst-main と prop-hst-l12 による。3 は、$\sigma(M)$ が整数で、向きを保つホモトピー同値で変わらないこと（符号数(多様体) の命題「ホモトピー同値と符号数」）による。$\square$

Pontryagin類 の補題「実化の複素化」の 4 次の成分を比べると $-p_1(M)=2c_2-c_1^2$、すなわち $p_1(M)=c_1^2-2c_2$ である。複素ベクトル束の最高次の Chern 類は、複素構造の向きを入れた実ベクトル束の Euler 類なので（Chern類 の注意「他の特性類との関係と参考書」）、$c_2=e(TM)$ であり、$\langle e(TM),[M]\rangle=\chi(M)$（Euler類 の定理「接束の Euler 数と Euler 標数」）である。cor-hst-low-dim の 1 により $3\sigma(M)=p_1[M]=\langle c_1^2,[M]\rangle-2\chi(M)$ である。
$S^4$ に概複素構造 $J$ があったとし、$J$ の向きを入れる。$H^2(S^4;\mathbb Z)=0$ なので $c_1=0$ であり、$\chi(S^4)=2$、$H^2(S^4;\mathbb R)=0$ から $\sigma(S^4)=0$ である。上の等式は $0=4$ となって矛盾する。$\square$