Weierstrass方程式

1 は左辺を展開して得られる恒等式で、$X,Y$ を $x,y$ について解けば $(u,r,s,t)$ が読み取れる。2 の前半は定義に代入すればよい。後半は、prop-we-transformation の式で $a_1=a_2=a_3=a_1'=a_2'=a_3'=0$ とおくと $ua_1'=2s$、$u^3a_3'=2t$、$u^2a_2'=3r$ から $s=t=r=0$ となることによる。$\square$

1．$\ell((O))=1$（定数だけ）、$\ell(2(O))=2$、$\ell(3(O))=3$ なので、$x\in L(2(O))\setminus L((O))$、$y\in L(3(O))\setminus L(2(O))$ がとれ、それぞれ $O$ でちょうど $2$ 位・$3$ 位の極をもつ。$L(6(O))$ は $6$ 次元で、$7$ 個の関数 $1,x,y,x^2,xy,y^2,x^3$ を含むので、自明でない 1 次関係
$$ Ay^2+a_1xy+a_3y=Bx^3+a_2x^2+a_4x+a_6 $$
がある。$O$ での極の位数は順に $0,2,3,4,5,6,6$ なので、$A=0$ なら残りの $6$ 個は極の位数が相異なり 1 次独立で、関係が自明になる。よって $A\ne0$、同様に $B\ne0$ で、$x$ を $ABx$、$y$ を $AB^2y$ に替えて $A^3B^4$ で割れば $A=B=1$ となる。
$\varphi=[x:y:1]$ は有理写像で、$E$ は滑らかな曲線なので射である（Sil09 Proposition II.2.1、p. 19）。$\varphi=[x/y:1:1/y]$ で $x/y$、$1/y$ は $O$ で零なので $\varphi(O)=[0:1:0]$ である。$x$、$y$ は $O$ にだけ $2$ 位・$3$ 位の極をもつので $[k(E):k(x)]=2$、$[k(E):k(y)]=3$（Sil09 Proposition II.2.6、p. 23）で、$[k(E):k(x,y)]$ は $2$ と $3$ の公約数、すなわち $k(E)=k(x,y)$ であり、$\varphi\colon E\to C$ は次数 $1$ の射である。

一般の場合への帰着。 $a_i,u,r,s,t$ を不定元とした整数係数の環 $\mathcal{R}:=\mathbb{Z}[a_1,\dots,a_6,r,s,t,u,u^{-1}]$ で示せば、環準同型 $\mathcal{R}\to k$ で特殊化してどの体でも成り立つ（j不変量 の定理「座標の取り替えと $c_4$・$\Delta$・$j$」の証明と同じ帰着）。$\mathcal{R}$ は標数 $0$ の整域なので、等式の両辺から整数の因子を約してよい。
要点：$F(u^2x'+r,\,u^3y'+su^2x'+t)=u^6F'(x',y')$ の係数を比べると $a_i'$ の式が出る。$a_1',a_3'$ の式から $\eta=2y+a_1x+a_3$ は $u^3\eta'$ に移り、$\eta^2-g(x)=4F$ を両方の方程式に当てると $g'(x')=u^{-6}g(u^2x'+r)$ となって $b_2',b_4',b_6'$ の式が出る。$b_8$ は $4b_8=b_2b_6-b_4^2$、$c_4,c_6$ は定義式に代入して得られ、$\Delta$ は $1728\Delta=c_4^3-c_6^2$ から従う。

1．$Y=1$ の座標 $(X,Z)$ で方程式は $Z+a_1XZ+a_3Z^2-X^3-a_2X^2Z-a_4XZ^2-a_6Z^3=0$ であり、$O=(0,0)$ での $Z$ についての偏微分は $1\ne0$ である。
2 と特異点の個数．$O$ 以外の点は affine である。$\bar k$ で考える。
標数が $2$ でないとき。 $4F=\eta^2-g(x)$ で、$(x,y)\mapsto(x,\eta)=(x,2y+a_1x+a_3)$ は $2$ が可逆なので affine 平面の座標の取り替えである。よって $C$ の affine な特異点は、曲線 $\eta^2=g(x)$ の特異点 $(x_0,0)$、すなわち $g(x_0)=g'(x_0)=0$ となる点に対応する。これは $x_0$ が 3 次式 $g$（最高次の係数 $4\ne0$）の重根であることにほかならない。重根が存在することは $g$ の判別式 $16\Delta$ が $0$ になることと同値であり（判別式 の命題「判別式が 0 になる条件」）、$16\ne0$ なので $\Delta=0$ と同値である。3 次式は相異なる 2 つの重根をもたないので、特異点は高々 1 つである。
標数が $2$ のとき。 $F_y=a_1x+a_3$、$F_x=a_1y+x^2+a_4$ であり（$3=1$、$2=0$）、定義の式は $\Delta=a_1^6a_6+a_1^5a_3a_4+a_1^4a_2a_3^2+a_1^4a_4^2+a_1^3a_3^3+a_3^4$ となる。

• $a_1=0$ のとき $\Delta=a_3^4$ である。$a_3\ne0$ なら $F_y=a_3\ne0$ で特異点はない。$a_3=0$ なら、$x_0^2=a_4$、$y_0^2=x_0^3+a_2x_0^2+a_4x_0+a_6$ となる $x_0,y_0\in\bar k$（ともにただ一つ）の点がただ 1 つの特異点である。
• $a_1\ne0$ のとき、$F_y=F_x=0$ から特異点の候補は $x_0=a_3/a_1$、$y_0=(x_0^2+a_4)/a_1$ だけで、展開すると $a_1^6F(x_0,y_0)=\Delta$（標数 $2$）なので、特異点があることと $\Delta=0$ とは同値である。
  どの場合も、affine な特異点が存在することと $\Delta=0$ とは同値である。1 と合わせて 2 を得る。
  3．特異点 $P_0=(x_0,y_0)$ を $(1,x_0,0,y_0)$ で原点に移す（prop-we-transformation により $c_4,\Delta$ は不変）。移した後は $a_6=-F(0,0)=0$、$a_4=-F_x(0,0)=0$、$a_3=F_y(0,0)=0$ なので
  $$ F=y^2+a_1xy-a_2x^2-x^3 $$
  であり、$b_4=2a_4+a_1a_3=0$ から $c_4=b_2^2=(a_1^2+4a_2)^2$ である。2 次の部分を $\bar k$ 上で $y^2+a_1xy-a_2x^2=(y-\alpha x)(y-\beta x)$ と分解すると、$\alpha+\beta=-a_1$、$\alpha\beta=-a_2$ から $(\alpha-\beta)^2=a_1^2+4a_2$ である。したがって 2 つの 1 次式が相異なることは $a_1^2+4a_2\ne0$、すなわち $c_4\ne0$ と同値である。$\square$

thm-we-smooth により $C$ は $\bar k$ 上でも滑らかな平面 3 次曲線である。$C_{\bar k}$ が可約なら直線を成分にもち、その直線と残りの成分の交点（Bézoutの定理 により存在する）が特異点になるので、$C$ は幾何学的に既約である。$O\in C(k)$ である。

1．$u^{12}\Delta'=\Delta$ と $v(\Delta')\le v(\Delta)$ から $v(u)\ge0$、すなわち $u\in R$ である。prop-we-transformation の $b_6$ の式に $16$ を掛けると
$$ (4r)^3+b_2(4r)^2+8b_4(4r)+16(b_6-u^6b_6')=0, $$
$b_8$ の式に $27$ を掛けると
$$ (3r)^4+b_2(3r)^3+9b_4(3r)^2+27b_6(3r)+27(b_8-u^8b_8')=0 $$
となる。どちらも $R$ 係数のモニックな多項式なので、$4r$ と $3r$ は $R$ 上整である。離散付値環は整閉整域なので $4r,3r\in R$、よって $r=4r-3r\in R$ である。次に $a_2$ の式から $s^2+a_1s+(u^2a_2'-a_2-3r)=0$、$a_6$ の式から $t^2+(a_3+ra_1)t+(u^6a_6'-a_6-ra_4-r^2a_2-r^3)=0$ で、同じ理由で $s,t\in R$ である。2 つとも極小なら $v(\Delta')=v(\Delta)$ なので $v(u)=0$ である。不変微分については $\omega'=u\,\omega$ による。
2．極小方程式 $F'$ を 1 つとり、$F$ から $F'$ への取り替えを $(u,r,s,t)$ とする。1 により $u,r,s,t\in R$ で、$v(\Delta')< v(\Delta)$ から $v(u)\ge1$ である。$F$ に $(1,r,s,t)$ を施した $F_1$ は（変換公式で $u=1$ として）整である。$F'$ は $F_1$ に $(u,0,0,0)$ を施したものなので $a_i'=u^{-i}a_i(F_1)$ である。$F_1$ に $(\pi,0,0,0)$ を施した方程式の係数は $\pi^{-i}a_i(F_1)=(u/\pi)^ia_i'\in R$ で、これは $F$ に $(\pi,r,s,t)$ を施したものに等しい。判別式は $\pi^{-12}\Delta$ である。$\square$